PR

pour l’une, le continu émane du discontinu comme l'infini du fini, par une sorte d’enrichissement progressif du fini et du discontinu. Il se trouve alors que dans ies conditions où le passage à la limite est légitime, on découvre brusquement des propriétés nouvelles, liées au continu et à l'infini, et qui n'avaient pas d’équivalent dans le fini. Considérons par exemple un polynôme en z (2 étant une variable complexe); il contient un nombre fini de termes ; une série convergente d’une infinité de termes représente dans certains cas une fonction analytique, et, comme le fait remarquer M. Mox- TEL, le passage d’un nombre fini à un nombre infini de termes introduit le fait nouveau de l’existence d’un point singulier sans lequel la fonction analytique se réduirait à une constante. L’analvse ainsi présentée déborde l'algèbre et ses résultats ont longtemps semblé aux analystes ne pouvoir être retrouvés par des méthodes plus simples.

On peut également affirmer la priorité du continu et de l'infini et voir dans le fini et le discontinu soit une limitation de l'infini, soit une approximation de l'infini. Cette attitude est peut-être plus philosophique que mathématique : l'infini cartésien est premier par rapport au fini comme la continuité chez BERGSON est première par rapport au discontinu. Nous avons du reste indiqué comment on la retrouvait surtout dans celles des disciplines mathématiques qui sont le plus en contact avec la pensée philosophique : la théorie des ensembles de CANTOR et la logique mathématique de FREGE et de RUSSELL. Il n’en est pas moins vrai que l’on peut retrouver dans les théorèmes authentiquement mathématiques d’approximation une image de pareils rapports. Nous avons rappelé par exemple au chapitre T! de notre thèse principale, comment on pouvait approcher une fonction continue par des polynômes ; la fonction continue est donc bien dans cette théorie conçue comme donnée antérieurement à l’infinité discontinue des polynômes qui l’approchent.

> Lyln

Nous croyons qu’il est possible d'observer dans le mouvement des mathématiques au xx® siècle une troisième façon de concevoir les rapports de l'analyse et de l'algèbre, du continu et du discontinu, de l'infini et du fini. En cherchant à faire naître l'infini par dilatation du fini ou le fini par rétrécissement de l'infini, on considère toujours en extension le fini comme une partie de l’infini et l’on ne peut que se heurter sans cesse à l’impossibilité d’épuiser l'infini. Une attitude bien différente est celle de beaucoup de mathématiciens contemporains (1) qui voient dans le fini et l'infini non pas les deux termes extrêmes d’un passage à opérer, mais deux genres d'êtres distincts, doués chacun d’une structure propre, et susceptibles de soutenir entre eux des rapports d'imitation ou d'expression. Nous entendons par rapports d'imitation les cas où la structure interne de l'infini #mite celle du fini, et par rapports d'expression, les cas où la structure d’un domaine fini et discontinu enveloppe l'existence d’un autre domaine continu ou infini qui se trouve ainsi exprimer l'existence de ce domaine fini auquel il est adapté. Certains de nos exemples mettent en lumière des rapports d'imitation ; d’autres des rapports d'expression. Lorsqu'HiLBERT transporte en analyse des méthodes de décomposition dimensionnelle d’origine algébrique, il impose à l’espace fonctionnel une structure qui imite celle d’un espace à un nombre fini de dimensions. Lorsque POINCARÉ envisage un groupe discontinu de transformations et la fonction continue automorphe attachée à ce groupe, il rapproche deux genres d'êtres totalement étrangers de nature, mais l’existence de la fonction continue n’en exprime pas moins les propriétés du domaine de discontinuité qui sert à la définir. En s’attachant ainsi chaque fois, non pas à la quantité des éléments, mais à

(1) Cf. l’adage, souvent reproduit, de M. ANDRÉ BLOCH : « Nihil est in infinito quod non prius fuerit in finito.»

l'existence ou à l’armature des êtres que l'on compare. on découvre ainsi entre le fini et l'infini des analogies de structures et des adaptations réciproques, d’où il résulte que l’unité des mathématiques est essentiellement celle des schémas logiques qui président à l’organisation de leurs édifices. Nous retrouvons ainsi des considérations qui rejoignent celles que nous avons développées dans notre thèse principale. Notre Essai sur les notions de structure et d'existence en mathématiques tend en effet à montrer qu'il est possible de retrouver au sein des théories mathématiques, des Idées logiques incarnées dans le mouvement même de ces théories. Les analogies de structures et les adaptations d’existences que nous avons essayé de décrire ici entre l'analyse et l’algèbre n’ont pas d’autre but que de contribuer à mettre en lumière l’existence au sein des mathématiques de schémas logiques, qui ne sont connaissables qu’à travers les mathématiques elles-mêmes, et en assurent à la fois l’unité intellectuelle et l'intérêt spirituel.

Vu : le 28 juin 1937.

Le Doyen de la Faculté des Lettres de l’Université de Paris,