ESSA.I PHILOSOPHIQUE

tant, et il retranche le produit de l'équation primitive. Par là , il obtient une équation entre trois termes consécutifs de la progression géométrique. Moivre considère ensuite une seconde progression dont la raison des termes est le facteur même qu'il vient d'employer. Il diminue pareillement d'une unité l'indice des termes de l'équation de cette nouvelle progression : dans cet état, il la multiplie par la raison des termes de la première progression, et il retranche le produit de l'équation de la seconde progression , ce qui lui donne , entre trois termes consécutifs de cette progression , une relation entièrement semblable à celle qu'il a trouvée pour la première progression. Puis il observe que si l'on ajoute terme à terme les deux progressions , la même relation subsiste entre trois quelconques de ces sommes consécutives. Il compare les coefficiens de cette relation à ceux de la relation des termes de la suite récurrente proposée , et il trouve , pour déterminer les raisons des deux progressions géométriques , une équation du second degré dont les racines sont ces raisons. Par là, Moivre décompose la suite récurrente en deux progressions géométriques multipliées, chacune par une constante arbitraire qu'il détermine au moyen des deux premiers termes de la suite ré-.

(i irrente. Ce procédé ingénieux est au fond celui que d'Alembert a depuis employé pour Fintégrafioii (1( s ('({nations linéaires aux différences infiniment petites à coefficiens constans , et que Lagrange a transporté aux équations semblables à différences finies.

Ensuite, j'ai considéré les équations linéaires aux différences partielles finies, d'abord sous la dénomination de suites récurro-récurrentes ^ et après, sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus simple d'intégrer toutes i i s équations, me paraît être celle que j'ai fondée sur la considération des fonctions génératrices dont voici l'idée.

Si l'on conçoit ime fonction V d'une variable / , développée suivant les puissances de cette variable , le coefficient de l'ime quelconque de

^ [uiissances sera une fonction de l'exposant ou indice de cette puissance , indice que je désignerai par oc. V est ce que je nomme fonction génératrice de ce coefficient ou de la fonction de l'indice.

Maintenant , si Ton multiplie la série du développement de V par une fonction de la même variable , telle , par exemple , que l'unité plus deux fois cette variable , le produit sera une nouvelle fonction génératrice dans laquelle le

coefficient de la puissance x de la variable t sera égal au coefficient de la même puissance dans y, plus au double du coefficient de la puissance inférieure d'une unité. Ainsi la fonction de l'indice x^ dans le produit, égalera la fonction de l'indice x dans V, plus le double de cette même fonction dans laquelle l'indice est diminué de l'unité. Cette fonction de l'indice X est ainsi une dérivée de la fonction du même indice dans le développement de V, fonction que je nommerai fonction primitwe de l'indice. Désignons la fonction dérivée par la caractéristique (f placée devant la fonction primitive. La dérivation indiquée par cette caractéristique dépendra du multiplicateur de V, que nous nommerons T, et que nous supposerons développé , comme V, par rapport aux puissances de la variable t.

Si l'on multiplie de nouveau par T le produit de V par T, ce qui revient à multiplier V par le carré de T, on formera une troisième fonction génératrice dans laquelle le coefficient de la puissance x de t sera une dérivée semblable du coefficient correspondant du produit précédent ; on pourra donc l'exprimer par la même caractéristique <r, placée devant la dérivée précédente; et alors cette caractéristique sera deux fois écrite

devant la fonction primitive de x. Mais au lieu de l'écrire ainsi deux fois, on lui donne pour exposant le nombre i.

En continuant ainsi , on voit généralement que si Ton multiplie Y par la puissance n de T, on aura le coefficient de la puissance x àet dans le produit de V par la puissance n de T, en plaçant (levant la fonction primitive la caractéristique cT avec 71 pour exposant.

Supposons, par exemple, que T soit l'unité divisée par t ; alors dans le produit de V par T le coefficient de la puissance x àet sera le coefficient de la puissance supérieure d'une unité dans V; ce coefficient dans le produit de Y par la puissance n de T sera donc la fonction primitive dans laquelle x est augmenté de n unités.

