CONCLUSION

Nous avons montré dans l’Introduction de cet ouvrage comment la distinction des deux mathématiques de WEYL tendait à opposer à l’analyse de l'infini les méthodes synthétiques de l’algèbre moderne. Nous avons ensuite montré au cours de nos quatre chapitres, que cette distinction ne doit pas être conçue dans le sens d’une opposition essentieile entre disciplines irréductibles, puisqu'il est possible de retrouver dans les théories modernes de l’analyse les points de vue qui caractérisent l'algèbre. La théorie des équations à une infinité de variables, la théorie arithmétique des fonctions algébriques, la théorie des métriques non-euclidiennes invariantes par un groupe discontinu, le calcul des formes de PFAFF et la théorie des groupes continus, la théorie analytique des nombres, ce sont là autant de théories intermédiaires entre l’algèbre et l’analyse, dont les méthodes sont algébriques, et dont les résultats s’étendent à l’analyse. Il est donc légitime d’opposer la mathématique du xx® siècle à celle du xIX®, mais elles s’opposent comme la physique du continu et celle du discontinu. On pouvait croire jusque vers 1903 à la coexistence de deux domaines de faits distincts : ceux qui se présentaient comme continus, les ondes lumineuses, et ceux où apparaissait au contraire une structure discontinue : les atomes matériels. Depuis qu’'EINSTEIX a introduit la discontinuité dans l’étude de la lumière et L. DE BROGLIE la continuité des ondes dans l’étude de la matière, il est impossible de maintenir l’ancienne idée de domaines de faits physiques distincts.

LANTA

les uns des autres. La physique du continu représente un mode de traitement par équations différentielles des faits physiques, la physique du discontinu représente un mode de traitement des mêmes faits par d’autres méthodes : théories desgroupes, calculdesmatrices,statistiquesquantiques,etc… IT existe ainsi une certaine analogie entre la physique contemporaine et la mathématique contemporaine, en ce sens qu'elles offrent l’une et l’autre le spectacle de faits susceptibles d’être à la fois étudiés par le calcul du continu et par le calcul du discontinu, mais alors que cette dualité de méthodes relatives aux mêmes faits est la source des principales difficultés de la physique contemporaine, elle est au contraire le témoignage de l’unité profonde des sciences mathématiques.

Le continu et le discontinu sont en effet en physique quantique des points de vue « complémentaires » au sens de BOHR ; c'est-à-dire que notre connaissance des aspects continus de la matière augmente dans la mesure où celle de ses aspects discontinus diminue et inversement : « Ce sont, écrit L. DE BROGLIE, comme les faces d’un objet que l’on ne peut contempler à la fois et qu’il faut cependant envisager tour à tour pour décrire complètement l’objet. Ces deux aspects, M. BoHr les nomme « aspects complémentaires », entendant par là que ces aspects d’une part se contredisent et d’autre part se complètent (1). »

Les rapports du continu et du discontinu, du fini et de l'infini, sont en mathématiques bien différents. Nous ne songeons pas seulement à des problèmes spéciaux, comme ceux de la théorie analytique des nombres dont nous avons parlé au chapitre IV, mais entendons bien envisager ici le probième général des rapports de l'analyse et de lalgèbre. Il existe, à cet égard, deux positions classiques :

(1) Louis DE BROGLIE, La physique nouvelle et les quanta, p. 242. Flammarion, éd. Paris, 1937.