NOTICE HISTORIQUE

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CALCUL DES PROBABILITES.

JJepuis long -temps, on a déterminé, dans les jeux les plus simples , les rapports des chances favorables ou contraires au* joueurs : les enjeux et les paris étaient réglés d'après ces rapports. Mais personne, avant Pascal et Fermât, n'avait donné des principes et des méthodes pour soumettre cet objet au calcul , et n'avait résolu des questions de ce genre , un peu compliquées. C'est donc à ces deux grands géomètres qu'il faut rapporter les premiers élémens de la science des probabilités, dont la découverte peut être mise au rang des choses remarquables qui ont illustré le XVII e siècle , celui de tous qui fait le plus d'honneur à l'esprit humain. Le principal problème qu'ils résolurent par des voies différentes, consiste , comme on le verra dans cet ouvrage , à partager équitablément l'enjeu , entre des joueurs dont les adresses sont égales, et qui convien. nent de quitter une partie, avant qu'elle finisse ; la condition du jeu étant que pour gagner la partie , il faut atteindre , le premier, un nombre donné de points différent pour chacun des joueurs. Il est clair que le partage doit se faire proportionnellement aux probabilités respectives des joueurs , de gagner cette partie, probabilités dépendantes des nombres de points qui leur manquent encore. La méthode de Pascal est fort ingénieuse, et n'est, au fond, que l'équation aux différences partielles de ce problème , appKquée à déterminer les proba-

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bjlités successives des joueurs , en allant des nombres les plu» petits aux suivans. Cette méthode est limitée au cas de deux joueurs : celle de Fermât , fondée sur les combinaisons , s'étend à un nombre quelconque de joueurs. Pascal crut d'abord qu'elle était, comme la sienne, restreinte à deux joueurs; ce qui établit entre eux une discussion à la fin de laquelle Pascal reconnut la généralité de la méthode de Fermât.

Huygens réunit les divers problèmes que Ton avait déjà résolus , et en ajouta de nouveaux , dans un petit Traité , le premier qui ait paru sur cette matière, el qui a pour titre, De Ratiociniis in ludoaleœ. Plusieurs géomètres s'en occupèrent ensuite : Hudde, le grand pensionnaire Witt en Hollande, et Halley en Angleterre, appliquèrent le calcul aux probabilités de la vie humaine ; et Halle y publia, pour cet objet , la première table de mortalité. Vers le même temps, Jacques Bernoulli proposa aux géomètres, divers problèmes de probabilité dont il donna depuis des solutions. Enfin il composa sou bel ouvrage intitulé , Ars conjectandi, qui ne parut que sept aus après sa mort arrivée en 1706. La science des probabilités est beaucoup plus approfondie dans cet ouvrage , que dans celui d'Huygcns : l'auteur y donne une théorie générale des combinaisons et des suites , et l'applique à plusieurs questions difficiles , concernant les hasards. Cet ouvrage est encore remarquable par la justesse et la finesse des vues, par l'emploi de la formule du binôme dans ce genre de questions , et par la démonstration de ce théorème , savoir, qu'en multipliant indéfiniment les observations et les expériences , le rapport des-événemens de diverses natures , approche de celui de leurs possibilités respectives , dans des limites dont l'intervalle se resserre de plus en plus à mesure qu'ils se multiplient, et devient moindre qu'aucune quantité assignable. Ce théorème est très-utile pour reconnaître, par les observations , les lois et les causes des phénomènes. Bernoulli attachait, avec raison , une grande importance à sa démonstration qu'il dit avoir méditée, pendant vingt années.

Dans l'intervalle de la mort de Jacques Bernoulli à la publication de son ouvrage , Montmort et Moivre firent paraître deux traités sur le calcul des probabilités. Celui de Montmort a pour titre , Essai sur les Jeux de hasard, il contient de nombreuses applications de ce calcul , aux divers jeux. L'auteur y a joint, dans la seconde édition, quelques lettres dans lesquelles Nicolas Bernoulli donne des solutions ingénieuses de plusieurs problèmes difficiles. Le traité de Moivre, postérieur à celui de Montmort , parut d'abord dans les Transactions Philosophiques de l'année 171 1. Ensuite l'auteur le publia séparément, et il l'a perfectionné successivement dans les trois éditions qu'il en a données. Cet ouvrage est principalement fondé sur la formule du binôme , et les problèmes qu'il contient, ont, ainsi que leurs solutions , une grande généralité. Mais ce qui le distingue, est la théorie des suites récurrentes et leur usage dans ces matières. Cette théorie est l'intégration des équations linéaires aux différences finies à coefficient constans, intégration •à laquelle Moivre parvient d'une manière très-heureuse.

Moivre a repris, dans son ouvrage, le théorème de Jacques Bernoulli sur la probabilité des résultats déterminés par un grand nombre d'observations. Il ne se contente pas de faire voir , comme Bernoulli , que le rapport des événemens qui ^doivent arriver, approche sans cesse de celui de leurs possibilités respectives ; il donne de plus une expression élégante et simple de la probabilité que la différence de ces deux rapports est contenue dans des limites données. Pour cela, il détermine le rapport du plus grand terme du développement d'une puissance très-élevée du binôme, à la somme de tous ses termes ; et le logarithme hyperbolique de l'excès de ce terme , sur les termes qui en sont très-voisins. Le plus grand terme étant alors le produit d'un nombre considérable de facteurs , son calcul numérique devient impraticable. Pour l'obtenir par une approximation convergente , Moivre fait usage d'un théorème de Stirling sur le terme moyen du binôme élevé à une haute puissance, théorème remarquable, surtout en ce qu'il introduit

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la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon, dans une expression qui semble devoir être étrangère à cette transcendante. Aussi Moivre fut-il extrêmement frappé de ce résultat que Stirling avait déduit de l'expression de la circonférence en produits infinis, expression à laquelle Wailis .était parvenu par une singulière analyse qui contient le germe de la théorie si curieuse et si utile des intégrales définies.

Plusieurs savans , parmi lesquels on doit distinguer Deparcieux, Kersseboom , Wargentin , Dupré de Saint -Maure, Simpson, Sussmilch, Messène, Moheau, Price, Baili et Duvillard , ont réuni un grand nombre de données précieuses», sur la population, les naissances, les mariages et la mortalité* Ils ont donné des formules et des tables relatives aux rentes viagères , aux tontines , aux assurances , etc. Mais, dans cette courte notice , je ne puis qu'indiquer ces travaux utiles 5 pour m'attacber aux idées originales. De ce uombre , est la distinction des espérances mathématique et morale, et le principe ingénieux que Daniel Bernoulli a donné pour soumettre celle-ci à l'analyse. Telle est encore l'application heureuse qu'il a faite du calcul des probabilités , à l'inoculation. On doit surtout placer au nombre de ces idées originales , la considération directe des possibilités des événemens , tirées des événemens observés. Jacques Bernoulli et Moivre supposaient ces possi# bilités connues ; et ils cherchaient la probabilité que le résultat des expériences à faire , approchera de plus en plus de les représenter. Bayes , dans les Transactions Philosophiques de l'année i^63 , a cherché directement la probabilité que les possibilités indiquées par des expériences déjà faites, sont comprises dans des limites données ; et il y est parvenu d'une manière fine et très-ingénieuse , quoiqu'un peu embarrassée. Cet objet se rattache à la théorie de la probabilité des causes et des événemens futurs , conclue des événemens observés ; théorie dont j'exposai, quelques années après, les principes, avec la remarque de l'influence des inégalités qui peuvent exister entre les chances que Ton suppose égales. Quoique l'on