Considérons maintenant une nouvelle fonction Z de i , développée , comme Y et T, suivant les puissances de t : désignons par la caractéristique A placée devant la fonction primitive , le coefficient de la puissance j: de ^ dans le produit de Y par Z ; ce coefficient , dans le produit de Y par la puissance n de Z , sera exprimé par la caractéristique A affectée de l'exposant n et placée devant la fonction primitive de X.

Si, par exemple, Z est égal à Timité divisée

par t moins un, le coefficient de la puissance X de ^ dans le produit de V par Z sera le coefficient de la puissance x plus un de t dans V, moins le coefficient de la puissance ^.11 sera donc la différence finie de la fonction primitive de l'indice X. Alors la caractéristique A indique une différence finie de la fonction primitive , dans le cas où l'indice varie de l'unité ; et la puissance n ae cette caractéristique , placée devant la fonction primitive , indiquera la différence finie 7i''°" de cette fonction. Si l'on suppose que T soit l'unité divisée par t , on aura T égal au binôme Z plus un. Le produit de V par la puissance n de T sera donc égal au produit de V par la puissance de n du binôme Z plus un. En développant cette puissance par rapport aux puissances de Z , les produits de V par les divers termes de ce développement seront les fonctions génératrices de ces mêmes termes , dans lesquels on substitue , au lieu des puissances de Z , les différences finies correspondantes de la fonction primitive de l'indice.

Maintenant le produit de V par la puissance n de T est la fonction primitive , dans laquelle l'indice x est augmenté de n unités ; en repassant donc des fonctions génératrices à leurs coefficiens , on aura cette fonction primitive

SUR LES PROBAniMTÉS. /|9

ainsi augmentée, égale au développement de la puissance» n du binôme Z plus un ; pourvu que <ians ce développement on substitue , au lieu des puissances de Z, les différences correspon- (l.inh > (If la fonction primitive, et que Ton multiplie le terme indépendant de ces puissances par la fonction primitive. On aura ainsi la fonction primitive dont l'indice est augmenté d'un nombre quelconque n, au moyen de ses différences.

En supposant toujours à T et à Z les valeurs précédentes , on aura Z égal au binôme T moins un ; le produit de V par la puissance n de Z sera donc égal au produit de V par le développement de la puissance n du binôme T moins un. En repassant des fonctions génératrices à leurs coefliciens, comme on vient de le faire, on aura la différence n'*"" de la fonction primitive, exprimée par le développement de la puissance n du binôme T moins un , dans lequel on substitue aux puissances de T cette même fonction dont l'indice est augmenté de l'exposant de la puissance, et au terme indépendant de t et qui est l'unité , la fonction primitive : ce qui donne cette différence au moyen des termes consécutifs de cette fonction.

cT placé devant la fonction primitive, expri-

5o ESSAI PHILOSOPHIQUE

niant la dérivée de cette fonction , qui multiplie la puissance x de t dans le produit de V par T, et A exprimant la même dérivée dans le produit de V par Z , on est conduit , par ce qui précède , à ce résultat général : quelles que soient les fonctions de la variable t , représentées par T et Z , on peut, dans le développement de toutes les équations identiques susceptibles d'être formées entre ces fonctions , substituer les caractéristiques cT et A, au lieu de T et de Z, pourvu que Ton écrive la fonction primitive de l'indice à la suite des puissances et des produits de puissances des caractéristiques , et que l'on multiplie par cette fonction les termes indépendans de ces caractéristiques.

On peut, au moyen de ce résultat général, transformer ime puissance quelconque d'une différence de la fonction primitive de l'indice x, dans laquelle oc varie d'une unité , en une série de différences de la même fonction , dans lesquelles JC varie d'un nombre quelconque d'unités, et réciproquement. Supposons en effet que T soit la puissance i de l'imité divisée par t moins un , et que Z soit toujours l'unité divisée par ^ moins un; alors le coefficient de la puissance jc de t, dans le produit de V par T, sera le coefficient de la puissance ûc plus / de t dans

SUR LES PROliABILITÉS. 5l

V, moins le coefficient de la puissance r de t; il sera donc la différence finie de la fonction primitive de Tindice jc , dans laquelle on fait variei- cet indice du nombre /. Il est facile de voir (jue T est égal à la différence entre la puissance / du binôme Z plus un et l'unité; la puissance /i de T est donc égale à la puissance n de cette différence. Si, dans cette égalité, on substitue au lieu de T et de Z les caractéristiques cT et A , et qu'après le développement on place à la fin de chaque terme la fonction primitive de l'indice x, on aura la différence n'"'" de cette fonction , dans laquelle .r varie de / unités, exprimée par une suite de différences de la même fonction, dans laquelle jc varie d'une unité. Cette suite n'est qu'ime transformation de la différence qu'elle exprime et qui lui t»st identique ; mais c'est dans de seml^lables transformations que réside le pouvoir de l'analyse.

