EI

Soit 7 le rang du système, c’est-à-dire le degré du plus grand déterminant non nul formé avec les coefficients is système (IIT).On appelle solution du système, tout vecteur X dont les coordonnées x, ...…. x, Satisfont aux équations (IIT) et l’on démontre que pour 7 <n,ilexisteunnombre maximum de n —y7 solutions linéairement indépendantes formant un

= système fondamental de solutions. Toute solution X du système (III) est une combinaison linéaire de solutions fondamentales,

et le système (III) définit ainsi un espace vectoriel à # —r dimensions. Nous n’aborderons pas ici le cas d’un système non

ALBERT LAUTMAN 2

homogène, c’est-à-dire dont les seconds membres ne sont pas nuls comme dans (III) ; indiquons simplement que l’on retrouve parfois dans l’étude de ces systèmes l’idée dimensionnelle de la composition d’une solution générale à partir d’une solution particulière quelconque et d’un système fondamental de solutions du système homogène correspondant.

Cette jonction qui apparaît ainsi entre la théorie des décompositions de seconde espèce et la résolution des équations algébriques linéaires est à notre point de vue très importante, car c’est par la considération de pareils systèmes d'équations que s’opère très souvent en analyse la substitution du point de vue synthétique des décompositions dimensionnelles au point de vue individuel des décompositions propres.

Le domaine des décompositions de seconde espèce est avant tout formé par la représentation approchée de fonctions appartenant à différents espaces fonctionnels. On sait que les fonctions trigonométriques I, cos x, cos 2 x,...... ; Sin X, sin 2 x, forment dans l’espace des fonctions f(x) continues et différentiables, pour —r<x< 7 avec f(—r)=/f{r),un système de fonctions de base tel que pour toute fonction f(x) de l’espace, on ait le développement en série de FOURIER :

n=0 ta = 4, + 2 (a cosnx + b,sinnx); n=1 les a, et les b, satisfaisant à certaines conditions déterminées. Nous avons de même rappelé ailleurs les propriétés analogues de l’espace des fonctions de carré sommable. Cet espace est constitué par l’ensemble des fonctions f(s) défnies sur un espace mesurable E, telles que f'#(s)du (x) existe E

et que f|/(s)'& ait une valeur finie. Un pareil espace est E

(1) w est ici la mesure de l’espace E, au sens de M. LEBESGUE.

AU

isomorphe à l’espace de HILBERT (1), c’est donc un espace vectoriel à une infinité de dimensions et il existe dans cet espace une infinité de systèmes de base (5), s(s). formés chacun d’une infinité de fonctions orthonormales (2) telles que toute fonction de l’espace soit décomposable en série :

Î(S) = %1 qu(s) + Xe pas) +

Ce résultat a joué un grand rôle dans l’histoire des problèmes que nous étudions ici, car c’est par l’extension de ces méthodes algébriques de décomposition de seconde espèce aux fonctions inconnues d’équations intégrales ou d'équations aux dérivées partielles, qu’HILBERT a conçu une possibilité d'élaboration conjointe de l’algèbre et de l’analyse. L’unification des disciplines mathématiques doit s’opérer ainsi par la pénétration dans le domaine de l’analyse des méthodes dimensionnelles et finitistes d’origine algébrique. Les décompositions de seconde espèce étant liées en algèbre à l’étude des systèmes d’un nombre fini d'équations, d’un nombre fini de variables, HILBERT a développé la théorie des systèmes d’une infinité d'équations linéaires à une infinité de variables pour trouver des théorèmes de combinaison linéaire analogues à ceux du fini, et applicables à la théorie des équations intégrales. Voici un texte où HILBERT exprime avec une clarté admirable son espoir d’unifer l’algèbre et l’analyse par une pareille généralisation de méthodes algébriques :

«La théorie des formes à une infinité de variables < est > un domaine nouveau, et dans une certaine mesure intermédiaire entre l’algèbre et l’analyse, qui par ses méthodes

(1) Cf. notre thèse principale, chap. V. k | (2) Ceci veut dire que l’on a les relations suivantes entre les fonctions

On (s) .

Ha) on(s) ds — 0; mÆn

+T J lpm(s) |? ds = 1.

HO

s'appuie sur l’algèbre mais qui appartient à l’analyse par la nature transcendante de ses résultats (1). »

Nous allons maintenant rapidement montrer comment HILBERT opère la réduction d’un problème d’analyse à un problème algébrique.

Soit l’équation intégrale linéaire :

(AV) f(s) = o(s) — à f A(s,r) o(6) dé où w(s) est la fonction cherchée et où f{s) et A(s,é) sont données. HILBERT construit tout d’abord un système quelconque de fonctions continues orthonormales w,(s) (0oSs<1), qui satisfasse de plus, relativement à une fonction continue quelconque w(s), aux conditions d’achèvement suivantes :

J'u(ras=[ fautes | + [free] +. +.

Un pareil système forme un système de base dans l’espace des fonctions #(s). HILBERT introduit ensuite les expressions suivantes :

Fc]

M = feeds, fs = JHses(s)ds

Rs) = JR(s to dé, Ru — f J'A(S, das (s) a ( ds dt,

qui sont telles que Ex, f$, 2 RS), E k(s)

convergent.

Dans ces conditions on déduit de l'équation intégrale (IV),

(1) D. HizBERT, Wesen und Ziele einer Analysis der unendlichvielen Variablen, dans HIiLBERT, Gesamm. Abh., t. III, p. 50.

Dir

le système suivant d’une infinité d'équations algébriques linéaires à une infinité d’inconnues :

(T-R11)%1 Er AR12% 0 OO AE = A (V) Rat M (T-ARo2) Xp. =} $.

La résolution de l’équation intégrale (IV), problème d’analyse, est donc ramenée à la résolution du système d’équations algébriques (V) (x).

Solent-% Min un ensemble de valeurs formant une solution de ce système algébrique ; on obtient une solution continue de l’équation intégrale (IV) en formant la série uniformément convergente :

g(s) = J(S) + AE R(s) x

et il est facile de démontrer que cette solution o(s) admet une décomposition en série de FOURIER,

(VI) p(s) = E x, o,(s)

le système de base étant le système des w,(s) adopté et les coefficients x, obéissant aux relations :

UE j p(s) w,(s) ds.

L'expression (VI) représente bien un développement « de seconde espèce » de la fonction e(s) cherchée, et c’est ce résultat d’allure algébrique qu’'HILBERT avait en vue dans la

constitution de sa théorie.

Nous allons rechercher maintenant dans la théorie des fonctions analytiques le rôle des décompositions de première

(x) Tout ce paragraphe d’après : E. HELLINGER, Hüilberts Aybeiten über Integralgleichungen, dans HILBERT, Gesamm. Abh., t. III, p. 106. e