INTRODUCTION

La distinction des deux mathématiques.

er \ 1928, dans la préface de son livre célèbre : Gruppentheorie und Quantenmechanik, Hermann WEYL écrivait (1) :

«Si mes vues sont exactes, il règne entre le développement des mathématiques et celui de la physique, à l’époque actuelle, un parallélisme aussi mystérieux qu’indiscutable. La mathématique occidentale n’a pas tant suivi aux siècles précédents les conceptions grecques que les courants d’idées issus de l’Inde et diffusés par les Arabes : elle a en effet affirmé la priorité logique du concept de nombre par rapport à la géométrie. Il en est résulté que l’on a constamment entrepris l’étude des différents domaines de grandeurs avec un même et universel concept de nombre, élaboré de façon abstraite, indépendamment de toute application éventuelle. On peut dire, par contre, que nous assistons aujourd’hui en mathématiques à un renversement complet de points de vue ; il nous apparaît en dernière analyse que la conception la plus profonde est la conception grecque selon laquelle tout domaine entraîne l’existence d’un système de nombres qui lui soit propre et le caractérise. Pour

(1) Hermann WEvz, Gruppentheorie und Quantenmechanik, $. Hirzel Verlag, Leipzig. 1'e édition, 1928, préface p. vi.

l’algébriste d'aujourd'hui, le continu des nombres réels ou des nombres complexes n’est plus qu’un « corps » où un «corps antisymétrique » parmi une infinité d’autres qui ont droit à la même considération. (La propriété d’être antisymétrique résulte de ce que l’on n’y conserve pas la loi de commutativité de la multiplication). Les nouvelles recherches axiomatiques relatives en particulier aux fondements de la géométrie projective forment le pendant géométrique de cette tendance. Toute cette nouvelle mathématique, celle de la théorie des groupes et des algèbres abstraites, est animée d’un esprit nettement différent de celui de la « mathématique classique », qui a trouvé dans la théorie des fonctions de variable complexe son plus haut épanouissement. En ce qui concerne la physique, le continu des nombres réels y conserve bien son privilège inébranlable pour les mesures physiques ; mais le sens profond de la nouvelle mécanique quantique d'HEISENBERG et de SCHRÔÜDINGER réside à n’en pas douter dans le fait d’attacher à chaque édifice physique un système propre de grandeurs, une algèbre non-commutative au sens mathématique du terme et dont les éléments sont formés par les grandeurs physiques elles-mêmes».

Ce texte affirme de la facon la plus nette l’existence d’une division essentielle dans les mathématiques contemporaines ; 1l faudrait en effet distinguer l’une de l’autre la mathématique « classique » qui, partant de la notion de nombre entier aboutit à l’analyse, et la mathématique «moderne » qui s’opposant à la mathématique des nombres, affirme au contraire le primat de la notion de domaine par rapport aux nombres attachés à ce domaine.

L'existence d’une mathématique nouvelle, animée d’un esprit bien différent de celui de la mathématique du siècle passé n'est pas douteuse. L'analyse du xix® siècle est, comme son nom l'indique, analyse de l’infiniment petit : c'est, en théorie de fonctions, la convergence des séries, le passage à la limite, la continuité, la dérivation et l’intégra-

ÉPATÈES à

tion ; c’est, en théorie des équations différentielles, la recherche de l'intégration locale au voisinage de l’origine ; c’est la géométrie différentielle telle qu’elle résulte des Disquisihiones generales circa superficies curvas de GAUSS et des Applirations, de l Analyse à lu Géométrie de MONGE : théorie des contacts, des courbures, des enveloppes, etc. Quel que soit pourtant l’éclat dont ait brillé cette analyse de l’infiniment petit, elle n’a pas empêché pendant tout le cours du XIXe siècle, l’éclosion des idées dont le développement devait aboutir à la mathématique synthétique de l’époque moderne. Certaines de ces théories nouvelles, comme la théorie des ensembles, sont dues aux difficultés mêmes de l'analyse et à la nécessité de trouver un moyen de les surmonter ; d’autres comme la théorie des groupes ont leur origine dans des problèmes algébriques totalement étrangers à l’analyse ; nous ne nous arrêterons pas à ces questions d’origine, car notre but est ici seulement de caractériser dans leurs ressemblances. communes les diverses théories qui, par opposition à l’analyse, ont pour objet l’étude de la structure globale d’un « tout ».