I>a généralité de l'analyse permet de supposer dans cette expression n négatif. Alors les puissances négatives de «T et de A indiquent des intégrales. En effet , la différence ^"'"' de la fonction primitive ayant poHr fonction génératrice le produit de V par la puissance n du binôme , un divisé par /, moins l'unité; la fonction primitive

Sa ESSAI PHILOSOPHIQUE

qui est l'intégrale 72''"' de cette différence , a pour fonction génératrice celle de la même différence , multipliée par la puissance n prise en moins du binôme, un divisé par t, moins l'unité, puissance à laquelle répond la même puissance de la caractéristique A ; cette puissance indique donc une intégrale du même ordre , l'indice x variant de l'unité; et les puissances négatives de cT indiquent également des intégrales , x variant de i unités. On voit ainsi de la manière la plus claire et la plus simple , la raison de l'analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.

Si la fonction indiquée par la caractéristique cT placée devant la fonction primitive est nulle , on aura une équation aux différences finies , et V sera la fonction génératrice de son intégrale. Pour avoir cette fonction génératrice , on observera que dans le produit de V par T toutes les puissances de t doivent disparaître, excepté les puissances inférieures à l'ordre de l'équation aux différences ; V est donc égal à une fraction dont T est le dénominateur, et dont le numérateur est un polynôme dans lequel la puissance la plus élevée de /. est moindre d'une unité que l'ordre de l'équation aux différences. Les coeffi-

ciens arbitraires des diverses puissances de t dans ce poJynome, en y comprenant la puissance zéro, seront déterminés par autant de valeurs de la fonction primitive de l'indice , lorsqu'on y fait successivement x égal à zéro, à l'unité, à deux, etc. Quand l'équation aux différences est donnée, on détermine T en mettant tous ses termes dans le premier membre , et zéro dans le second ; en substituant dans le premier membre , l'unité au lieu de la fonction qui a le plus grand indice; la première puissance de t au lieu de la fonction primitive dans laquelle cet indice est diminué d'une unité; la seconde puissance de t^ à la fonction primitive où cet indice est diminué de deux unités, et ainsi de suite. Le coefficient de la puissance x de ^, dans le développement de l'expression précédente de V, sera la fonction primitive de x, ou l'intégrale de l'équation aux différences finies. L'analyse fournit pour ce développement, divers moyens parmi lesquels on peut choisir celui qui est le plus propre à la question proposée; ce qui est un avantage de cette méthode d'intégration.

Concevons maintenant que V soit une fonction des deux variables < et ^, développée suivant les puissances et les produits de ces variables ; le coefficient d'ini produit quelconque des puisr

54 ESSAI PHILOSOPHIQLE

sances x et x' de t et de //, sera une fonction des exposans ou indices a: et x' de ces puissances; fonction que je nommerai fonction primitive y et dont V est la fonction génératrice.

Multiplions V par une fonction T des deux variables ^ et t'^ développée, comme Y, par raj> port aux puissances et aux produits de ces variables; le produit sera la fonction génératrice d'une dérivée de la fonction primitive : si T , par exemple , est égal à la variable / , plus à la variable t' moins deux , cette dérivée sera la fonction primitive dont on diminue de l'unité l'indice J?, plus cette même fonction primitive dont on diminue de l'unité l'indice x'^ moins deux fois la fonction primitive. En désignant, quel que soit T, par la caractéristique cT placée devant la fonction primitive cette dérivée, le produit de V par la puissance « de T sera la fonction génératrice de la dérivée de la fonction primitive, devant laquelle on place la puissance n de la caractéristique cT. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs aux fonctions d'une seule variable.

