SUE LE CALCUL DES PBOBABILITES. X

ignore quels sont les événemens simples que ces inégalités favorisent, cependant cette ignorance mente accroît souvent la probabilité des événemens composés.

En généralisant l'Analyse et les problèmes concernant les probabilités, je fus conduit au calcul des différences finies partielles que Lagrange a traité depuis , par une méthode fort simple , et dont il a fait d'élégantes applications à ce genre de problèmes. La théorie des fonctions génératrices, que je donnai vers le même temps , comprend ces objets parmi ceux qu'elle embrasse, et s'adapte d'elle-même et avec la plus grande généralité, aux questions de probabilité les plus difficiles. Elle détermine encore par des approximations très-convergentes, les valeurs des fonctions composées d'un grand nombre de termes et de facteurs ; et en faisant voir que la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon entre le plus souvent dans ces valeurs , elle montre qu'une infinité d'autres transcendantes peuvent s'y introduire.

On a encore soumis au calcul des probabilités les témoignages , les votes et les décisions des assemblées électorales et délibérantes, et les jugemens des tribunaux. Tant de passions, d'intérêts divers et de circonstances compliquent les questions relatives à ces objets, qu'elles sont presque toujours insolubles. Mais la solution de problèmes plus simples, et qui ont avec elles beaucoup d'analogie, peut souvent répandre sur ces questions difficiles et importantes, de grandes lumières que la sûreté du calcul rend toujours préférables aux raisonnemens les plus spécieux.

L'une des plus intéressantes applications du calcul des probabilités, concerne les mib'eux qu'il faut choisir entre les résultats des observations. Plusieurs géomètres s'en sont occupés ; et Lagrange a publié, dans les Mémoires de Turin , une belle méthode pour déterminer ces milieux, quand la loi des erreurs des observations est connue. J'ai donné pour le même objet , une méthode fondée sur un artifice singulier qui peut être employé avec avantage dans d'autres questions d'analyse , et

Xij TfOTICE HISTORIQUE

qui en permettant d'étendre indéfiniment dans tout le cours d'un long calcul , des fonctions qui doivent être limitées par la nature du problème , indique les modifications que chaque terme du résultat final doit recevoir en vertu de ces limitations. On a vu, précédemment, que chaque observation fournit une équation de condition , du premier degré , qui peut toujours être disposée de manière que tous ses termes soient dans le premier membre , le second étant zéro. L'usage de ces équations est une des causes principales de la grande précision de nos tables astronomiques , parce que l'on a pu ainsi faire concourir un nombre immense d'excellentes observations , à la fixation de leurs élémens. Lorsqu'il n'y a qu'un seul élément à déterminer, Cotes avait prescrit de préparer les équations de condition, de sorte que le coefficient de l'élément inconnu fût positif dans chacune d'elles ; et d'ajouter ensuite toutes . ces équations , pour former une équation finale d'où l'on tire la valeur de cet élément. La règle de Côtes fut suivie par tous les calculateurs. Mais quand il fallait déterminer plusieurs élémens , on n'avait aucune règle fixe pour combiner les équations de condition, de manière à obtenir les équations finales nécessaires : seulement , on choisissait, pour chaque élément , les observations les plus propres à le détermiper. Ce fut pour obvier à ces lâtonnemens, que MM. Legendre et Gauss imaginèrent d'ajouter les carrés des premiers membres des équations de condition, et d'en rendre la somme un minimum, en y faisant varier chaque élément inconnu : par ce moyen , on obtient directement autant d'équations finales , qu'il y a d'élémens. Mais les valeurs déterminées par ces équations, méritentelles la préférence sur toutes celles que l'on peut obtenir par d'autres moyens ? C'est ce que le calcul des probabilités pouvait seul apprendre. Je l'appliquai donc à cet objet important , et je parvins par une analyse délicate , à une règle qui renferme la précédente, et qui réunit à l'avantage de donner, par un procédé régulier, les élémens cherchés, celui de les faire sortir avec le plus d'évidence, de l'ensemble des observations, et d'en

SUR LE CALCUL DES PROBABILITES. Xlïj

déterminer les valeurs qui ne laissent à craindre que les plus petites erreurs possibles.

On n'a cependant encore qu'une connaissance imparfaite des résultats obtenus , tant que la loi des erreurs dont ils sont susceptibles , n'est pas connue : il faut pouvoir assigner la probabilité que ces erreurs sont, contenues dans des limites données; ce qui revient à déterminer ce que j'ai nommé poids d'un résultat. L'Analyse conduit à des formules générales et simples pour cet objet. J'ai appliqué celte Analyse aux résultats des observations géodésiques. Le problème général consiste ■à déterminer les probabilités que les valeurs d'une ou de plusieurs fonctions linéaires des erreurs d'un très-grand nombre d'observations , sont renfermées dans des limites quelconques.

La loi de possibilité des erreurs des observations , introduit, dans les expressions de ces probabilités , une constante dont la valeur semble exiger la connaissance de cette loi presque toujours inconnue. Heureusement, cette constante peut être déterminée par les observations mêmes. Dans la recherche des élémens astronomiques, elle est donnée par la somme des carrés des différences entre chaque observation et le calcul. Les erreurs également probables étant proportionnelles à la racine carrée de cette somme , on peut, par la comparaison de ces carrés, apprécier l'exactitude relative des diverses tables d'un même astre. Dans les opérations géodésiques , ces carrés sont remplacés par les carrés des erreurs des sommes observées des trois angles de chaque triangle. La comparaison des carrés de ces erreurs , fera donc juger de la précision relative des instrumens avec lesquels on a mesuré les angles. On voit, par cette comparaison , l'avantage du cercle répétiteur , sur les instrument qu*i( a remplacés dans la Géodésie.

Il existe souvent, dans les observations, plusieurs sources d'erreurs : ainsi les positions des astres étant déterminées au moyen de la lunette méridienne et du cercle, tous deux susceptibles d'erreurs oont la loi de probabilité ne doit pas être supposée la mêtne , les élémens que l'on déduit de ces positions

XIV NOTICE U5TOBIQUE

sont affectes de ces erreurs. Les équations de condition que l'on forme pour avoir ces élémens, contiennent les erreurs de chaque instrument et elles y ont des coefficiens différons. Le système le plus avantageux des facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement ces équations, pour obtenir par la réunion des produits, autant d équations finales qu'il y a d'élémens à déterminer , n'est plus alors celui des coefficient des élémens dans chaque équation de condition. L'analyse dont j'ai fait usage, conduit facilement, quel que soit le nombre des sources d'erreur, au système de facteurs qui donne les résultats les plus avantageux ou dans lesquels une même erreur est moins probable que dans tout autre système. La même analyse détermine les lois de probabilité des erreurs de ces résultats. Ces formules renferment autant de constantes inconnues, qu'il y a de sources d'erreur, etqui dépendent des lois de probabilité de ces erreurs. On a vu , que dans le cas d'une source unique , on peut déterminer cette constante , en formant la somme des carrés deé résidus de chaque équation de condition , lorsqu'on y a substitué les valeurs trouvées pour les élémens. Un procédé semblable donne généralement les valeurs de ces constantes , quel que soit leur nombre ; ce qui complète l'application du calcul des probabilités aux résultats des observations.

Je dois ici faire une remarque importante. La petite incertitude que les observations, quand elles ne sont pas très-multi* pliées , laissent sur les valeurs des constantes dont je viens de parler , rend un peu incertaines les probabilités déterminées par l'analyse. Mais il suffit presque toujours de connaître si la probabilité que les erreurs des résultats obtenus sont renfermées dans d'étroites limites, approche extrêmement de l'unité; et quand cela n'est pas, il suffit de savoir jusqu'à quel point on doit multiplier les observations, pour acquérir une probabilité telle, qu'il ne reste, sur la bonté des résultats, aucun doute raisonnable* Les formules analytiques des probabilités remplissent parfaitement cet objet , et sous ce rapport , elles peuvent être envisagées comme le complément nécessaire des sciences fbn-

STJR LE CALCUL DES PROBABILITES. XV

dées sur un ensemble d'observations susceptibles d'erreur. Elles sont même indispensables pour résoudre un grand nombre de questions dans les sciences naturelles et morales. Les causes régulières des phénomènes sont le plus souvent, ou inconnues, ou trop compliquées pour être soumises au calcul : souvent encore leur action est troublée par des causes accidentelles et irrégulières ; mais elle reste toujours empreinte dans les événemens produits par toutes ces causes , et elle y apporte des modifications qu'une longue suite d'observations peut déterminer. L'Analyse des probabilités développe ces modifications : elle assigne la probabilité de leurs causes , et elle indique leç moyens d'accroître de plus en plus cette probabilité. Ainsi au milieu des causes irrégulières qui agitent l'atmosphère, les changemens périodiques de la chaleur solaire , du four à la nuit, et de l'hiver à l'été, produisent dans la pression de cette grande masse fluide, et dans la hauteur correspondante du baromètre , des oscillations diurnes et annuelles que de nombreuses observations barométriques ont fait connaître avec une probabilité au moins égale à celle des faits que nous regardons comme certains. C'est encore ainsi que la série des événemens historiques nous montre l'action constante des grands principes de la morale, au milieu des passions et des intérêts divers qui agitent en tous sens les sociétés. 11 est remarquable qu'une science qui a commencé par la considération des jeux , se soit élevée aux plus importais objets des connaissances humaines.

J'ai rassemblé toutes ces méthodes, dans ma Théorie analytique des Probabilités , où je me suis proposé d'exposer de la manière la plus générale, les principes et l'Analyse du Calcul des Probabilités , ainsi que les solutions des problèmes les plus intéressant et les plus difficiles que ce calcul présente.

