DU CUIVRE

Ainsi 5 a livres semblent être à peu près la limite qu’il ne fallait pas dépasser , pour ne point amener de changement. Ce poids est équivalent à une pression de 6700 livres sur un pouce carre, et l’alongement correspondant est de 0,00075 de la longueur (art. 79 et 87 ). La force absolue de cohésion est de plus de 21000 liv. par pouce carré; le module d’élasticité, d’après cette expérience, est de 8 g 3 oooo livres pour un pouce carré. La pesanteur spécifique de ce métal est de 8,37 , 6 ou il résulte que la hauteur du module en pieds est de 2460000.

RESISTANCE

lW (ViWVV.VV^ti WAVAVAV.M VV W.U.WlW.WtWVWW >\ VWVV\X *WIW\VI

SECTION Vil.

De la force de la fonte et de sa courbure , quand elle résiste a une pression ou à unpoids.

tïg. La doctrine sue la force des matériaux , telle qu elle est établie dans cet ouvrage , repose sur trois principes qui sont suffisamment démontrés par l’expérience.

Le premier de ces principes est que la résistance d’une barre ou d’une tringle à une force déterminée et qui agit dans le sens de la longueur de la barre, est en raison directe de la surface de la section perpendiculaire de cette barre , tant que son élasticité reste entière et que la force coïncide avec l’axe.

70. Le second priucipe est que l’extension d’une barre ou d’une tringle, par une force qui agit dans le sens de sa longueur , est en raison directe de cette force, quand l’aire de la section est la

• • A LA PRESSION • l53

, même , et tant que cette force ne surpasse pas l’élasticité de la barre (i).

71. Le troisième principe est que les corps * résistent à l’extension et à la compression avec

des forces égales, tant que la puissance à laquelle ils résistent ne dépasse pas les limites de la force . élastique de la matière qui les compose.

72. Il faut de plus supposer que toutes les parties d’une même pièce sont d’une qualité égale , et qu’il n’existe aucun défaut dans la matière qui la compose. Lorsqu’il existe quelque défaut matériel dans une pièce de fonte , il est souvent possible de le découvrir soit à l’inspection , soit au son que rend la pièce quand on la frappe ; mais les bulles d’air ne sauraient se reconnaître par ces moyens.

On a donné , dans l’introduction , la manière d’examiner la qualité d’une pièce de fonte. Toutes celles qui soutiendront l’épreuve du marteau avec

(O .II faut avoir le plus grand soin de ne pas s’écarter <le cette limite; car aussitôt que la pression exercée sur un corps dépasse sa force élastique, la ductilité de ce corps devient sensible. Les degrés de ductilité sont extrêmement variables dans les ditférens corps, et même dans les diAcrens états d’un même corps. Les fluides sont doués de cette propriété au plus haut degré; tout changement dans la position relative de leurs parties est permanent.

l5/f JlÉSISTAMCE

le même degré d’apparence de malléabilité, se rapprocheront assez du même degré de force et d’extensibilité pour que toutes les conséquences qu’on en déduira pour la pratique se trouvent exactes.

La vérité de ces prémisses étant admise , toute règle à laquelle elles serviront de fondement pourra être considérée comme aussi solidement établie que les propriétés des figures géométriques.

72“. Un poids ou uue masse de matière libre peut toujours être considérée comme agissant dans la direction d’une ligne verticale qui passe par son centre de gravité , et l’on doit supposer que tout son effet se réunit au point où cette ligne verticale coupe le barreau ou la colonne qui supporte ce poids ; mais si le poids on la masse de matière est en partie soutenue, d’une manière quelconque, indépendamment du barreau ou de la colonne , alors il faudra calculer la direction et l’intensité de la force qui soutiendrait la masse eu* équilibre (i).'On aura pour résultat la direction et l’intensité de la pression exercée sur le barreau ou la colonne. * .

- •» «*»■. ii -r f ' J £ J* jf

(1) La méthode pour trouver celle force et sa direc tiou , se trouve expliquée dans mes Élémens de Charpente, art. 24 — 29.