Supposons que la fonction indiquée par la caractéristique <r soit zéro ; on aura une équation aux différences partielles : si, par exemple, on fait, comme ci-dessus, T égal à la variable t,

S|i« IFS PUOliAlilLITES. ')J

plus a la \aiial)ic; /' moins deux, on a zéro égal à la fonction primitive dont on diminue de l'unité Tindice a*, plus la même fonction dont on diminue de Tunité l'indice ocf ^ moins deux fois la fonction primitive. I^i fonction génératrice V de cette fonction primitive ou de l'intégrale de cette équation , doit donc être telle que son produit par T ne renferme point les produits de i par t\ mais V peut renfermer séparément les puissances de <, et celles de i\ c'est-à-dire une fonction arbitraire de Y et une fonction arbitraire de t'\ Y est donc une fraction dont le numérateur est la somme de ces deux fonctions arbitraires, et dont T est le dénominateur. I^ coefficient du produit de la puissance x de ^ par la puissance a^ de ^, dans le développement de cette fraction , sera donc l'intégrale de l'équation précédente aux différences partielles. Cette méthode d'intégrer ce genre d'équations me paraît être la plus simple et la plus facile , par l'emploi des divers procédés analytiques pour le développement des fractions rationnelles.

De plus amples détails sur cette matière seraient difficilement entendus sans le secours du calcul.

En considérant les équations aux différences j)arli<»lles infiniment j^tites comme des équations

aux différences partielles finies dans lesquelles rien n'est négligé, on peut éclaircir les points obscurs de leur calcul , qui ont été le sujet de grandes discussions parmi les géomètres. Cest ainsi que j'ai démontré la possibilité d'introduire des fonctions discontinues dans leurs intégrales, pourvu que la discontinuité n'ait lieu que pour les différentielles de l'ordre de ces équations ou d'un ordre supérieur. Les résultats transcendans du calcul sont comme toutes les abstractions de l'entendement, des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue qu'en remontant, par l'analyse métaphysique, aux idées élémentaires qui y ont conduit : ce qui présente souvent de grandes difficultés; car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant qu'à se replier sur lui-même.

La comparaison des différences infiniment petites avec les différences finies peut semblablement répandre un grand jour sur la métaphy- sique du calcul infinitésimal.

On prouve facilement que la différence finie /i'*"" d'une fonction, dans laquelle l'accroissement de la variable est E, étant divisée par la puissance n de E; le quotient réduit en série par rapport aux puissances de l'accroissement E , est formé d'un premier terme indé|3endant de E. A

SUR LES PROBABILITKS. ^'J

mesure que E diminue, la série approcJie de plus eu plus de ce premier terme, dont elle peut ainsi ne différer que de quantités moindres que toute grandeur assignable. Ce terme est donc la limite de la série, et il exprime, dans le calcul différentiel, la différence infiniment petite n'''^' de la fonction , divisée par la puissance n de l'accroissement infiniment petit.

En considérant sous ce point de vue les différences infiniment petites , on voit que les diverses opérations du calcul différentiel reviennent à comparer séparément dans le développement d'expressions identiques, les ternies finis ou indépendans des accroissemens des variables que l'on regarde comme infiniment petits ; ce qui est rigoureusement exact, ces accroissemens étant indéterminés. Ainsi le calcul diflérentiel a toute l'exactitude des autres opérations algébriques.

La même exactitude a lieu dans les applications du Calcul différentiel à la Géométrie et à la Mécanique. Si l'on conçoit ime courbe coupée par une sécante dans deux points voisins; en nommant E l'intervalle des ordonnées de ces deux points , E sera l'accroissement de l'abscisse depuis la première jusqu'à la seconde ordonnée. 11 est facile de voir que l'accroissement correspondant de l'ordonnée sera le produit de E par

58 ESSAI PHILOSOi»JIIQlIE

la première ordonnée divisée par sa sous-sécante : en augmentant donc dans l'équation de la courbe, la première ordonnée de cet accroissement, on aura l'équation relative à la seconde ordonnée : la différence de ces deux équations sera une troisième équation qui, développée par rapport aux puissances de E, et divisée par E, aura son premier terme indépendant de E, et qui sera la limite de ce développement. Ce terme , égalé à zéro , donnera donc la limite des sous-sécantes , limite qui est évidemment la sous-tangente.