On verra par cet Essai, que la théorie des probabilités n'est, au fond , que le bon sens réduit au calcul : elle fait apprécier avec exactitude , ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Elle

XVJ HOTICE HISTORIQUE

ne laisse rien d'arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre , toutes les fois que Ton peut , à son moyen , déterminer le choix le plus avantageux. Par là , elle devient le supplément le plus heureux , à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain. Si Ton considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a donné naissance, la vérité des principes qui lui servent de base, la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des problèmes , les étabiissemens d'utilité publique qui s'appuient sur' elle, et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore, par son application aux questions les plus importantes de la Philosophie naturelle et des sciences morales ; si l'on observe ensuite , que dans les choses mêmes qui ne peuvent être soumises au calcuL , elle donne les aperçus les plus surs qui puissent nous guider dans nos jugemens, et qu'elle apprend à se garantir des illusions qui souvent nous égarent , on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos méditations , et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le système de l'instruction publique.

SUR

Lœt Essai philosophique est le développement d'une leçon sur les probabilités, que je donnai en 1795, aux écoles normales où je fus appelé comme professeur de Mathématiques avec Lagrange, par un décret de la Convention nationale. J'ai publié depuis, sur le même sujet, un ouvrage ayant pour titre : Théorie analytique des Probabilités. Je présente ici , sans le secours de l'Analyse, les principes et les résultats généraux de cette théorie, en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie , qui ne sont en effet , pour la plupart , que des problèmes de probabilité. On peut même dire, à parler en rigueur, que presque toutes nos connaissances ne sont que probables ; et dans le petit nombre des choses que nous pouvons savoir avec certitude , dans les sciences mathématiques elles-mêmes , les principaux moyens de parvenir à la vérité , l'induction et l'analogie se fondent sur les probabilités ; en sorte que le système entier des connaissances humaines, se rattache à la théorie exposée dans cet essai. On y verra sans doute avec intérêt , qu'en ne considérant même dans les principes éternels de la raison , de la justice et de l'humanité , que les chances heureuses qui leur sont constam-

ment attachées, il y a un grand avantage à suivre ces principes , et de graves inconvéniens à s'en écarter : leurs chances , comme celles qui sont favorables aux loteries, finissant toujours par prévaloir au milieu des oscillations du hasard. Je désire que les réflexions répandues dans cet essai, puissent mériter l'attention des philosophes, et la diriger vers un objet si digne de les occuper.

De la Probabilité.

Tous les événemens , ceux mêmes qui par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du soleil. Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de l'univers, on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard, suivant qu'ils arrivaient et se succédaient avec régularité , ou sans ordre apparent ; mais ces causes imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant la saine philosophie , qui ne voit en elles , que l'expression de l'ignorance où nous sommes des véritables causes.

Les événemens actuels ont , avec les précédons , une liaison fondée sur le principe évident, qu'une chose ne peut pas commencer d'être , sans une cause qui la produise. Cet axiome , connu sous le nom de principe de la raison suffisante, s'étend aux actions mêmes que Ton juge indifférentes. La volonté la plus libre n^peut, sans un motif déterminant , leur donner naissance t car si toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables , elle agissait dans l'une et s'abstenait d'agir dans l'autre . son choix serait un effet sans cause : elle serait alors, dit Leibnitz, le hasard aveugle des épicu-

riens. L'opinion contraire est une illusion dé l'esprit qui , perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes , se persuade qu'elle s'est déterminée d'elle-même et sans motifs.

Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers , comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné , connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée , et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse , embrasserait dans la même formule les mouvemens des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle , et l'avenir comme le passé , serait présent à ses yeux. L'esprit humain offre , dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie , une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie , jointes à celle de la pesanteur universelle , l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques , les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances , il est parvéSîu à ramenet à des lois générales , les phénomènes observés , et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité , tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l'espèce humaine, est ce qui la rend supérieure au* animaux ; et ses progrès en ce genre , distinguent les nations et leà siècles , et font leur véritable gloire.

Rappelons-nous qu'autrefois, et à une époque qui

n'est pas encore bien reculée , une pluie ou une sécheresse extrême , une comète traînant après elle une queue fort étendue i les éclipses , les aurores boréales et généralement tous les phénomènes extraordinaires étaient, regardés comme autant de signes de la colère céleste. On invoquait le ciel pour détourner leur funeste influence. On ne le priait point de suspendre le cours des planètes et du soleil : l'observation eût bientôt fait sentir l'inutilité de ces prières. Mais comme ces phénomènes arrivant et disparaissant à de longs intervalles, semblaient contrarier l'ordre de la nature, on supposait que le ciel irrité par les crimes de la terre , les faisait naître pour annoncer ses vengeances. Ainsi la longue queue de la comète de i£56 répandit la terreur dans l'Europe, déjà consternée par les succès rapides des Turcs qui venaient de renverser le Bas-Empire. Cet astre , après quatre de ses révolutions , a excité parmi nous un intérêt bien différent. La connaissance des lois du système du monde , acquise dans cet intervalle , avait dissipé les craintes enfantées par l'ignorance des vrais rapports de l'homme avec l'univers ; et Halley ayant reconnu l'identité de cette comète, avec celles des années i53i, 1607 et 1682, annonça son retour prochain pour la fin de 1758 ou le commencement de 1759. Le monde savant attendit avec impatience ce retour qui devait confirmer l'une des plus grandes découvertes que l'on eût faites dans les sciences , et accomplir la prédiction de Sénèque , lorsqu'il a dit , en parlant de la révolution de ces astres qui descendent d'une énorme distance : « Le jour viendra que par une étude » suivie, de plusieurs siècles, les choses actuellement » cachées paraîtront avec évidence ; et la postérité s'é- « tonnera que des vérités si claires nous aient échappé. >»

Glairaut entreprit alors de soumettre à l'analyse, les perturbations que la comète avait éprouvées par Faction des deux plus grosses planètes , Jupiter et Saturne : après d'immenses calculs , il fixa son prochain passage au périhélie, vers le commencement d'avril 1769, ce que l'observation ne tarda pas à vérifier. La régularité que l'Astronomie nous montre dans le mouvement des comètes, a lieu , sans aucun doute , dans tous les phénomènes. La courbe décrite par une simple molécule d'air ou der vapeurs , est réglée d'une manière aussi certaine , que les orbites planétaires : il n'y a de différences entre elles , que celle qn'y met notre ignorance.

La probabilité est relative en partie à cette ignorance , en partie à nos connaissances. Nous savons que sur trois ou un plus grand nombre d'événemens, un seul doit arriver -, mais rien ne porte à croire que l'un d'eux arrivera plutôt que les autres. Dans cet état d'indécision , il nous est impossible de prononcer avec certitude sur leur arrivée. Il est cependant probable qu'un de ces événemens pris à volonté, n'arrivera pas, parce que nous voyons plusieurs cas également possibles qui excluent son existence , tandis qu'un seul la favorise.

La théorie des hasards consiste à réduire tous les événemens du même genre , à un certain nombre de cas également possibles , c'est-à-dire , tels que nous soyons également indécis, sur leur existence ; et à déterminer le nombre de cas favorables à l'événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles , est la mesure de cette probabilité qui n'est ainsi qu'une fraction dont le numérateur est le nombre des cas favorables , et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles.

La notion précédente de la probabilité suppose qu'en-

faisant croître, dans le même rapport, le nombre des cas favorables , et celui de tous les cas possibles , la probabilité reste la même. Pour s'en convaincre, que Ton considère deux urnes A , et B , dont la première contienne quatre boules blanches et deux noires , et dont la seconde ne renferme que deux boules blanches et une noire. On peut imaginer les deux boules noires de la première urne, attachées à un fil qui se rompt au moment où Ton saisit l'une d'elles pour l'extraire , et les quatre boules blanches formant deux systèmes semblables. Toutes les chances qui feront saisir l'une des boules du système noir, amèneront une boule noire. Si l'on conçoit maintenant que les fils qui unissent les boules , ne se rompent point , il est clair que le nombre des chances possibles ne changera pas , non plus que celui des chances favorables à l'extraction des boules poires; seulement, on tirera de l'urne, deux boules à la fois; la probabilité d'extraire une boule noire de l'urne , sera donc la même qu'auparavant. Mais alors, on a évidemment le cas de l'urne B , avec la seule différence, que les trois boules de cette dernière urne, soient remplacées par trois systèmes de deux boules invariablement unies.

Quand tous les cas sont favorables à un événement , sa probabilité se change en certitude , et son expression devient égale à l'unité. Sous ce rapport, la certitude et la probabilité sont comparables, quoiqu'il y ait une différence essentielle entre les deux états de l'esprit , lorsqu'une vérité lui est rigoureusement démontrée, ou lorsqu'il aperçoit encore une petite source d'erreur.

Dans les choses qui ne sont que vraisemblables, la différence des données que chaque homme a sur elles „ est une des causes principales de la diversité des opinions

que l'on voit régner sur les mêmes objets* Supposons, par exemple , que Ton ait trois urnes À , B , C , dont une ne contienne que des boules noires , tandis que les deux autres ne renferment que des boules blanches : on doit tirer une boule de l'urne G, et Ton demande la probabilité que cette boule sera noire. Si Ton ignore quelle est celle des trois urnes, qui ne renferme que des boules noires, en sorte que Ton n'ait aucune raison de croire qu'elle est plutôt C, que B ou A; ces trois hypothèses paraîtront e'galement possibles; et, comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première hypothèse , la probabilité de l'extraire est égale à un tiers. Si Ton sait que l'urne A ne contient que des boules blanches , l'indécision ne porte plus alors que sur les urnes B et C, et la probabilité que la boule extraite de l'urne G sera noire , est un demi. Enfin , cette probabilité se change en certitude, si l'on est assuré que les urnes A et B ne contiennent que des boules blanches. C'est ainsi que le même fait , récité devant une nombreuse assemblée, obtient divers degrés de croyance, suivant l'étendue des connaissances des auditeurs. Si l'homme qui le rapporte, en est intimement persuadé, et si , par son état et par son caractère , il inspire une grande confiance; son récit, quelque extraordinaire qu'il soit, aura, pour les auditeurs dépourvus de lumières, le même degré de vraisemblance, qu'un fait ordinaire rapporté par le même homme , et ils lui ajouteront une foi entière. Cependant si quelqu'un d'eux sait que le même fait est rejeté par d'autres hommes également respectables , il sera dans le doute ; et le fait sera jugé faux par les auditeurs éclairés qui lé trouveront contraire , soit à des faits bien avérés , soit aux. lois immuables de la nature.