A LA PRESSION. i55

* tf a. . .1 ^ t, y j % -> jr • * .. » -

■j3. Nommons /'un poids en livres, tel qu’un barreau de fer d’un pouce carré , ou toute autre matière de même dimension , n’en pourrait pas soutenir un plus considérable sans qu’une partie de sa force élastique fût détruite ( 1 ). Désignons par W un second poids destiné à être supporté ; et par b la largeur , et par t l’épaisseur en pouces de la pièce qui sera chargée de ce second poids. Alors, d’après notre premier principe, art. 6g, nous aurons cette proportion :

f î W :: 1 : bt , d’où nous tirerons

J = bt.

C’est-à-dire que l’aire de la section de la pièce sera en raison directe du poids que cette pièce aura à supporter , et en raison inverse de celui qui pourrait altérer la force élastique de la matière qui compose cette pièce.

(1) « Une altération permanente de forme . dit Young, limite la force des matériaux en ce qui a rapport h leur emploi dans la pratique, presque autant que la fracture, puisqu’en général la force qui est capable de produire cet effet, est suffisante avec une légèi'e addition, pour l’augmenter jusqu’au point où la fracture arrivera. » Nat. Phil. , vol. I, p.

l 56 HÊSISTAKCE

n'\. Soit s lu quantité dont une barre de fer ou d’autre matière, d’un pouce d’équarrissage et d’un pied de long , serait alongée par la force et l une seconde longueur en pieds. On aura

ou /s=D=l’alungement de la longueur/. . . (b).

Car , lorsque la force est la mémo , l’extension est évidemment proportionnelle à la longueur; et puisque, par notre principe , art. 70, l’extension est en raison directe de la force , rious aurons J\ W :: g : l’extension produite par le poids W:

donc l’extension produite par ce poids = —y, et

nous lirons de lcquation b ,

Wl,

Dans celle-ci D exprime l’extension qui serait produite dans la longueur l par le poids W.

74 “- Lorsqu’on a à comparer des forces élastiques, il est quelquefois commode d’avoir une unité de mesure qu’on appelle le module d’élasticité (1). O11 l’obtient au moyen de l’analogie sui-

(1) Ce noiu a clé employé pour la première fois par le docteur Young. lectures 011 ualuralphilosopliy , vol. U, art. 3 i(j. . ' *

*. , . JB!* * * « 'TT ~

vante: comme la longueur d’une substance est à la diminution de cette longueur, de meme le module d’élasticité est à la force qui produit cette diminution ; ou bien , désignant par m le poids en livres du module pour une base d’un pouce carré :

...(rf).

Si p est le poids d’un barreau de la substance d’uu pied de long sur un pouce en 'carré , alors , nommant M la hauteur en pieds du module d’élasticité , on aura

pi V J

75. Soit un barreau rectangulaire AA' ,Jig. 14 , en équilibre sur un support D , et supposons , pour le moment , qu’aucune autre force n’agisse sur ce barreau que les poids W et W' , lesquels sont considérés comme ayant produit tout leur effet pour faire fléchir le barreau. Enfin , supposons la section verticale BD divisée en fibres égales et très minces , comme les montre la fig. i 5 .

•un

'tÉL •' . ' •

(0 Ç’est au moyen de cette équation et de la précédente qu’ont -été calculés la hauteur et le poids du module d’élasticité des corps indiqués dans la table alphabétique.

RESISTANCE

Si ït^Jig. 14 , représen te la position d’une des petites libres dans la partie supérieure du barreau, et si l’on tire une ligne aa' tangente à la .courbure de la libre, au point B, il est clair, par une conséquence nécessaire de l’équilibre, que les foi ces tendant à séparer en B la libre, devront être égales et dans la direction de la tangente aa ' ; et l’effort sera évidemment un effort, de tension.

Mais , puisque FA est la direction du poids , ,on a , par les principes de la Statistique ,

13a : A a :: S ( résistance de la libre B)

Aa.S B a

ou à. l’effet de cette fibre pour résister au poids W.

Ces forces, le raisonnement et l’expérience le prouvent également, compriment la partie inférieure du barreau. Soit donc D une libre comprimée , de la même surface que la libre B , et dans une position semblable , et à une distance de la partie inférieure égale à celle de la libre B par rapport à la partie supérieure. Soit aussi eè' une tangente à la libre en D et parallèle à aa! , et représentant un des efforts égaux et opposés . sur la libre D par eD : nous aurons : eD :

eh :: S’ (résistance de la fibre D à la compres- * * . • :

A LA PRESSrON. lOQ

eA . S'

sion): , effet de la fibre résistant au

poids W.

