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où les Y.(z) sont des intégrales abéliennes de seconde espèce qui n’admettent chacune qu’un seul pôle, le point a. Cette décomposition est absolument équivalente à (VIT) ; les fonctions F(2:) sont présentées sous la forme d’une somme

(x) Voir pour tout ceci : Oscoop, Lehrbuch der Funktionentheorie, t. II, 2.

de fonctions, d’un certain point de vue plus simples que la fonction F(2:) puisqu'elles n’ont chacune qu’un pôle; en tout cas ces fonctions ne font pas partie elles-mêmes de l’ensemble des fonctions F(2) ; la décomposition obtenue est donc bien une décomposition de première espèce, et c’est la détermination des coefficients À, qui va introduire dans ce problème d’analyse un point de vue dimensionnel d’inspiration algébrique.

On sait (1) qu’une surface de RIEMANN multiplement connexe peut être rendue simplement connexe par un «découpage canonique ». Voici rapidement ce qu’il faut entendre par là : La surface de RIEMANX peut être amenée par déformation continue sous la forme d’un disque à 2 faces percé de p trous ; p étant le genre de la surface. On peut alors tracer sur cette surface un système maximal de 2h courbes fermées non réductibles à un point par déformation continue et telles qu'aucune de ces courbes ne divise la surface en deux régions séparées. En découpant la surface suivant ces 2 courbes, on obtient ainsi une surface simplement connexe. Les intégrales abéliennes subissent quand la variable passe d’un bord d’une de ces coupures à l’autre un saut qui se manifeste par l'existence d’une discontinuité dans les valeurs de la fonction. On démontre que les intégrales abéliennes de seconde espèce peuvent n’avoir de discontinuités différentes de o que pour la moitié p des 2h rétrosections tracées sur la surface.

Soient (4), 10:14). Q,(&) les p discontinuités de l'intégrale Y,(2) de la formule (VIII) ; soient de même Ode) Qt) que ONE Q,(a,), les discontinuités dés fonctions Y (2) 22 Y,,(2). Pour que la fonction F(2) soit uniforme sur les p coupures où chacune de ses composantes subit une discontinuité, il faut que l’on ait les p relations suivantes :

(1) Cf. notre thèse principale, chap. III.