C'est à l'influence de l'opinion de ceux que la multitude juge les plus instruits, et à qui elle a coutume de donner sa confiance sur les plus importans objets de la vie , qu'est due la propagation de ces erreurs qui , dans les temps d'ignorance , ont couvert la face du monde. La Magie et l'Astrologie nous en offrent deux grands exemples. Ces erreurs inculquées dès l'enfance, adoptées sans examen , et n'ayant pour base que la croyance universelle, se sont maintenues pendant très long-temps ; jusqu'à ce qu'enfin le progrès des sciences les ait détruites dans l'esprit des hommes éclairés dont ensuite l'opinion les a fait disparaître chez le peuple même, par le pouvoir de l'imitation et de l'habitude, qui les avait si généralement répandues. Ce pouvoir , le plus puissant ressort du monde moral, établit et conserve dans toute une nation , des idées entièrement contraires à celles qu'il maintient ailleurs avec le même empire. Quelle indulgence ne devons-nous donc pas avoir pour les opinions différentes des nôtres ; puisque cette différence ne dépend souvent que des points de vue divers où les circonstances nous ont placés ! Eclairons ceux que nous ne jugeons pas suffisamment instruits; mais auparavant , examinons sévèrement nos propres opinions , et pesons avec impartialité leurs probabilités respectives.

La différence des opinions dépend encore de la ma-* nière dont on détermine l'influence des données qui sont connues. La théorie des probabilités tient à des considérations si délicates, qu'il n'est pas surprenant qu'avec les mêmes données, deux personnes trouvent des résultats différens , surtout dans les questions trèscompliquées. Exposons ici les principes généraux de cette Théorie.

Principes généraux du Calcul des Probabilités.

I er Principe. — Le premier de ces principes est la définition même de la probabilité qui, comme on Ta vu, est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles.

II e Principe. — Mais cela supposé les divers cas, également possibles. S'ils ne le sont pas, on déterminera d'abord leurs possibilités respectives dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. Éclaircissons ce principe par un exemple.

Supposons que Ton projette en l'air une pièce large et très-mmee dont les deux grandes faces opposées , que nous nommerons croix et pile, soient parfaitement semblables. Cherchons la probabilité d'amener croix , une fois au moins en deux coups. Il est clair qu'il peut arriver quatre cas également possibles , savoir , croix au premier et au second coup; croix au premier coup et pile au second; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile aux deux coups. Les trois premiers cas sont favorables à l'événement dont on cherche la probabilité qui, par conséquent, est égale à |; en sorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins une fois en deux coups.

On peut ne compter à ce jeu , que trois cas différons , savoir : croix au premier coup, ce qui dispense d'en jouer un second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à f , si l'on considérait avec d'Alembert, ces trois cas, comme également possibles. Mais

io ESSAI PHILOSOPHIQUE

il est visible que la probabilité <Tamener croix au premier coup est 7 , tandis que celle des deux autres cas est i; le premier cas étant un événement simple qui correspond aux deux éve'nemens composés, croix au premier et au second coup , et croix au premier coup , pile au second. Maintenant , si conformément au second principe , on ajoute la possibilité \ de -croix au premier coup , à la possibilité \ de pile arrivant au premier coup et croix au second , on aura £ pour la probabilité cherchée, ce qui s'accorde avec ce que Ton trouve dans la supposition où Ton joue les deux coups. Cette supposition ne change point le sort de celui qui parie pour cet événement : elle sert seulement à réduire les divers cas , à des cas également possibles.

III e Principe. — Un des points les plus important de la Théorie des Probabilités, et celui qui prête le plus aux illusions, est la manière dont les probabilités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les événemens sont indépendans les uns des autres; la probabilité de l'existence de leur ensemble, est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d'amener un as avec un seul dé, étant un sixième ; celle d'amener deux as en projetant deux dés à la fois , est un trente-sixième. En effet , chacune des faces de l'un, pouvant se combiner avec les six faces de l'autre; il y a trente-six cas également possibles, parmi lesquels un seul donne les deux as. Généralement , la probabilité qu'un événement simple dans les mêmes circonstances, arrivera de suite, un nombre donné de fois , est égale à la probabilité de cet événement simple , élevée à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi les puissances successives d'une fraction moindre que l'unité, diminuant san* cesse; un événement qui dé-

SUR LES PROBABILITES. n

pend, d'une suite de probabilités fort grandes, peut devenir extrêmement peu vraisemblable. Supposons qu'un fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier Tait transmis au second, le second au troisième, et ainsi de suite. Supposons encore que la probabilité de chaque témoignage soit égale à ~ : celle du fait , résultante des témoignages , sera moindre qu'un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité , qu'à l'extinction de la clarté des objets , par l'interposition de plusieurs morceaux '« de verre ; un nombre de morceaux peu considérable , suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention à cette dégradation de la probabilité des faits , lorsqu'ils sont vus à travers un grand nombre de générations successives : plusieurs événemens historiques, réputés certains , seraient au moins douteux , si on les soumettait à cette épreuve.

Dans les sciences purement mathématiques , les conséquences las plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent. Dans les applications de l'Analyse à la Physique , les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences; Mais dans les sciences morales, où chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède , que d'une manière vraisemblable ; quelque probables que 3oient ces déductions, la chance de l'erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance de la vérité, dans les conséquences trèséloignées du principe.

IV e P*mcn?E. — Quand deux événemens dépendent I un de l'autre , la probabilité de l'événement composé est le produit de la probabilité du premier événement >

ia ESSAI PHILOSOPHIQUE

par la probabilité que cet événement étant arrivé, l'autre arrivera. Ainsi, dans le cas précédent de trois urnes A, B, C, dont deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boules noires ; la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne C est £ , puisque sur trois urnes , deux ne contiennent que des boules de cette couleur. Mais lorsqu'on a extrait une boule blanche, de l'urne C, l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferme que des boules noires, ne portant plus que sur les urnes A et B: la probabilité d'extraire une boule blanche, de l'urne B est 7, le produit de | par \ , ou £ est donc la probabilité d'extraire à la fois des urnes B et C , deux boules blanches. En effet , il est nécessaire pour cela , que l'urne A soit celle des trois urnes qui contient des boules noires ; et la probabilité de ce cas est évidemment |.

On voit , par cet exemple , l'influence des événemens passés sur la probabilité des événemens futurs. Car la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne B y qui primitivement est£, devient 7, lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne C : elle se changerait en certitude, si l'on avait extrait une boule noire de la même urne. On déterminera cette influence, au moyen du principe suivant qui est un corollaire du précédent.

V e Principe. — Si l'on calcule à priori, la probabilité de l'événement arrivé, et la probabilité d'un événement composé ,de celui-ci et d'un autre qu'on attend ; la seconde probabilité divisée par la première, sera la probabilité de l'événement attendu, tirée de l'événement observé.

Ici se présente la question agitée par quelques philosophes , touchant l'influence du passé sur la' probabilité de l'avenir. Supposons qu'au jeu de croix ou pile , croix

SUR LES PROBABILITES- i3

soit arrivé plus souvent que pile : par cela seul , nous serons portés à croire que dans la constitution de la pièce, il existe une cause constante qui le favorise. Ainsi , dans la conduite de la vie, le bonheur constant est une preuve d'habileté , qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais si par l'instabilité des circonstances , nous sommes ramenés sans cesse à l'état d'une indécision absolue; si, par exemple, on change de pièce à chaque coup , au jeu de croix on pile; le passé ne peut répandre aucune lumière sur l'avenir , et il serait absurde d'en tenir compte.

VI e Principe. — Chacune des causes auxquelles un événement observé peut être attribué, est indiquée avec d'autant plus de vraisemblance, qu'il est plus probable que cette cause étant supposée exister , l'événement aura heu -, la probabilité de l'existence d'une quelconque de ces causes, est donc une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement, résultante de cette cause, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes : si ces diverses causes considérées à priori , sont inégalement probables ; il faut , au lieu de la probabilité de l'événement , résultante de chaque cause , employer le produit de cette probabilité , par la possibilité de la cause ellemême. C'est le principe fondamental de cette branche de l'Analyse des hasards , qui consiste à remonter des événemens aux causes.

Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les événemens réguliers, à une cause particulière. Quelques philosophes ont pensé' que ces événemens sont moins possibles que les autres , et qu'au jeu de croix ou pile y par exemple, la combinaison dans laquelle croix arrive vingt fois de suite, est moins facile à la nature,

que celles où croix et pile sont entremêlés (Tune façon irrégulière. Mais cette opinion suppose que les événemens passés influent sur la possibilité des événemens futurs, ce qui n'est point admissible. Les combinaisons régulières n'arrivent plus rarement, que parce qu'elles sont moins nombreuses. Si nous recherchons une cause, là où nous apercevons de la symétrie ; ce n'est pas que nous regardions un événement symétrique, comme moins possible que les autres ; maïs cet événement devant être l'effet d'une cause régulière, ou celui du hasard , la première de ces suppositions est plus probable que la seconde. Nous voyons sur une table, des caractères d'imprimerie disposés dans cet ordre, Constaniinople; et nous jugeons que cet arrangement n'est pas l'effet du hasard , non parce qu'il est moins possible que les autres, puisque si ce mot n'était employé dans aucune langue , nous ne lui soupçonnerions point de cause particulière ; mais ce mot étant en usage parmi nous, il est incomparablement plus probable qu'une personne aura disposé ainsi les caractères précédens, qu'il ne l'est que cet arrangement est dû au hasard. C'est ici le lieu de définir le mot extraordinaire. Nous rangeons par la pensée, tous les événemens possibles, en diverses classes; et nous regardons cpmme extraordinaires, ceux des classes qui en comprennent un trèspetit nombre. Ainsi, au jeu de croix ou pile, l'arrivée de croix cent fois de suite , nous paraît extraordinaire ; parce que le nombre presque infini des combinaisons qui peuvent arriver en cent coups, étant partagé en séries régulières ou dans lesquelles nous voyons régner tin ordre facile à saisir , et en séries irrégulières ; celles-ci sont incomparablement plus nombreuses. La sortie d'une boule blanche, d'une urne qui , sur un million de boules ,

SUR LES PROBABILITÉS. i5

n'en contient qu'une seule de cette couleur, les autres étant noires , nous paraît encore extraordinaire , parce que nous ne formons que deux classes d'événemens, relatives aux deux couleurs. Mais la sortie du n° 4758 1 3 , par exemple , d'une urne qui renferme un million de numéros , nous semble un événement ordinaire ; parce que comparant individuellement les numéros , les uns aux autres, sans les partager en classes, nous n'avons aucune raison de croire que l'un deux sortira plutôt que les autres.

De ce qui précède , nous devons généralement conclure que plus un fait est extraordinaire , plus il a besoin d'être appuyé de fortes preuves. Car ceux qui l'attestent, pouvant ou tromper, ou avoir été trompés, ces deux causes sont d'autant plus probables , que la réalité du fait l'est moins en elle-même. C'est ce que l'on verra particulièrement, lorsque nous parlerons de la probabilité des témoignages.

VIP Principe.: — La probabilité d'un événement futur est la somme des produits de la probabilité de chaque cause , tirée de l'événement observé , par la probabilité que , cette cause existant , l'événement futur aura lieu. L'exemple suivant éclaircira ce principe.

Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont chacune soit ou blanche, ou noire. On extrait une de ces boules , que l'on remet ensuite dans Furne , pour procéder à un nouveau tirage. Supposons que dans les deux premiers tirages, on ait amené des boules blanches ; on demande la probabilité d'amener encore une boule blanche au troisième tirage.

On ne peut faire ici que ces deux hypothèses : ou l'une des boules est blanche , et l'autre, noire ; ou toutes deux sont blanches. Dans la première hypothèse, la

16 ESSAI PHILOSOPHIQUE j

probabilité de l'événement observé est ~ : elle est l'unité ou la certitude dans la seconde. Ainsi , en regardant ces hypothèses , comme autant de causes ; on aura pour le sixième principe, | et | pour leurs probabilités respectives. Or, si la première hypothèse a lieu , la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage est ^ : elle égale l'unité, dans la seconde hypothèse; en multipliant donc ces dernières probabilités , par celles des hypothèses correspondantes , la somme des produits , ou ■— sera la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage.

Quand la probabilité d'un événement simple est inconnue, on peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses , tirée de l'événement observé, est par le sixième principe, une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement dans cette hypothèse, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les hypothèses. Ainsi la probabilité que la possibilité de l'événement est comprise dans des limites données , est la somme des fractions comprises dans ces limites. Maintenant, si l'on multiplie chaque fraction, par la probabilité de l'événement futur , déterminée dans l'hypothèse correspondante; la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera, par le septième principe, la probabilité de l'événement futur, tirée de l'événement observé. On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé de suite, un nombre quelconque de fois , la probabilité qu'il arrivera encore la fois suivante , est égale à ce nombre augmenté de l'unité , divisé par le même nombre augmenté de deux unités. En faisant, par exemple, remonter la plus ancienne époque de l'histoire, à cinq mille ans, ou à

SUR LES PROBABILITÉS, i 7 -

1 82621 3 jours, et le soleil s étant 1ère constamment dans cet intervalle , à chaque révolution de vingt-quatre heures; il y a 1826214 à parier contre un, qu'il se lèvera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui , connaissant par Y ensemble des phénomènes , le principe régulateur des jours et des saisons, voit que rien, dans le moment actuel, ne peut en arrêter le cours.

Buflbn , dans son Arithmétique politique , calcule différemment la probabilité précédente. Il suppose qu'elle ne diflere de l'unité , que d'une fraction dont le numérateur est l'unité , et dont le dénominateur est le nombre deux élevé à une puissance égale au nombre des jours écoulés depuis l'époque. Mais la vraie manière de remonter des événemens passés , à la probabilité des causes et des événemens futurs , était inconnue à cet illustre écrivain. x

De V Espérance.

La. probabilitédes événemens sert à déterminer l'espérance ou la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions : il exprime généralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque , dans des suppositions qui ne sont que probables. Cet avantage, dans la théorie des hasards, est le produit de la somme espérée , par la probabilité de l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir lorsqu'on ne veut pas courir les risques de l'événement, en supposant que la répartition se fesse proportionnellement aux probabilités. Cette répartition est la seule équitable , lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances étrangères ; parce qu'un égal degré de probar

i« ESSAI PHILOSOPHIQUE

bilité , donne un droit égal sur la somme espérée. Nous nommerons cet avantage , espérance mathématique.

VHI e Principe. — Lorsque l'avantage dépend de plusieurs événemens , on l'obtient , en prenant la somme des produits de la probabilité de chaque événement , par le bien attaché à son arrivée.

Appliquons ce principe à des exemples. Supposons qu'au jeu de croix ou pile, Paul reçoive deux francs, s'il amène croix au premier coup , et cinq francs , s'il ne l'amène qu'au second. En multipliant deux francs , par la probabilité ~ du premier cas , et cinq francs , par la probabilité ~ du second cas ; la somme des produits , ou deux francs et un quart , sera l'avantage de Paul. C'est la somme qu'il doit donner d'avance à celui qui lui a fait cet avantage ; car, pour l'égalité du jeu , la mise doit être égale à l'avantage qu'il procure.

Si Paul reçoit deux francs , en amenant croix au premier coup , et cinq francs en l'amenant au second coup , dans le cas même où il l'aurait amené au premier; alors la probabilité d'amener croix au second coup, étant f; en multipliant deux francs et cinq francs par | , la somme de ces produits , donnera trois francs et demi pour l'avantage de Paul, et par conséquent pour sa mise au jeu.

IX e Principe. — Dans une série d'événemens probables, dont les uns produisent un bien, et les autres, une perte ; on aura l'avantage qui en résulte , en faisant une somme des produits de la probabilité 'de chaque événement favorable , par le bien qu'il produre ; et en retranchant de cette somme, celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable , par la perte qui y est attachée. Si la seconde somme l'emporte sur la première , le bénéfice devient perte, et l'espérance se change en craintç.

On doit toujours , dans la conduite de la vie , faire en sorte d'égaler, au moins , le produit, du bien que Ton espère , par sa probabilité , au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire pour y parvenir, d'apprécier exactement les avantages, les pertes, et leurs probabilités respectives. Il faut , pour cela , une grande justesse d'esprit, un tact délicat, et une grande expérience des choses : il faut savoir se garantir des préjugés, des illusions de la crainte et de l'espérance , et de ces fausses idées de fortune et de bonheur, dont la plupart des hommes bercent leur amour-propre.

L'application des principes précédens , à la question suivante, a beaucoup exercé les géomètres. Paul joue à croix onpile, avec la condition de recevoir deux francs , s'il amène croix au premier coup ; quatre francs , s'il ne l'amène qu'au second ; huit francs , s'il ne l'amène qu'au troisième , et ainsi de suite. Sa mise au jeu doit être , par le huitième principe , égale au nombre des coups ; en sorte que si la partie continue à l'infini , la mise doit être infinie. Cependant , aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce jeu, une somme même modique, cinquante francs , par exemple. D'où vient cette différence entre le résultat du calcul , et l'indication du sens commun? On reconnut bientôt qu'elle tenait à ce que l'avantage moral qu'un bien nous procure , n'est pas proportionnel à ce bien , et qu'il dépend de mille circonstances souvent très-difficiles à définir, mais dont la plus générale et la plus importante est celle de la fortune. En eflèt , il est visible qu'un franc a beaucoup plus de prix pour celui qui n'en a que cent , que pour un millionnaire. On doit donc distinguer, dans le bien espéré , sa valeur absolue de sa valeur relative : celle-ci se règle sur les motifs qui le font désirer , au lieu que la

%o ESSAI PHILOSOPHIQUE

première en est indépendante. On ne pent donner de principe général , ponr apprécier cette valeur relative. En voici cependant un , proposé par Daniel Bernouilli , et qui peut servir dans beaucoup de cas!

X 6 Principe. — La valeur relative d'une somme infiniment petite , est égale à sa valeur absolue divisée par le bien total de la personne intéressée. Cela suppose que tout homme a un bien quelconque dont la valeur ne peut jamais être supposée nulle. En effet , celui même qui ne possède rien , donne toujours au produit de son travail et à ses espérances , une valeur au moins égale a ce qui lui est rigoureusement nécessaire pour vivre.

Si Ton applique l'analyse au principe que nous venons d'exposer , on obtient la règle suivante.

En désignant par l'unité , la partie de la fortune d'un individu , indépendante de ses expectatives ; si Ton détermine les diyerses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives , et leurs probabilités ; le produit de ces valeurs élevées respectivement aux puissances indiquées par ces probabilités f sera la fortune physique qui procurerait à l'individu le même avantage moral qu'il reçoit de la partie de sa fortune , prise pour unité , et de ses expectatives ; en retranchant donc l'unité, de ce produit, la différence sera l'accroissement de la fortune physique, du aux expectatives : nous nommerons cet accroissement , espérance morale. Il est facile de voir qu'elle coïncide avec l'espérance, mathématique, lorsque la fortune, prise pour unité , devient infinie par rapport aux variations qu'elle reçoit des expectatives. Mais lorsque ces variations sont une partie* sensible de cette unité , les deux espérances peuvent différer trèssensiblement entre elles.