Envisageons en premier lieu la topologie. On distingue parfois à l’heure actuelle deux sortes de topologie : la topologie qui s’appuie sur les méthodes de la théorie des ensembles de points et la topologie combinatoire, ou topologie algébrique, qui caractérise de façon arithmétique ou algébrique les propriétés des figures invariantes par une transformation continue. Le caractère global de ces deux théories est évident. Elles généralisent en effet des considérations intuitives de géométrie synthétique comme le fait pour une surface d’être ouverte ou fermée, d’avoir des trous ou de se recouvrir elle-même par endroits. Le développement considérable de la topologie contemporaine vient de ce qu’il est actuellement impossible de concevoir une théorie d’analyse qui ne reposerait pas sur une étude topologique préalable du domaine de définition des fonctions envisagées.

Considérons par exemple l'expression y = f(x). Cette expression affirme l'existence d’une correspondance ponctuelle entre un domaine du plan des x et un domaine du plan des y. La fonction f qui assure cette correspondance peut être parfaitement déterminée de façon unique par la topologie des deux domaines en question, sans qu’il soit besoin de connaître l’expression algébrique ou transcendante qui donne la valeur de y à partir de celle de x (x). Cette nécessité d'appuyer l’analyse sur la topologie remonte à RIEMANN en ce qui concerne les fonctions de variable complexe, et la topologie dont il s’agit est celle que l’on a appelée depuis la topologie combinatoire ; quant à la théorie des fonctions de variables réelles, elle est depuis les travaux de CANTOR, de M. BOREL, de M. LEBESGUE intimement liée à la topologie des ensembles de points et à la «mesure » globale des domaines qu'ils constituent. La distinction que WEYL établit entre l’analyse classique et la mathématique géométrique moderne ne saurait donc tendre à opposer leS unes aux autres les méthodes de la théorie des fonctions et celles de la topologie ; ce sont les mêmes, et il n’y a pour s’en convaincre qu’à lire le livre de WEYL que nous avons souvent cité dans notre thèse principale : « Die Idee der Riemannschen Fläche ».

En opposant les méthodes de la mathématique moderne à celles de la mathématique classique, WEYL pense, et les indications qu'il donne le prouvent, aux théories de l’algèbre moderne, telles qu’on les trouve exposées par exemple dans les deux tomes de l’ouvrage de M. VAN DER WAERDEN : Moderne Algebra (Berlin Springer, 1930). Nous voudrions rapidement insister sur les différences qui séparent l'esprit de l’arithmétique et de l’analyse classiques de l'esprit de

(1) Certains auteurs comme M. HELMUT HAssE distinguent ainsi nette-

ment la notion de fonction « au sens de l’analyse » de la notion de fonction « au sens de l’algèbre ».

l'arithmétique et de l’algèbre modernes : théorie des groupes, des anneaux, des corps, des idéaux, des systèmes hypercomplexes, etc.

La mathématique classique est constructiviste, tout d’abord en ce qui concerne la définition des opérations de l’analyse à partir des opérations de l’arithmétique élémentaire, mais aussi et surtout en ce qui concerne la génération individuelle des nombres réels ou complexes à partir des nombres entiers. L’algèbre moderne est au contraire axiomatique, et il en résulte qu’en se donnant les axiomes auxquels obéissent les éléments d’un groupe ou d’un corps, on se donne par làmême, d’un coup, la totalité souvent infinie des éléments du groupe ou du corps. Ces éléments ne sont même plus en général susceptibles d’être individuellement construits à partir de l’arithmétique des nombres entiers ; ils peuvent être en fait de nature quelconque, ce sont aussi bien des nombres que des vecteurs, des opérateurs, des transformations, des matrices, etc.