Les effets des deux fibres B et D résistant au poids seront exprimés par :

Aa S

lia

<rA.

eD *

Mais puisque B a — eD , et que des portions d’une même matière dont les aires sont égales , résistent avec des forces égales à l’extension ou à la compression ( art. 71 ) , on a S = S'; donc

— X ( Aa -f- eA ) = l’effet des deux fibres

* B et D (1).*.

(1) Mais, quand le poids dont un corps est chargé , surpasse sa force élastique , la résistance à la compression surpasse la résistance à la tension ; par conséquent , l’effet

des fibres doit être alors ^ ‘ ^ ^ ‘ - 1 Maintenant.

lia

Indifférence entre S et S' ira constamment en augmentant jusqu’à ce qti’il y ait rupture , l’aire de la partie comprimée augmentant continuellement, et celle de la partie qui s’étend allant toujours en diminuant. Cette différence dépend delà ductilité du corps, mais elle ne pourrait être bien constatée que par des expériences faites avec le plus grand soin. Heureusement ces recherches ne sont pas nécessaires dans l’application pratique de la théorie.

l6o «v RÉStSTANCE

Mais Aa -f- eA = BD , distance verticale entre les fibres (i); conséquemment = cet

effet en supportant le poids W. . . (f)-

76. Puisqu’une des faces du barreau s’étend et que la face opposée se contracte, il doit se trouver une fibre à quelque point dans l’épaisseur, qui n’éprouve ni extension ni compression ; la place de cette fibre peut être appelée l’axe neutre , ou l’axe de mouvement.

L’extension ou la compression d’une fibre doit évidemment être proportionnelle à sa distance de l’axe neutre ; et quand cet axe divise la section en deux parties égales et semblables , il se trouve précisément au milieu de l’épaisseur.

Et , puisque l’effet de deux fibres égales est proportionnel à la distance qui les séparé , l’effet

sera ; car

égales, et la force qui les presse étant la même ,

de chacune en particulier distance de 1 axe neutre ;

proportionnel à sa les fibres étant

(1) Quand la flèche devient considérable , la courbe, s’aplatit par suite de la force de compression qui agit sur le barreau, et An-f-* Adoit surpasser la distance verticale entre les libres , et le point de la plus forte action change et se porte à l’endroit où la ligne AB coupe la fibre. Ce changement est très apparent quand 011 en fait l’expérience. ,

A U PRESSiOxV. l6l

l’axe neutre sera placé au milieu de la distance qui les sépare ; et l’effet des deux étant mesuré par l’épaisseur entière, celui de l’une ou de l’autre aura pour mesure la moitié de cette épaisseur. Ainsi , l’effet d’une seule fibre aura pour expression :

S . BD S. Bgé f ^

2(hï) ~ ib -

77. Quand un barreau est soutenu par un appui dans une position (1) qui 11e s’écarte pas beaucoup de la -position horizontale , comme dans la figure 1 4 > le pouvoir d’une fibre pour * supporter un poids en A ou en A' est en raison directe de sa force , de son aire et du carré de sa distance de l’axe neutre, et en raison inverse de la distance FB , entre la charge du barreau et son poin t d’a pp ui ; car la pression étant proportionnelle à l’extension, et l’extension d’une fibre quelconque étant en raison directe de la distance de cette fibre à l’axe de mouvement, il s’ensuit que la force d’une fibre est proportionnelle à sa distance de l’axe de mouvement. Mais ou a vu

(1) Il n’y a pas de différence sensible avec la loi exacte de résistance, tant que le barreau ne se trouve pas assez incliné pour glisser sur son appui; mais on renvoie à l’art. 23 o , pour l’examen général de cet objet.

RÉSISTANCE

( art. 73 ) que la force est aussi proportionnelle à la surface , et ( art. 76 ) que la résistance est eu raison directe de la distance verticale de l’axe neutre, et en raison inverse de la longueur Ba, c’est- :

à-dire qu’elle est comme ; et puisque les trian- ’

gles FBee etB df sont semblables ,

M fd , '

». Ba" FB’ donc

( fd') X . la force de la libre X son aire . . ,

- — pg = le poids que

la fibre peut soutenir *. (A) .