Cette manière singulièrement heureuse d'obtenir les sous-tangentes est due à Fermât , qui l'a étendue aux courbes transcendantes. Ce grand géomètre exprime par la caractéristique E l'accroissement de l'abscisse; et en ne considérant que la première puissance de cet accroissement, il détermine exactement , comme on le fait par le calcul différentiel , les sous-tangentes des courbes , leurs points d'inflexion , les maxima et mininm de leurs ordonnées, et généralement ceux des fonctions rationnelles. On voit même, par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière , insérée dans le Recueil des Lettres de Descàrtes , qu'il savait, étendre sa méthode aux fonctions irrationnelles , en se débarrassant des irrationnalités, par l'éïévation des radicaux aux

SIR LES IMtOnAIilLITÉS. .^9

puissances. On doit donc regarder Fermât comme ie véritable inventeur du Calcul différentiel. Newton a depuis rendu ce calcul plus analytique, dans sa Méthode des Fluxions ; et il en a simplifié et généralisé les procédés par son beau théorème du binôme. Enfin, presqu'en même temps, Leibnitz a enrichi le Calcul différentiel d'une notation qui, en indiquant le passage du fini à Tinfiniment petit, réunit à l'avantage d'exprimer les résultats généraux de ce calcul, celui de donner les premières valeurs approchées des différences et des sommes des quantités ; notation qui s'est adaptée d'elle-même au calcul des différentielles partielles.

On est souvent conduit à des expressions qui contiennent tant de termes et de facteurs , que les substitutions numériques y sont impraticables. C'est ce qui a lieu dans les questions de probabilité, lorsque l'pn considère un grand nombre d'évènemens. Cependant il importe alors d'avoir la valeur numérique des formules, pour connaître avec quelle probabilité les résultats que les évènemens développent en se multipliant, sont indiqués. Il importe surtout d'avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu'elle finirait par atteindre, si le nombre des évènemens devenait infini. Pour

y parvenir, je considérai que les intégrales définies de différentielles multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient par l'intégration, des formules composées d'un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fit naître l'idée de transformer dans de semblables intégrales, les expressions compliquées de l'analyse, et les intégrales des équations aux différences. J'ai rempli cet objet par une méthode qui donne à la fois la fonction comprise sous le signe intégral , et les limites de l'intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées ; ce qui rattache cette méthode à la théorie des fonctions génératrices dont elle est ainsi le complément. Il ne s'agissait plus ensuite que de réduire l'intégrale définie en série convergente. C'est ce que j'ai obtenu par un procédé qui fait converger la série avec d'autant plus de rapidité, que la formule qu'elle représente est plus compliquée ; en sorte qu'il est d'autant plus exact, qu'il devient plus nécessaire. Le plus souvent , la série a pour facteur la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre : quelquefois elle dépend d'autres transcendantes dont le nombre est infini.

Une remarque importante qui tient à la grande généralité de l'Analyse, et qui permet d'étendre cette méthode aux formules et aux équations à différences , que la théorie des probabilités présente le plus fréquemment, est que les séries auxquelles on parvient en supposant réelles et positives les limites des intégrales définies, ont également Heu dans le cas où l'équation qui détermine ces limites n'a que des racines négatives ou imaginaires. Ces passages du positif au négatif, et du réel à l'imaginaire, dont j'ai le premier fait usage, m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j'ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages comme un moyen de découverte, pareil à l'induction et à l'analogie employées depuis long-temps par les géomètres, d'abord avec une extrême réserve, ensuite avec une entière confiance, un grand nombre d'exemples en ayant justifié l'emploi. Cependant il est toujours nécessaire de confirmer, par des démonstrations directes , les résultats obtenus par ces divers moyens.

J'ai nommé Calcul des fonctions génératrices l'ensemble des méthodes précédentes; ce calcul sert de fondement à l'ouvrage que j'ai publié sous ce titre : Théorie analytique des Probahi-

lités. 11 se rattache à l'idée simple criiidiquer les multiplications répétées d'ime quantité par ellemême , ou ses puissances entières et positives , en écrivant vers le haut de la lettre qui l'exprime, les nombres qui marquent les degrés de ces puissances. Cette notation employée par Descartes , dans sa Géométrie^ et généralement adoptée depuis la publication de cet important ouvrage, est peu de chose, surtout quand on la compare à la théorie des courbes et des fonctions variables, par laquelle ce grand géomètre a posé les fondemens des calculs modernes. Mais la langue de l'Analyse, la plus parfaite de toutes, étant par elle-même un puissant instrument de découvertes, ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont autant de germes de nouveaux calculs. C'est ce que cet exemple rend sensible.