Cette axiomatisation des théories algébriques modernes entraîne des conséquences qui paraissent à WEYL essentielles : La première est relative à la priorité de la structure globale d’un domaine par rapport aux nombres attachés à ce domaine. Ceci peut s'entendre en deux sens différents mais complémentaires l’un de l’autre. Le domaine dont parle WEYL peut être tout d’abord le « domaine de grandeurs » (ou au sens restreint du mot : l'algèbre) que constituent jes grandeurs étudiées elles-mêmes, dont les propriétés individuelles sont alors commandées par les lois d'organisation du «tout » dont elles sont les éléments. Ce qui caractérise en effet une algèbre ce ne sont pas les éléments dont elle est l’ensemble, mais le fait que, quels que soient les éléments que l’onen considère, ils soutiennent entre eux des relations par quoi s'affirme leur appartenance à cette algèbre.

On peut ensuite affirmer la priorité de la notion de domaine par rapport à la notion de nombre, en considérant

l'appropriation d’un système de nombres ou de grandeurs à un domaine défini au préalable de façon géométrique topologique, ou même physique. Nous avons déjà fait allusion plus haut aux liaisons qui unissent la topologie de certains domaines à l’existence de fonctions définies sur ces domaines ; la liaison de la topologie et de l'algèbre est infiniment plus étroite car les invariants algébriques attachés à un domaine sont non seulement définis sur lui, mais servent de plus à l’explorer et à le reconnaître.

Il est un autre aspect qui distingue, dans le texte de WEY1I, l'algèbre moderne de la mathématique classique, c’est celui qui est relatif à la non-commutativité de la multiplication. L’algèbre non-commutative, où un produit ab est différent d’un produit ba, s'écarte aussi radicalement de l'algèbre ordinaire que l’algèbre de la logique où a X 4 = 4. L’algèbre de la logique ne constitue pourtant pas à vrai dire une mathématique nouvelle car son champ d’application est trop restreint, tandis que les algèbres non-commutatives ont une importance de plus en plus considérable, aussi bien en mathématiques qu’en physique.

On peut enfin décrire une quatrième caractéristique des théories de l’algèbre moderne qui, pour n’être pas formulée dans le texte de WEYL, n’en fait pas moins corps avec les précédentes : en opposition à l’analyse du continu et de l'infini, les structures algébriques ont un aspect nettement fini et discontinu. Quelle que soit l’infinité des éléments qui constituent un groupe, un corps, une algèbre (au sens restreint du mot), les méthodes de l’algèbre moderne consistent le plus souvent à imposer à ces éléments une division en classes d'éléments équivalents, et à substituer ainsi à un ensemble infini la considération d’un nombre de classes qui, dans les applications, est le plus souvent fini.

Les méthodes et les conceptions fondamentales de l’algèbre moderne étant ainsi distinguées de celles de l’analyse, on peut chercher à interpréter le sens de cette dualité qui

ÉTRr E

apparaît profondément installée au sein des mathématiques contemporaines. Est-ce une dualité essentielle entre théories irréductibles les unes aux autres, ou bien n’est-ce qu’une dualité de méthodes susceptibles d’être un jour rapprochées ? Le texte de WEYL que nous avons cité plus haut ne contient pas de réponse nette à cette question ; il suggère cependant l’idée qu’il y aurait plus qu’une opposition de méthodes entre la théorie des fonctions de variablecomplexe et l’algèbre ; par contre HILBERT a plusieurs fois exprimé sa conviction en la possibilité de trouver une méthode d’élaboration conjointe de l'algèbre et de l’analyse : « eine methodisch einheitliche Gestaltung von Algebra und Analysis » (1). Nous nous proposons dans les pages qui vont suivre, de faire voir comment la mathématique moderne est engagée dans la voie de cette unification de l'algèbre et de l’analyse, et cela par la pénétration de plus en plus poussée des méthodes structurales et finitistes de l’algèbre dans le domaine de l’analyse et du continu. En somme le conflit des méthodes entre l’algèbre et l’analyse se dissiperait au profit de l’algèbre ; la distinction des deux mathématiques de WEYL semble ainsi ne correspondre qu'aux conditions historiques du développement des mathématiques, et laisser intacte l’unité des mathématiques et l’unité de l'intelligence.

