BD “ T X AD X BD
ou
w — ëL * Bpa + AD>
v I2R X AD
Si la longueur AD = l en pieds , et que le bras de levier R soit mesuré aussi en pieds; alors, comme pour la fonte, f — r53oo livres, nous avons
Mais la valeur de cette équation est un minimum quand l ; par conséquent la résistance
sera la même , quelle que soit la longueur, pourv u
que cette longueur ne soit pas moindre que la
largeur; donc , partout où la longueur surpasse la
largeur nous avons »
( 1 ) Pour le fer forgé l’équation serait ' ° ^ = W,
car 212 , 4 X i,i2 = 238.
Mais quand le rapport de b à <4 est moindre que celui de \/ 2 à r , l’arbre ne peut pas résister à une aussi grande force, et celle à laquelle il pourra résister, sera la plus petite quand sa section sera exactement un carré.
22 5 . Quand un arbre est carré, et que sa longueur l est en pieds , son côté d en pouces , et la longueur du levier R en pieds , alors on tire de l’équation de l’article 80
w =34§bX(^‘+ '«'■);
et, quand /== i 53 oo livres,
Dans un arbre carré la résistance a aussi un minimum de valeur , et c’est lorsque \/ 72 1 = d; ainsi toutes les fois que la longueur sera plus grande que la diagonale de la section , la force sera
(2) Pour des arbres de fer forgé, l’équation serait
RÉSISTANCE
Il représentant le rayon de la roue en pietls, auquel la force W en livres doit être appliquée ; et d est le côté de l’arbre ou de l’axe en pouces.
226. Dans un arbre cylindrique la section de fracture est un ellipse, et quand / et R sont en pieds, que f= i 53 oo, d étant le diamètre de l’arbre en pouces, on a par l’art. 82
227. On peut encore ici démontrer, par les lois des maxima et des mini nia, qu’il se trouve une ligne particulière de fracture où la résistance à la torsion est un minimum ; dans un corps cylindrique cela arrive quand 12/ = d, c’est-à-dire, quand la longueur est égale au diamètre.
Par conséquent toutes les fois que la longueur surpasse le diamètre, l’équation de l’article 226, doit prendre la forme
ce qui résulte de la substitution de— à la place
de /.
i4« rf’
(1) Pour le 1 er forgé on prendrait
227*. On démontrerait, de la tnême manière, que dans un tuyau, ou dans un cylindre creux, dont la longueur est plus grande que le diamètre, la résistance à la torsion est exprimée par l’équation 1 *
124,8 aPfi — n 4 ) R
te)-
d représentant le diamètre extérieur en pouces, et nd\e diamètre intérieur, aussi en pouces.
Une proportion avantageuse , dans la pratique , est de faire ra= 0,6, ce qui change l’équation en celle-ci:
io8üP
dans 'laquelle d est le diamètre extérieur en pouces ; ici le métal aurait exactement, en épaisseur, la cinquième partie du diamètre; R est, comme ci-dessus, le rayon en pieds de la roue sur la circonférence de laquelle est appliquée la force W, comptée en livres.
228. Exemple. On demande de trouver le diamètre d’un arbre pour une roue à eau , dont le rayon serait de 9 pieds, et qui n’aurait pas à résister à une force de plus de 2000 liv res agissant à la circonférence.
RÉSISTANCE
Si l’arbre devait être un solide cylindrique, alors on déterminerait le diamètre par l’équation f t art. 237, et l’on aurait
WR
la racine cubique de i44» 2 est j c’est en pouces le diamètre demandé.
Si l’arbre devait être un cylindre creux, alors on trouverait le diamètre par l’équation h qui donnerait
WR 2000 x 9
La racine cubique de 166,7 = 5 } pouces, ou le diamètre de l’arbre, quand l’épaisseur du métal égale exactement la cinquième partie du diamètre.
ir * * *
229. Mais l’effort latéral sur un arbre sera toujours plus grand que la force qui tend à le tordre quand la longueur de l’arbre surpasse le quart du rayon de la roue 5 cependant les équations précédentes seront utiles pour calculer la force des tourillons quand ils sont exposés à une force considérable qui tend à les tordre, et ces calculs doivent se faire de la même manière que ceux
A LA TORSION. 2ÿl
de l’article précédent ; mais , à raison de ce que les pièces s’usent, il faut donner au diamètre un sixième de plus que ce qui est exigé par les règles.