Wallis qui , dans son ouvrage intitulé Arithmetica infinitorum y l'un de ceux qui ont le plus contribué aux progrès de l'Analyse, s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie , considéra que si l'on divise l'exposant d'une lettre par deux, trois, etc.; le quotient sera suivant la notation cartésienne, et lorsque la division est possible, rex|X)sant de la racine carrée, cidjique, etc. , de la quanlité que repré-

SUR LES PROBAniMTÉS. 63

sente la lettre élevée à Texposant dividende. En étendant par analogie ce résultat au cas où la division n'est pas possible, il considéra une quantité élevée à un exposant fractionnaire comme la racine du degré indiqué par le dénominateur de cette fraction , de la quantité élevée à la puissance indiquée par le numérateur. Il observa ensuite que suivant la notation cartésienne, la multiplication de deux puissances d'une même lettre revient à ajouter leurs exposans, et que leur division revient à soustraire l'exposant de la puissance diviseur de celui de la puissance dividende, lorsque le second de ces exposans surpasse le premier. Wallis étendit ce résultat au cas où le premier exposant égale ou surpasse le second; ce qui rend la différence nulle ou né* gative. Il supposa donc qu'un exposant négatif indique l'unité divisée par la quantité élevée au même exposant pris positivement. Ces remarques le conduisirent à intégrer généralement les différentielles monômes; d'où il conclut les intégrales définies d'un genre particulier de différentielles binômes dont l'exposant est un nombre entier positif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment ces intégrales, une série d'interpolations et d'inductions heureuses où l'on aperçoit le germe du calcul des intégrales

définies, qui a tant exercé les géomètres, et Tune des bases de ma nouvelle Théorie des PwbabilitéSy lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre , exprimé par un produit infini qui, lorsqu'on l'arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus rapprochées; résultat l'un des plus singuliers de l'Analyse. Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les exposans fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l'avait fait avant lui. Newton , si je ne me trompe, employa, le premier, dans ses Lettres à Olciembourg ^ la notation de ces puissances par des exposans fractionnaires. En comparant par la voie de l'induction dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposans des puissances du binôme avec les coefficiens des termes de son développement, dans le cas où cet exposant est entier et positif, il détermina la loi de ces coefficiens , et il retendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation de Descartes, montrent son influence sur les progrès de l'Analyse. Elle a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes qui ne sont en effet que les exposans d'une grandeur dont les puissances suc-

SUIl I.KS PHOBADIL1T1SS. 65

cessives, en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représenter tons les nombres.

Mais l'extension la plus nnportante que cette notation ait reçue, est celle des exposans variables; ce qui constitue le calcul exponentiel, Tune des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. I^ibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposans variables , et par-là, il a complété le système des élémens dont une fonction finie peut être composée ; car toute fonction finie explicite d'une variable se réduit, en dernière analyse, à des grandeurs simples, combinées par voie d'addition , de soustraction , de multiplication et de division, et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces élémens, sont des fonctions implicites de la variable. C'est ainsi qu'une variable ayant pour logarithme l'exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, le logarithme d'une variable en est une fonction implicite.

Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique différentielle les mêmes exposans qu'aux grandeurs; mais alors ces exposans, au lieu d'indiquer les multiplicîitions répétées d'une même grandeur, indiquent les différent iations répétées

d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne, conduisit Leibnitz à l'analogie des puissances positives avec les différentielles, et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière dans tous ses développemens ; et par une suite d'inductions , qui peut être regardée comme une des plus belles applications que l'on ait faites de la méthode d'induction, il est parvenu à des formules générales aussi curieuses qu'utiles, sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissemens finis divers , et lorsque ces accroissemens sont infiniment petits. Mais il n'en a point donné les démonstrations qu'il jugeait difficiles. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques, la notation cartésienne : elle montre avec évidence, l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques ; en sorte qu'elle peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui concerne les séries et l'intégration des équations aux différences, en découle avec une extrême facilité.

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