Nous essaierons de montrer dans les quatre chapitres de cet ouvrage, comment on peut retrouver dans les théories modernes de l’analyse, les aspects qui nous ont paru caractériser l'algèbre moderne. L'idée algébrique de dépendance d’une grandeur par rapport au domaine auquel elle appartient nous a amené à étudier l'influence de la structure « dimensionnelle » d’un ensemble sur le mode de décomposition individuelle de ses éléments, et à envisager l’importance des décompositions dimensionnelles en théorie de fonctions (chapitre I). La priorité de la topologie de cer-

(x) Cf. D. HiLBERT, Gesamm. Abh., t. IIL, p. 57.

HU Dies

tains domaines sur les nombres attachés à ces domaines se retrouve dans le rôle des métriques non-euclidiennes de la théorie des fonctions analytiques (Chapitre II) ; nous étudions ensuite (chapitre III) l'algèbre non-commutative qui intervient dans la théorie de l’équivalence des équations différentielles. Enfin nous montrons comment la considération de structures algébriques finies et discontinues peut servir à déterminer l’existence de fonctions de variable con-

tinue (chapitre IV).

CEÉPAPDIRE?T

Structure d'un domaine de gsrandeurs et décomposition de ses éléments.

Les considérations dimensionnelles en analyse.

On peut envisager la décomposition d’un être mathématique à deux points de vue bien différents : Tantôt la décomposition met en lumière les propriétés particulières d’un être au sein de l’ensemble auquel il appartient, et le caractérise par la spécificité de sa structure propre ; tantôt au contraire la décomposition des êtres d’un même ensemble se fait selon un plan commun à tous et traduit ainsi non pas seulement leurs propriétés particulières, mais également leur appartenance à un même ensemble dont la structure globale se réfléchit en celle de ses éléments.

Le type des décompositions de première espèce est la décomposition arithmétique d’un nombre entier en un produit de facteurs premiers, égaux ou inégaux. Cette décomposition n’est possible en arithmétique élémentaire que d’une seule façon et tout nombre se trouve ainsi caractérisé de façon unique par les facteurs qui lui sont propres.

Nous prendrons comme type des décompositions de seconde espèce, la décomposition algébrico-géométrique d’un

vecteur X dans un espace vectoriel R à » dimensions. Soit

a TE D dans cet espace un système de » vecteurs &... e, linéairement indépendants, c’est-à-dire tels que l'équation :

ne soit résoluble que si tous les coefficients a, s’annulent. L'espace étant à » dimensions, ces vecteurs forment un système de base ou système fondamental pour l’ensemble

= des vecteurs X de l’espace. Ceci veut dire que tout vecteur

= X peut être représenté par une décomposition du type suivant :

Ces décompositions diffèrent nettement des décompositions de première espèce. Les coefficients x, ... x, caractérisent

bien, il est vrai, de façon unique le vecteur X dans le système de base adopté, mais le fait que tout vecteur peut être décomposé en # composantes, traduit moins une propriété individuelle de ces vecteurs que leur appartenance à un espace à # dimensions. Ce sont les propriétés dimensionnelles globales de cet espace qui imposent ainsi un mode uniforme de décomposition à chacun de ses éléments, et cette influence de la structure de l’ensemble sur la nature des éléments se manifeste de façon encore plus frappante lorsqu'on peut représenter l’espace À comme une « somme directe » de sous-espaces indépendants les uns des autres :

RREONRa 0h

> Chacune des À, contient alors tous les vecteurs x, e; de

même indice, de sorte que tout vecteur X est ainsi obligé, de par son appartenance à R, d’avoir une composante dans chacun des # sous-espaces de la décomposition de R.