Cette règle conduit à des résultats conformes aux

SUR LES PROBABILITES. ai

indications du sens commun, que Ton peut, par ce moyen , apprécier avec quelque exactitude. Ainsi dans la question précédente , on trouve que si la fortune de Paul est de deux cents francs ; il ne doit pas raisonnablement mettre au jeu plus de neuf francs. La même règle conduit encore à répartir le danger, sur plusieurs parties d'un bien que Ton attend , plutôt que d'exposer, ce bien tout entier au même danger. Il en résulte pareillement qu'au jeu le plus égal, la perte est toujours relativement plus grande que le gain. En supposant par exemple, qu'un joueur ayant une fortune de cent francs, en expose cinquante au jeu de croix ou pile; sa fortune après sa mise au jeu, sera réduite à quatre-vingt-sept francs , c'est-à-dire que cette dernière somme procurerait au joueur le même avantage moral, que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux , dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée , par sa probabilité. On peut juger par là de l'immoralité des jeux dans lesquels la somme espérée, est au-dessous de ce produit. Us ne subsistent que par les faux raisonnemens et par la cupidité qu'ils fomentent , et qui portant le peuple à sacrifier son nécessaire, à des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance , sont la source d'une infinité de maux.

Le désavantage des jeux , l'avantage de ne pas exposer au même danger, tout le bien qu'on attend , et tous les résultats semblables indiqués par le bon sens , subsistent , quelle que soit la fonction de la fortune physique qui , pour chaque individu, exprime sa fortune morale - Il suffit que le rapport de l'accroissement de cette fonction à r accroissement de la fortune physique , diminue à mesure que celle-ci augmente.

a* ESSAI PHILOSOPHIQUE

Des méthodes analytiques du Calcul des Probabilités.

L'application des principes que nous venons d'exposer, aux diverses questions de probabilité, exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'Analyse , et spécialement à la théorie des combinaisons , et au calcul des différences finies.

Si l'on forme le produit des binômes, l'unité plus une première lettre , l'unité plus une seconde lettre , l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite, jusqu'à/1 lettres; en retranchant l'unité, de ce produit développé, on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une , deux à deux , trois à trois, etc.; chaque combinaison ayant l'unité pour coefficient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises ;à^on observera que si l'on suppose ces lettres égales entre elles , le produit précédent deviendra la puissance n du binôme , un plus la première lettre ; ainsi le nombre des combinaisons des n lettres prises s à s, sera le coefficient de la puissance s de la première lettre , dans le développement de ce binôme ; on aura donc ce nombre , par la formule connue du binôme.

On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison , en observant que si l'on joint une seconde lettre à la première , on peut la placer au premier et au second rang , ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinaisons , une troisième lettre , on peut lui donner dans chaque combinaison , le premier, le second et le troisième rang ; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres; en tout , six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangemens dont s lettres sont sus-

ceptiblés, est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à s; il faut donc, pour avoir égard à la situation respective des lettres , multiplier par ce produit , le nombre des combinaisons des n lettres prises s à s; ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binôme , qui exprime ce nombre.

Imaginons une loterie composée de n numéros dont r sortent à chaque tirage : on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on formera une fraction dont le dénominateur sera le nombre de tous les cas possibles, on des combinaisons des n numéros pris r à r, et dont le numérateur sera le nombre de toutes ces combinaisons qui contiennent les s numéros donnés. Ce dernier nombre est évidemment celui des combinaisons des autres nu* méros pris n moins s kn moins s. Cette fraction sera la probabilité demandée, et l'on trouvera facilement qu'elle se réduit à une fraction dont le numérateur est le nombre des combinaisons de r numéros pris s à s, et dont le dénominateur est le nombre des combinaisons des n numéros pris r semblablement s à s. Ainsi , dans la loterie de France, formée, comme on sait, de 90 numéros dont cinq sortent à chaque tirage , la probabilité de la sortie d'un extrait donné, est £• ou ~ ; la loterie devrait donc alors pour l'égalité du jeu , rendre dix-huit fois la mise. Le nombre total des combinaisons deux à deux , de 90 numéros, est 4oo5 , et celui des combinaisons deux à deux, de cinq numéros, est dix. La probabilité de la sortie d'un ambe donné est donc ~~ et la loterie devrait rendre alors quatre cents fois et demie, la mise : elle devrait la rendre 1 1748 fois pour un terne , 5 1 io3# fois pour un quaterne, et 43949268 fois pour un quine. La loterie est loin de faire aux joueurs ces avantages..

Supposons dans une urne , a boules blanches et b boules noires , et qu'après en avoir extrait une boule , on la remette dans l'urne ; on demande la probabilité que dans le nombre n de tirages , on amènera m boules blanches et n moins m boules noires. U est clair que le nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage est a plus b. Chaque cas du second tirage , pouvant se combiner avec tous les cas du premier , le nombre de cas possibles en deux tirages , est le carré du binôme , a plus b. Dans le développement de ce carré , le carré de a exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche ; le double produit de a par b, exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées ; enfin le carré de b exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi, on voit généralement que la puissance » du binôme a plus b, exprime le nombre de tous les cas possibles dans n tirages; et que, dans le développement de cette puissance, le terme multiplié par la puissance m de a, .exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener m boules blanches , et n moins m boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binôme * on aura la probabilité d'amener m boules blanches et n moins m boules noires. Le rapport des nombres a, et a plus b, étant la probabilité d'amener une boule blanche dans un tirage; et le rapport des nombres b, et a plus b, s étant la probabilité d'amener une boule noire; si l'on nomme p et q ces probabilités, la probabilité d'amener* m boules blanches , dans n tirages , sera le terme multiplié par la puissance mdep, dans le développement de la puissance n du binôme/? plus q : on peut observer que la somme p plus q est l'unité. Cette propriété re-

marquable du binôme , est très-utile dans la théorie des probabilités.

Mais la méthode la plus générale et la plus directe , pour résoudre les questions de probabilité , consiste à les faire dépendre d'équations aux différences» En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité, lorsque Ton fait croître les variables de leurs différences respectives , la question proposée fournit souvent un rapport très-simple entre ces états. Ce rapport est ce que l'on nomme équation aux différences ordinaires, ou partielles ; ordinaires, lorsqu'il n'y a qu'une variable ; partielles , lorsqu'il y en a plusieurs. Donnons-en quelques exemples.

Trois joueurs dont les forces sont supposées les mêmes, jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui: des deux premiers joueurs , qui gagne son adversaire , joue avec le troisième , et s'il le gagne , la partie est finie. S'il est vaincu , le vainqueur joue avec l'autre , et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux aujres, ce qui termine la partie : on demande la probabilité que la partie sera finie dans un nombre quelconque n de coups. Cherchons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément au coup n. Pour cela , le joueur qui gagne, doit entrer au jeu, au coup n moins un, et le gagner ainsi que le coup suivant. Mais si , au lieu de gagner le coup n moins un, il était vaincu par son adversaire, celui-ci venant de gagner l'autre joueur , la partie finirait à ce coup. Ainsi la probabilité qu'un des joueurs entrera au jeu, au coup n moins un , et le gagnera, est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup ; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant , pour que la partie se termine au coup 71, la probabilité de ce dernier cas ne sera

qu'un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre n; cette fonction est donc égale à la moitié de la même fonction , lorsqu'on y diminue n, de l'unité. Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomme équations aux différences finies ordinaires.

On peut déterminer facilement, à son moyen , la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir, au plus tôt, qu'au second coup; et pour cela, il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire , gagne, au second coup, le troisième joueur ; la probabilité que la partie finira à ce coup , est donc \. De là, en vertu de l'équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie, sont - pour le troisième coup , \ pour le quatrième , etc.; et généralement £ élevé à la puissance n moins un, pour le n ième coup. La somme de toutes ces puissances de 7 est l'unité moins la dernière de ces puissances; c'est la probabilité que la partie sejja terminée , au plus tard , dans n coups.

Considérons encore le premier problème un peu difficile que l'on ait résolu sur les probabilités , et que Pascal proposa de résoudre, à Fermât. Deux joueurs A et B, dont les adresses sont égales, jouent ensemble avec la condition que celui qui, le premier, aura vaincu l'autre un nombre donné de fois , gagnera la partie , et emportera la somme des mises au jeu : après quelques coups , les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie ; on demande de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie ; la question se réduit donc à

SUR LES PROBABILITES. 27

déterminer ces probabilite's. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilitë de À est une fonction de ces deux nombres que nous nommerons indices. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort , pourvu qu'après ce nouveau coup , le partage se fasse toujours proportionnellement aux nouvelles probabilités de gagner la partie) , alors , ou A gagnerait ce coup , et dans ce cas , le nombre des points qui lui manquent , serait diminué d'une unité ; ou le joueur B le gagnerait , et dans ce cas , le nombre des points manquans à ce dernier joueur deviendrait moindre d'une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est i; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction, dans laquelle on diminue de l'unité , le premier indice ; plus à la moitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de l'unité. Cette égalité est une de ces équations que l'on nomme équations aux différences partielles.

On peut déterminer, à son moyen , les probabilités de A, en partant des plus petits nombres , et en observant que la probabilité ou la fonction qui l'exprime est égale à l'unité , lorsqu'il ne manque aucun point au joueur A, ou lorsque le premier indice est nul ; et que cette fonction devient nulle , avec le second indice. En supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point, au joueur A, on trouve que sa probabilité est 7 , f , | , etc. , suivant qu'il manque à B, un point , ou deux, ou trois, etc. Généralement , elle est alors l'unité , moins la puissance de 7 égale au nombre des points qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points au joueur A , et l'on trouvera sa probabilité égale à 7, 7, ~, etc. , sui-

yant qu'il manque à B , un point , ou deux, ou trois, etc. On supposera encore qu'il manque trois points au joueur A , et ainsi de suite.