229*. Nous nous sommes borné, dams ce qui précède , à chercher quelle force est nécessaire pour résister à la torsion ; mais, dans les arbres dont la longueur est considérable relativement à leur diamètre , l’effet de la courbure est aussi fort grand. ' "
Soit e l’extension qu’une pièce peut prendre sans danger, quand la longueur est représentée par l’unité. Cette extension doit évidemment limiter le mouvement ou l’angle de torsion ; mais puisque la ligne où la plus grande force agit dans une barre dont la longueur est plus grande que son diamètre, est toujours dans la direction de la diagonale d’un carré; si l’on traçait un carré sur la surface de la barre dans son état naturel, if prendrait la forme d’un rhombe par l’action de la force de torsion , et la quantité du mouvement angulaire serait à peu prés égale à l’extension de • la diagonale multipliée par Va, ou au double de 1 extension de la longueur de la barre; car si l’on traçait une ligne autour de la bar^e, qui fît avec 1 axe un angle de 45 ®, sa longueur serait égale
RÉSISTANCE
à ly/i,-l représentant la longueur en pieds; par conséquent, le ^2 = l’extension, et2 /e=l’arc décrit en pieds, ou 24 /e = cet arc mesuré en pouces. . • .
Mais si a = le nombre de degrés d’un arc dont
^ est le rayon ; la longueur d’un arc d’un degré
dont le rayon est l’unité, étant de o, 0174533,
on a
2 4 le ^ 0,0174533, ou
2750 le d
c’est-à-dire que l’angle de torsion a est en raison directe de la longueur et de l’extensibilité du corps, et en raison inverse du diamètre de ce corps.
Si l’on prend la valeur de e pour la fonte, c’est-
à-dire si l’on prend e == — 1 — 7 on a
I désigne ici la longueur en pieds de l’arbre , ou de
l/joo *
(1) Pour le fer forgé, e ~
ainsi a —
toute autre pièce , d est son diamètre en pouces , et a le nombre de degrés de l’angle de torsion.
Exemple. Supposons donc que l’arbre vertical d’un moulin ait 3 o pieds de longueur, et 10 pouces de diamètre ; s’il résiste à un effort égal à sa force d’élasticité, nous aurons alors
= 6| degrés à peu près.
Dans certains cas ce degré de torsion peut être très avantageux pour prévenir les chocs auxquels sont exposées les machines qui sont mises en mouvement par des chevaux , par le vent ou par d’autres moteurs irréguliers ; mais dans d’autres il aurait du désavantage, parce que le mouvement n’aurait pas assez de précision, et qu’il ne produirait
pas aussi bien l’effet demandé.
229*. Puisque l’angle de torsion est dans le rapport de l’extension, il doit être également proportionnel à la force qui agit pour le produire , et pour évaluer la roideur avec laquelle un corps résiste à la force qui tend à le tordre, nous avons cette analogie quand le corps est un cylindre creux ; (équations g et i de cette Section).
a 7 So ** . „ .. 124,80? (1— n *) . I24,8f/<a(r— n')
d * a - 5 * W — ~ 275 Tr£
3g4 RÉSISTANCE
ou, plus généralement,
fd*a(t— n*) __ w .
3366oo R&
Si m = le poids du module d’élasticité (art. 74 *)>
mâïa( 1 — n 4 ) ii r
3366oo R/ W
quand n xs o, l’équation convient au cylindre solide.
Pour un arbre rectangulaire, l’analogie tirée
des équations b et i, devient * * ■»
2 5 7 oZ ' . .. 2ia,4rf*i . \\r 2ia,4cPJ*a
b * ° - R ' W *“* ztfoRle "»
OU
Il nous reste à montrer l’application de ces équations, et à en déduire des règles pour servir dans la pratique.
La valeur de m est, pour la fonte, de 18400000 livres; l’équation l, appliquée à la fonte, est donc
■ “Ssg=52«»w(i).
(0 Pour le fer forgé, — — =W.
et l’équation m <
$2,5 d'b'a IR
Règles de pratique et exemples pour la résistance des arbres cylindriques à une force de ~ torsion.
229'. Dans la pratique on connaît la longueur de l’arbre , la force et le bras de levier avec lequel elle agit; celui qui veut faire usage des règles doit aussi fixer le nombre de degrés de torsion qui ne nuira pas à l’action de la machine ; cela posé , on déterminera le diamètre de l’arbre par les règles suivantes :
Exemple 1, Pour trouver le diamètre d’un solide cylindrique qui doit résister à une force de torsion, la quantité de son inflexion étant donnée.