Les décompositions de seconde espèce présentent encore un autre aspect essentiel. Les # vecteurs de base d’une

CRT: AE > = > pareille décomposition, & ...…….. e, Sont, au même titre que X, vecteurs de l’espace R, alors que les facteurs d’une décomposition de première espèce sont toujours, comme nous verrons plus loin, de nature plus simple que les êtres qu’ils caractérisent. Les vecteurs de l’espace R présentent donc entre eux de multiples formes de solidarité, et une décomposition en composantes traduit non seulement la structure dimensionnelle de l’espace global, mais aussi le choix du système de base adopté pour soutenir et organiser les relations qui unissent tous les éléments de l’espace à un ensemble fondamental de n d’entre eux.

Il est possible de retrouver en algèbre les deux types de décomposition que nous venons de distinguer. Le théorème que l’on a longtemps appelé le théorème fondamental de l’algèbre est un théorème de décomposition « propre». Il énonce que tout polynôme en x de degré m est égal au produit d’une constante par # facteurs de la forme (x-«) égaux où inégaux : 3

= Cr Et). 2. (x-0,,).

A cette décomposition qui met en lumière les racines propres d’un polynôme, nous voudrions opposer toutes les décompositions « imposées » dans les théories modernes de l’algèbre. Considérons par exemple un système hypercomplexe. Un pareil système O est défini par un ensemble b, .…b, d'éléments de base et un corps commutatif P dont les éléments agissent comme multiplicateurs sur les éléments de la base. On obtient ainsi pour © la décomposition

(1) OLSRTÉE ETS D PS (P désignant l’ensemble des nombres du corps P), et pour chaque a de O |

(II) ab À - sosie Bi b + 0 An0n) (x € P)

LA bre

La loi de décomposition individuelle (II) inscrit ainsi dans chaque élément 4 de O les propriétés structurales (1) du système auquel ces éléments appartiennent.

Les deux espèces de décomposition algébrique ne sont du reste pas totalement étrangères l’une à l’autre. La décomposition « propre » d’un polynôme en un produit de facteurs est étroitement liée à la nature globale du corps où l’on essaie cette décomposition. Le polynôme x2-2 n’a pas de racine dans le corps » des nombres rationnels et n’est décomposable que dans un corps qui contienne au moins le corps k (1/2) (x). Le théorème fondamental de l’algèbre relatif à la décomposition complète en # facteurs de tout polynôme de degré m n’est au fond que la traduction d’une propriété globale du corps des nombres complexes: celle d’être algébriquement fermé. On retrouve de même une pareille dépendance par rapport au corps de base (Abhängigkeit vom Grundkürper) dans les décompositions arithmétiques. Le nombre 21 n’est décomposable en un produit unique de facteurs premiers que dans le corps des nombres rationnels, où l’on a: 21 — 3 X 7. Par contre on peut le décomposer d’une deuxième façon dans le corps k (V-5) oùl’on 4 en plus dense la décomposition suivante : 21 = (1 + 2 V/-5) (1-2 V-5). Les décompositions propres sont donc dans une certaine mesure liées au domaine de base comme les décompositions « imposées ». Une différence essentielle subsiste néanmoins : Les décompositions propres étudient toujours les êtres mathématiques isolément, indépendamment de tous ceux qui peuvent jouir de propriétés analogues, tandis que les décompositions de seconde espèce imposent à tous les éléments d’un ensemble une même structure qui résulte de la structure dimensionnelle de l’ensemble auquel ils appar-

(1) Le corps k(V2) est engendré par « l’adjonction » de V2 au corps des nombres rationnels.

tiennent, et établissent ainsi une étroite dépendance entre la totalité des êtres étudiés et un certain nombre d’entre eux pris comme système de base. La dépendance par rapport au corps de base que présentent parfois les décompositions de première espèce est donc bien différente de l’interdépendance des éléments entre eux dans les systèmes globaux de l’algèbre contemporaine, et que mettent en lumière les décompositions de seconde espèce.

Avant de rechercher en analyse l'importance respective de ces deux modes de décomposition d’un être mathématique,nous voudrions montrer comment l’interdépendance linéaire des éléments d’un ensemble est en rapports étroits avec la théorie des systèmes d’équations algébriques linéaires.

Considérons tout d’abord le système homogène (sans second membre) :