Cette manière d'obtenir les valeurs successives d'une quantité, au moyen de son équation aux différences, est longue et pénible. Les géomètres ont cherché des méthodes pour avoir la fonction générale des indices , qui satisfait à cette équation , en sorte que Ton n'ait besoin , pour chaque cas particulier , que de substituer dans cette fonction , les valeurs correspondantes des indices. Considérons cet objet, d'une manière générale. Pour cela , concevons une suite de termes disposés sur une ligne horizoutale, et tels que chacun d'eux dérive des précédens , suivant une loi donnée. Supposons cette loi exprimée par une équation entre plusieurs termes consécutifs , et leur indice ou le nombre qui indique le rang qu'ils occupent dans la série. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies a un seul indice. L'ordre ou le degré de cette équation est la différence du rang de ses deux termes extrêmes. On peut , à son moyen , déterminer successivement les termes de la série, et la continuer indéfiniment; mais il faut, pour cela connaître un nombre de termes de la série , égal au degré de l'équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l'expression du terme général de la série , ou de l'intégrale de l'équation aux différences.

Concevons maintenant, au-dessus des termes de la série précédente , une seconde série de termes disposés horizontalement ; concevons encore, au-dessus des termes de la seconde série , une troisième série horizontale , et ainsi de suite à l'infini ; et supposons les termes de toutes ces séries , liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs, pris tant dans le sens horizontal,

SUR LES PROBABILITES. 29

que dans le .sens vertical , et les nombres qui indiquent leur rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à deux indices.

Concevons pareillement, au-dessus du plan des séries précédentes , un second plan de séries semblables dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux du premier plan : concevons ensuite , au-dessus de ce second plan, un troisième plan de séries semblables, et ainsi à l'infini : supposons tous les ternies de ces séries, liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris da*is le sens de la. longueur, de la largeur et de la profondeur, et les nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à trois indices.

Enfin, en considérant la chose , d'une manière abstraite et indépendante des dimensions de l'espace , concevons généralement un système de grandeurs qui soient fonctions d'un nombre quelconque d'indices , et supposons entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces indices, et les indices eux-mêmes, autant d'équations qu'il y a de ces grandeurs ; ces équations seront aux différences finies partielles a un nombre quelconque d'indices.

On peut , à leur moyen , déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même que l'équation à un seul indice exige , pour cela , que l'on connaisse un certain nombre de termes de la série; de même l'équation à deux indices exige que l'on connaisse une ou plusieurs lignes de séries dont les termes généraux puissent être exprimés, chacun par une fonction arbitraire d'un des indices. Pareillement, l'équation à trois indices exige que l'on connaisse un ou plusieurs plans de séries dont

3o ESSAI PHILOSOPHIQUE

les termes généraux puissent être exprimés , chacun par une fonction arbitraire de deux indices ; ainsi de suite. Dans tous ces cas , on pourra, par des éliminations successives , déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine, étant comprises dans un même système d'équations, toutes les expressions des termes successifs que Ton obtient par ces éliminations doivent être comprises dans une expression générale , fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l'intégrale de l'équation proposée aux différences, et sa recherche est l'objet du Calcul intégral.

Taylor est le premier qui , dans son ouvrage intitulé Methodus incrementorum , ait considéré les équations linéaires aux différences finies. Il y donne la manière d'intégrer celles du premier ordre , avec un coefficient et un dernier terme , fonctions de l'indice. A la vérité , les relations des termes des progressions arithmétiques et géométriques que l'on a considérées de tout temps , sont les cas les plus simples des équations linéaires aux différences ; mais on ne les avait pas envisagées sous ce point de vue, l'un de ceux qui. se rattachant à des théories générales, conduisent à ces théories, et sont par là de véritables découvertes.

Vers le même temps, Moi vre considéra, sous la dénomination de suites récurrentes, les équations aux différences finies d'un ordre quelconque , à coefficiens constans. Il parvint à les intégrer d'une manière trèsingénieuse. Comme il est toujours intéressant de suivre la marche des inventeurs, je vais exposer celle de Moi vre, en l'appliquant à une suite récurrente dont la relation entre trois termes consécutifs est donnée. D'abord, il considère la relation entre les termes consécutifs d'une

SUR LES PROBABILITÉS. 3i

progression géométrique , ou l'équation à deux termes m qui l'exprime. En la rapportant aux termes inférieurs d'une unité , il la multiplie dans cet état par un facteur constant , et il retranche le produit , de l'équation primitive. Par là , il obtient une équation entre trois termes consécutifs de la progression géométrique. Moivre considère ensuite une seconde progression dont la raison des termes est le facteur même qu'il vient d'employer. Il diminue pareillement d'une unité , l'indice des termes de l'équation de cette nouvelle progression : dans cet état, il la multiplie par la raison des termes de la première progression , et il retranche le produit , de l'équation de la seconde progression , ce qui lui donne entre trois termes consécutifs de cette progression , une relation entièrement semblable à celle qu'il a trouvée pour la première progression. Puis il observe que si l'on' ajoute, terme à terme, les deux progressions, la même relation subsiste entre trois quelconques de ces sommes consécutives. Il compare lçs coefficiens de cette relation , à ceux de la relation des termes de la suite récurrente proposée , et il trouve, pour déterminer les raisons des deux progressions géométriques, une équation du second degré , dont les racines sont ces raisons. Par là , Moivre décompose la suite récurrente, en deux progressions géométriques, multipliées chacune par une constante arbitraire qu'il détermine au moyen des deux premiers termes de la suite récurrente. Ce procédé ingénieux est au fond celui que d'Alembert a depuis employé pour l'intégration des équations linéaires aux différences infiniment petites à coefficiens constans, et que Lagrange a transporté aux équations semblables à différences finies.

Ensuite, j'ai considéré les équations linéaires aux

3a ESSAI PHILOSOPHIQUE

différences partielles finies, d'abord sous la dénomination de suites récurro-récurrentes , et après, sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus, simple d'intégrer toutes ces équations , me paraît être celle que j'ai fondée sur la considération des fonctions génératrices dont voici l'idée.

Si l'on conçoit iine fonction V d'une variable t, développée suivant les puissances de cette variable, le coefficient de Tune quelconque de ces puissances , sera une fonction de l'exposant ou indice de cette puissance , indice que je désignerai par x. V est ce que je nomme fonction génératrice de ce coefficient , ou de la fonction de l'indice.

Maintenant, si l'on multiplie la série du développement de V, par une fonction de la' même variable , telle , par exemple , que l'unité plus deux fois cette variable , le produit sera une nouvelle fonction génératrice dans laquelle le coefficient de la puissance x de la variable t sera égal au coefficient de la même puissance dans V, plus au double du coefficient de la puissance inférieure d'une unité. Ainsi la fonction de x, dans le produit, égalera la fonction de l'indice x dans V, plus le double de cette même fonction dans laquelle l'indice est diminué de l'unité. Celte fonction de l'indice x est ainsi une dérivée de la fonction du même indiee dans le développement de V, fonction que je nommerai Jonction primitive de l'indice. Désignons la fonction dérivée , par la caractéristique * placée devant la fonction primitive. La dérivation indiquée par cette caractéristique dépendra du multiplicateur de V, que, nous nommerons T, et que nous supposerons développé, comme V, par rapport aux puissances de la variable t.

Si l'on multiplie de nouveau par T, le produit de

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V par T, ce qui revient à multiplier V par le car?e de T; on formera une troisième fonction génératrice dans laquelle le coefficient de la puissance x de t, sera une dérivée semblable du coefficient correspondant du produit précédent ; on pourra donc l'exprimer par la même caractéristique *, placée devant la dérivée précédente ; et alors cette caractéristique sera deux fois écrite devant la fonction primitive de x. Mais au lieu de l'écrire ainsi deux fois, on lui donne pour exposant le nombre 2.

En continuant ainsi , on voit généralement que si l'on multiplie V par la puissance n de T ; on aura le coefficient de la puissance x de t, dans le produit de V par la puissance n de T, en plaçant devant la fonction primitive , la caractéristique & avec n pour exposant.

Supposons, par exemple, que T soit l'unité divisée par t; alors dans le produit de V par T, le coefficient de la puissance x de t, sera le coefficient de la puissance supérieure d'une unité dans V; ce coefficient, dans le produit de V par la puissance n de T, sera donc la fonction primitive dans laquelle x est augmenté de n unités.

Considérons maintenant une nouvelle fonction Z de t, développée , comme V et T, suivant les puissances de t: désignons par la caractéristique a placée devant la fonction primitive, le coefficient de la puissance x de t, dans le produit de V par Z ; ce coefficient , dans le produit de V par la puissance n de Z , sera exprimé par la caractéristique A affectée de l'exposant n, et placée devant la fonction primitive de x.

Si , par exemple , Z est égal à l'unité divisée par t , moins un , le coefficient de la puissance x de t dans le produit de V par Z sera le coefficient de la puissance x plus un de t dans V, moins le coefficient de la puis-

âance x. U sera donc la différence finie de la fonction primitive de l'indice x. Alors la caractéristique a indique une différence finie de la fonction primitive, dans le cas où l'indice varie de l'unité ; et la puissance n de cette caractéristique, placée devant la fonction primitive, indiquera k différence finie n ième de cette fonction. Si l'on suppose que T soit l'unité divisée par t, on aura T égal au binôme , Z plus un. Le produit de V par la puissance n de T sera donc égal au produit de V par la puissance de n du binôme , Z plus un. En développant cette puissance par rapport aux puissances de Z , les produits de V par les divers termes de ce développement seront les fonctions génératrices de ces mêmes termes, dans lesquels on substitue , au lieu des puissances de Z , les différences finies correspondantes de la fonction primitive de l'indice.