Multipliez la force en livres , par la longueur du cylindre en pieds , et par la longueur du levier , aussi en pieds. Divisez le produit par 55 fois le nombre de degrés de l’angle de torsion que
(1) Pour le fer forgé, — — — "W.
lonne
RÉSISTANCE
vous regarderez comme le plus avantageux à ractiorr de la machine ; la racine quatrième du quotient, sera égale au diamètre du cylindre en pouces.
Exemple. Ou demande de déterminer le diamètre d’une suite d’arbres cylindriques de 3o pieds de longueur pour transmettre une force égale à 4ooo livres agissant sur la circonférence d’une roue de 2 pieds de rayon , de manière que la torsion des arbres causée par l’action de cette force , ne soit pas de plus d’un degré.
Ici , la longueur totale des arbres doit être prise comme s’ils ne formaient qu’un seul arbre , et l’on a par la règle,
4ooo X 3o X 2
La racine quatrième de 4364 = 8, 1 3 ; c’est en pouces le diamètre cherché.
Si le travail de la machine doit se faire avec beaucoup de précision , un degré de torsion sera tout ce qu’on pourra admettre ) mais, dans les cas ordinaires, on peut en supposer deux, et alors le diamètre serait d’un peu moins de 7 pouces.
Quand il y a beaucoup de repages, il faut qu’il y ait moins de torsion , et il ne paraît pas qu’il
soit avantageux de dépasser un quart de degré pour les arbres ou les axes.
32 Q d . règle il. Trouver le diamètre d’un cylindre creux destiné à résister à une force de torsion , quand la quantité de torsion est donnée , et que l’épaisseur en métal est d’un cinquième du diamètre.
Multipliez la force en livres par la longueur du cylindre en pieds, et par la longueur du bras de levier , aussi en pieds. Divisez le produit par 48 fois l’angle de torsion en degrés; la racine quatrième du quotient sera égale au diamètre cherché , en pouces.
Exemple. Si l’on veut déterminer le diamètre d’un arbre creux qui soit en état de résister à une force de 800 livres agissant à la circonférence d’une roue de 4 pieds de rayon ; l’angle de torsion devant être d’un degré; l’épaisseur en métal d’un cinquième du diamètre , et la longueur de l’arbre de 10 pieds.
Dans ce cas, *
pxl
la racine quatrième de ce nombre est 5 , i à peu près. C’est en pouces le diamètre cherché.
RÉSISTANCE
Règle pratique et exemple pour la résistance des arbres carrés à une force de torsion.
339*. Les règles pour les arbres carres sont des applications cfe l’équation o; et les mêmes choses que dans le cas des cylindres , sont connues.
règle. Trouver le côté d’un arbre carré qui doit résister à une force de torsion sous un angle déterminé.
Multipliez la force en livres par la longueur du corps de levier avec lequel elle agit , et par la longueur de l’arbre, l’une et l’autre en pieds.
Divisez le produit par 92,5 fois le nombre de degrés de l’angle de torsion ; la racine carrée du quotient sera égale en pouces à l’aire de la section de l’arbre.
Exemple. Soit la longueur d’un arbre = 12 pieds , et la force qui le met en mouvement égale à 700 livres, et agissant sur une roue d’engrenage placée sur cet arbre , et dont le rayon , jusqu’au cercle d’engrenage , soit d’un pied; et supposons qu’un degré de torsion n’ait pas d’inconvénient pour le travail de la machine.
Nous aurons par la règle
La racine carrée de 90,8 = 9,53 ; c’est l’aire de la section en pouces , et la racine carrée de 9,53 = 3,1 à peu près. C’est le côté de l’arbre demandé.
Le lecteur trouvera des détails sur la torsion des fils de métal et sur les lois de l’oscillation de la balance de torsion dans les leçons de Physique du doct. Young, vol. 1 , p. 1 4 » — i 4 i Dans l’Encyclopédie d’Édimbourg du docteur Brewster, art. Mécanique, p. 544 — 54 g. Dans les Leçons de Physique de Ferguson, vol. 1 1 , p. a 34 - Enfin , dans les ÉlémeDs de physique du professeur Leslie , vol. 1 , p. a 43 .
3oo
RÉSISTANCE A LA TENSION