Maintenant le produit de V par la puissance n de T est la fonction primitive, dans laquelle l'indice x est eugmenté<de n unités ; en repassant doncdes fonctions génératrices à leurs coefficiens, on aura cette fonction primitive ainsi augmentée , égale au développement de la puissance n du binôme , Z plus un ; pourvu que dans ce développement on substitue , au lieu des puissances de Z , les différences correspondantes de la fonction primitive , et que l'on multiplie le terme indépendant de ces puissances , par la fonction primitive. On aura ainsi la fonction primitive dont l'indice est augmenté d'un nombre quelconque n 9 au moyen de ses différences.

En supposant toujours à T et à Z les valeurs précédentes, on aura Z égal au binôme, T moins un; le produit de V par la puissance ndeZ, sera donc égal au produit de V par le développement de la puissance n du binôme, T moins un. En repassant des fonctions géné-

SUR LES PROBABILITES. 35

ratrices à leurs coefficiens , comme on vient de le faire ; on aura la différence n ième de la fonction primitive, exprimée par le développement de la puissance n du binôme, T moins un , dans lequel on substitue aux puissances de T, cette même fonction dont l'indice est augmenté de l'exposant de la puissance, et au terme indépendant de t et qui est l'unité, la fonction primitive : ce qui donne cette différence au moyen des termes consécutifs de cette fonction.

t placé devant la fonction primitive, exprimant la dérivée de cette fonction, qui multiplie la puissance x de t dans le produit de V par T , et a exprimant la même dérivée dans le produit de V par Z , pn est conduit , par ce qui précède , à ce résultat général : quelles que soient les fonctions de la variable t, représentées par T et Z , on peut , dans le développement de toutes les équations identiques, susceptibles d'être formées entre ces fonctions , substituer les caractéristiques # et a , au lieu de T et de Z , pourvu que l'on écrive la fonction primitive de l'indice à la suite des puissances et des produits de puissances des caractéristiques ; et que l'on multiplie par cette fonction , les termes indépendans de ces caractéristiques.

On peut, au moyen de ce résultat général, transformer une puissance quelconque d'une différence de la fonction primitive de l'indice x, dans laquelle x varie d'une unité, en une série de différences de la même fonction , dans lesquelles x varie d'un nombre quelconque d'unités , et réciproquement. Supposons en effet , que T soit la puissance i de l'unité divisée par t, moins un, et que Z soit. toujours l'unité divisée par t, moins un; alors le coefficient de la puissance x de t, dans le produit de V par T , sera le coefficient de la puissance x plus i de t dans V , moins le coefficient de la puissance

x de t; il sera donc la différence finie de la fonction primitive de l'indice x , dans laquelle on fait varier cet indice, du nombre i. Il est facile de voir que T est égal à la différence entre Ja puissance i du binôme , Z plus un , et l'unité ; la puissance n de T est donc égale à la puissance n de cette différence. Si , dans cette égalité , on substitue au lieu de T et de Z les caractéristiques $ et A , et qu'après le développement , on place à la fin de chaque terme la fonction primitive de l'indice x 9 on aura la différence n*« me de cette fonction, dans laquelle x varie de i unités, exprimée par une suite de différences de la même fonction, dans laquelle x varie d' Une unité. Cette suite n'est qu'une transformation de la différence qu'elle exprime , et qui lui est identique ; mais c'est dans de semblables transformations que réside le. pouvoir de l'analyse.

La généralité de l'analyse permet de supposer , dans cette expression , n négatif. Alors les puissances négatives de <f et de a indiquent des intégrales. En effet, la différence n ième de la fonction primitive , ayant pour fonction génératrice le produit de V par la puissance n du binôme, un divisé par t, moins l'unité, la fonction primitive qui est l'intégrale n ième de cette différence , a pour fonction génératrice celle de la même différence , multipliée par la puissance n prise en moins du binôme, un divisé par t, moins l'unité, puissance à laquelle répond la même puissance de la caractéristique A ; cette puissance indique donc une intégrale du même ordre , l'indice x variant de l'unité ; et les puissances négatives de <f indiquent également des intégrales , x variant de i unités. On voit ainsi de la manière la plus claire et la plus simple , la raison de l'analogie observée entre les puissances positives et les différences , et entre les puissances négatives et les intégrales.

Si la fonction indiquée par la caractéristique # placée devant la fonction primitive, est nulle, on aura une équation aux différences finies , ~et V sera la fonction génératrice de son intégrale. Pour avoir cette fonction génératrice , on observera que, dans le produit de V par T , toutes les puissances de t doivent disparaître , excepté les puissances inférieures à l'ordre de l'équation aux différences; V est donc égal à une fraction dont T est le dénominateur , et dont le numérateur est un polynôme dans lequel la puissance la plus élevée de t est moindre d'une unité, que l'ordre de l'équation aux différences. Les coeffieiens arbitraires des diverses puissances de t dans ce polynôme , en y comprenant la puissance zéro , seront déterminés par autant de valeurs de la fonction primitive de l'indice, lorsqu'on y fait successivement x égal à zéro , à l'unité , à deux , etc. Quand l'équation aux différences est donnée, on détermine T en mettant tous ses termes dans le premier membre , et zéro dans le second ; en substituant dans le premier membre, l'unité au lieu, de la fonction qui a le plus grand indice ; la première puissance de t au lieu de la fonction primitive dans laquelle cet indice est diminué d'une unité; la se&tide puissance de t, à la fonction primitive où cet indice est diminué de deux unités, et ainsi de suite. Le coefficient de la puissance x de t , dans le développement de l'expression précédente de V, sera la fonction primitive de x, ou l'intégrale de l'équation aux différences finies. L'analyse fournit , pour ce développement, divers moyens parmi lesquels on peut choisir celui qui est le plus propre à la question proposée; ce qui est un avantage dé cette méthode d'intégration.

Concevons maintenant que V sojt une fonction des

deux variables t et f , développée suivant les puissances et les produits de ces variables ; le coefficient d'un produit quelconque des puissances x et x' de t et de f , sera une fonction des exposans ou indices x et x' de ces puissances; fonction que je nommerai fonction primitive p et dont V est la fonction génératrice.

Multiplions V par une fonction T des deux variables t et t' , développée , , comme V , par rapport aux puissances et aux produits de ces variables ; le produit sera la fonction génératrice d'une dérivée de la fonction primitive : si T , par exemple , est égal à la variable t , plus à la variable t' , moins deux, cette dérivée sera la fonction primitive dont on diminue de l'unité l'indice x? plus cette même fonction primitive dont on diminue de l'unité l'indice x' , moins deux fois la fonction primitive. En désignant, quel que soit T, par la caractéristique * placée devant la fonction primitive , cette dérivée , le produit de V par la puissance » de T sera la fonction génératrice de la dérivée de la fonction primitive , devant laquelle on place la puissance n de la caractéristique *. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs aux fonctions d'une seule variable.

Supposons que la fonction indiquée par la caractéristique c/> soit zéro , on aura une équation aux différences partielles : si , par exemple , on fait , comme ci-dessus , T égal à la variable t . 9 plus à la variable t , moins deux , on a , zéro égal à la fonction primitive dont on diminue de l'unité l'indice x , plus la même fonction dont on diminue de l'unité l'indice x f , moins deux fois la fonction primitive. ' La fonction génératrice V de cette fonction primitive ou de l'intégrale de cette équation , doit donc être telle que son produit par T ne renferme point les produits de t par ?; mais V peut renfermer séparément

SUR LES PROBABILITES. 39

les puissances de t, et celles de t' , c'est-à-dire une fonction arbitraire ' de t? et une fonction arbitraire de f ; V est donc une fraction, dont le numérateur est la somme de ces deux fonctions arbitraires, et dont T est le dénominateur. Le coefficient du produit de la puissance x de t, par la puissance x f de f, dans le développement de cette fraction , sera donc l'intégrale de l'équation précédente aux différences partielles. Cette méthode d'intégrer ce genre d'équation me paraît être la plus simple et la plus facile , par l'emploi des divers procédés analytiques pour le développement des fractions rationnelles.

De plus amples détails sur cette matière, seraient difficilement entendus sans le secours du calcul.

En considérant les équations aux différences partielles infiniment petites comme des équations aux différences partielles finies, dans lesquelles rien n'est négligé, on peut éclaircir les points obscurs de leur calcul , qui ont été le sujet de grandes discussions parmi les géomètres* C'est ainsi que j'ai démontré la possibilité d'introduire des fonctions discontinues dans leurs intégrales , pourvu que la discontinuité n'ait lieu que pour les différen-r tielles de l'ordre de ces équations, ou d'un ordre supérieur. Les résultats transcendans du calcul sont comme toutes les abstractions de l'entendement , des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue, qu'en remontant par l'analyse métaphysique aux idées élémentaires qui y ont conduit : ce qui présente souvent de grandes difficultés ; car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant, qu'à se replier sur lui-même.

La comparaison des différences infiniment petites avec lçs différences finies peut semblablement répandre un

4o ESSAI PHILOSOPHIQUE

grand jour sur la métaphysique du calcul infinitésimal.

On prouve facilement que la différence finie n"™* d'une fonction, dans laquelle l'accroissement de la variable est E , étant divisée par la puissance n de E , • le quotient réduit en série par rapport aux puissances de l'accroissement E , est formé d'un premier terme indépendant de E ; à mesure que E diminue, la série approche de plus en plus de ce premier terme, dont elle peut ainsi ne différer que de quantités moindres que toute grandeur assignable. Ce terme est donc la limite de la série, et il exprime dans le calcul différentiel la différence infiniment petite n ième de la fonction , divisée par la puissance n de l'accroissement infiniment petit.

En considérant sous ce point de vue les différences infiniment petites, on voit que les diverses opérations du calcul différentiel reviennent à comparer séparément dans le développement d'expressions identiques, les termes finis. ou indépendans des accroissemens des variables que l'on regarde comme infiniment petits ; ce qui est rigoureusement exact , ces accroissemens étant indéterminés. Ainsi le calcul différentiel a toute l'exactitude ^des autres opérations algébriques.

La même exactitude a lieu dans les applications du calcul différentiel à la Géométrie et à la Mécanique. Si l'on conçoit une courbe coupée par une sécante dans deux points voisins , en nommant E l'intervalle des ordonnées de ces deux points , E sera l'accroissement de l'abscisse depuis la première jusqu'à la seconde ordonnée. Il est facile de voir que l'accroissement correspondant de l'ordonnée se*a le produit de E par la première ordonnée divisée par sa sous -sécante : en augmentant donc, dans l'équation de la courbe, la première ordonnée, de cet accroissement, on aura l'équation relative à la

SUR LES PROBABILITES. 4*

seconde ordonnée : la différence de ces deux équations sera une troisième équation qui, développée par rapport aux puissances de E , et divisée par E , aura son premier terme indépendant de E, et qui sera la limite de ce développement. Ce terme égalé à zéro donnera donc la limite des sous-sécantes, limite qui est évidemment la sous-tangente.

Cette manière singulièrement heureuse d'obtenir les sous-tangentes est due à Fermât qui Ta étendue aux courbes transcendantes. Ce grand géomètre exprime par la caractéristique E , l'accroissement de l'abscisse ; et en ne considérant que la première puissance de cet accroissement, il détermine exactement, comme on le fait par le Calcul différentiel, les sous-tangentes des courbes , leurs points d'inflexion , les maxima et mihima de leurs ordonnées , et généralement ceux des fonctions rationnelles. On voit même , par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière , insérée dans le Recueil des Lettres de Descartes , qu'il savait étendre sa méthode aux fonctions irrationnelles , en se débarrassant des irrationnalités, par l'élévation des radicaux aux puissances. On doit donc regarder Fermât comme le véritable, inventeur du Calcul différentiel. Newton a depuis rendu Ge Calcul plus analytique, dans sa Méthode des Fluxions ; et il en a simplifié et généralisé les procédés, par son beau théorème du binôme. Enfin, presqu'en même temps, Leibnitz a enrichi le Calcul différentiel, d'une notation qui en indiquant le passage du fini à l'infiniment petit , réunit à l'avantage d'exprimer les résultats généraux de ce calcul , celui de donner les premières valeurs approchées àes différences et des sommes des quantités ; notation qui s'est adaptée d'ellemême an calcul des différentielles partielles.

4a ESSAI PHILOSOPHIQUE

On est souvent conduit à des expressions qui contiennent tant de termes et de facteurs , que les substitutions numériques y sont impraticables. C'est ce qui a lieu dans les questions de probabilité , lorsque l'on considère un grand nombre d'événemens. Cependant , il importe alors d'avoir la valeur numérique des formules, pour connaître avec quelle probabilité , les résultats que les événemens développent en se multipliant, sont indiqués. Il importe surtout d'avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu'elle finirait par atteindre , si le nombre des événemens devenait infini. Pour y parvenir, je considérai que les intégrales définies de différentielles multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient, par l'intégration , des formules composées d'un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fit naître l'idée de transformer dans de semblables intégrales , les expressions compliquées de l'analyse , et les intégrales des équations aux différences. J'ai rempli cet objet, par une méthode qui donne à la fois, la fonction comprise sous le signe intégral , et les limites de l'intégration. Elle offre cela de remarquable , savoir que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées ; ce qui rattache cette méthode à la théorie des fonctions génératrices dont elle est ainsi le complément. Il ne s'agissait plus ensuite , que de réduire l'intégrale définie , en série convergente. C'est ce que j'ai obtenu par un procédé qui fait converger la série , avec d'autant plus de rapidité , que la formule qu'elle représente est plus compliquée; en sorte qu'il est d'autant plus exact, qu'il devient plus nécessaire. Le plus souvent, la série a pour facteur, la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre : quelque-

fois, elle dépend d'autres transcendantes dont le nombre est infini.

Une remarque importante qui tient à la grande géne'ralité de l'Analyse, et qui permet d'étendre cette méthode aux formules et aux équations à différences , <|ue la théorie des probabilités présenté le plus fréquemment , est que les séries auxquelles on parvient en supposant réelles et positives, les limites des intégrales définies, ont également lieu dans le cas où l'équation qui détermine ces limites , n'a que des racines négatives ou imaginaires. Ces passages du positif au négatif, et du réel à l'imaginaire , dont j'ai le premier fait usage , m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j'ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages, comme un moyen de découverte , pareil à Pinduction et à l'analogie employées depuis long-temps par les géomètres, d'abord avec une extrême réserve, ensuite avec une entière confiance; un grand nombre d'exemples en ayant justifié l'emploi. Cependant il est toujours nécessaire de confirmer par des démonstrations directes , les résultats obtenus par ces divers moyens.

J'ai nommé Calcul des Jonctions génératrices, l'ensemble des méthodes précédentes : ce calcul sert de fondement à l'ouvrage que j'ai publié sous ce titre, Théorie analytique des Probabilités. Il se rattache à l'idée simple d'indiquer les multiplications répétées d'une quantité par elle-même, ou ses puissances entières et positives , en écrivant vers le haut de la lettre qui l'exprime, les nombres qui marquent les degrés de ces puissances. Cette notation employée par Descartes dans sa Çéométrie, et généralement adoptée depuis* la publication de cet important ouvrage, est peu de chose,

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surtout quand on la compare à la théorie des courbes *

et des fonctions variables , par laquelle ce grand Géomètre a posé les fondemens des calculs modernes. . Mais la langue de l'Analyse , la plus parfaite de toutes , étant ;

par elle-même, un puissant instrument de découvertes ; j

ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureuse- \

ment imaginées , sont autant de germes de nouveaux "j

calculs. C'est ce que cet exemple rend sensible.

Wallis qui, dans son ouvrage intitulé Arithmetica ,

infinitorwn, l'un de ceux qui ont le plus contribué aux progrès de l'Analyse, s'est attaché spécialement à ;

suivre le fil de l'induction et de l'analogie, considéra ' que si l'on divise l'exposant d'une lettre , par deux , trois , etc. , le quotient sera suivant la notation cartésienne , et lorsque la division est possible , l'exposant de la racine carrée , cubique , etc. , de la quantité que représente la lettre élevée à l'exposant dividende. En étendant , par analogie , ce résultat au cas où la division n'est pas possible , il considéra une quantité élevée à un exposant fractionnaire , comme la racine du degré indiqué par le dénominateur de cette fraction, de la quantité élevée à la puissance indiquée par le numérateur. Il observa ensuite , que suivant la notation cartésienne , la multiplication de deux puissances d'une même lettre, revient à ajouter leurs exposans , et que leur division revient à soustraire l'exposant de la puissance diviseur, de celui de la puissance dividende , lorsque le second de ces exposans surpasse le premier. Wallis étendit ce résultat au cas où le premier exposant égale ou surpasse le second ; ce qui rend la différence nulle ou négative. Tl supposa donc qu'un exposant négatif indique l'unité divisée par la quantité élevée au même exposant pris positivement. Ces remarques le con-

duisirent à intégrer généralement les différentielles monômes; d'où il conclut les intégrales définies d'un genre particulier de différentielles binômes dont l'exposant est un nombre entier positif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment ces intégrales, une série d'interpolations et d'inductions heureuses où l'on aperçoit le germe du calcul des intégrales définies , qui a tant exercé les géomètres , et l'une des bases de ma nouvelle Théorie des Probabilités , lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre , exprimé par un produit infini qui, lorsqu'on l'arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus rapprochées ; résultat l'un des plus singuliers de l'Analyse. Mais il est remarquable que Wallis qui avait si bien considéré les exposans fractionnaires des puissances radicales , ait continué de noter ces puissances , comme on l'avait fait avant lui. Newton, si je ne me trompe, employa , le premier, dans ses Lettres à Oldembourg , la notation de ces puissances, par des exposans fractionnaires. En comparant par la voie de l'induction dont Wallis avait fait un si bel usage , les exposans des puissances du binôme , avec les coefficiens des termes de son développement , dans le cas où cet exposant est entier et positif, il détermina la loi de ces coefficiens, et il l'étendit par analogie, aux puissances fractionnaires et négatives. Ces divers résultats fondés sur la notation de Descartes , montrent son influence sur les progrès de l'Analyse. Elle a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes qui ne sont, en effet, que les exposans d'une grandeur dont les puissances, en croissant 'par degrés infiniment petits, peuvent représenter tous les nombres.

Mais l'extension la plus importante que cette notation •

ait reçue , est celle des exposans variables ; ce qui constitue le calcul exponentiel , l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué , le premier, les transcendantes à exposans variables , et par-là , il a complété le système des élémëns dont une fonction finie peut être composée ; car toute fonction finie , explicite d'une variable , se réduit , en dernière analyse, à des grandeurs simples, combinées par voie d'addition , de soustraction , de multiplication et de division , et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces élémens , sont des fonctions implicites de la variable. C'est ainsi qu'une variable ayant pour logarithme, l'exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité , le logarithme d'une variable en est une fonction implicite. Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique différentielle les mêmes exposans qu'aux grandeurs; mais alors , ces exposans , au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne , cond-uisit Leibnitz à l'analogie des puissances positives avec les différentielles , et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière , dans tous ses développemens ; et par une suite d'inductions , qui peut être regardée comme une des plus belles applications que l'on ait faites de la méthode d'induction , il est parvenu à des formules générales aussi curieuses qu'utiles , sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres , lorsque les variables ont des accroîssemens finis divers , et lorsque ces accroissemens sont infiniment petits. Mais il n'en a point donné

les démonstrations qu'il jugeait difficiles. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques, la notation cartésienne : elle montre avec évidence , l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques ; en sorte qu'elle peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui concerne les séries et l'intégration des équations aux différences, en découle avec une extrême facilité.