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espèce et verrons ensuite comment dans ce domaine également, les considérations dimensionnelles issues de l’algèbre, ont pu charger d’un sens nouveau les résultats des théorèmes de décomposition propre, d'inspiration arithmétique.
La décomposition propre d’un polynôme est celle qui met en évidence ses racines. La fonction analytique qui ressemble le plus à un polynôme est la fonction entière, qui ne possède de singularité qu’à l'infini, et il est possible de mettre en évidence les zéros d’une pareille fonction par une décomposition en produits, analogue à la décomposition d’un polynôme en facteurs du rer degré. Soient &, 41... une suite infinie de points différents de o. Le produit :
= © ( 2 nr De re ea PRE (x 2) NE n Ven
n—0o l représente dans certaines conditions une fonction entière HMAdMEMIeS MDOMES CA Mie CRETE comme Zéros, et toute fonction entière qui admet également ces points comme zéros est représentée par l’expression :
GE eee
An
où (2) est une fonction entière quelconque.
Envisageons maintenant les fonctions méromorphes, c'est-à-dire les fonctions qui admettent dans le fini, un
nombre fini de pôles a1 ds, AU Voisinage desquels leur développement en série est de la forme :
On ee HG): (2m...)
Ga TT Ga)
G(2) étant une fonction entière.
L'ensemble de termes fractionnaires de ce développement constitue la partie principale g; (—=) de /(2) correspondant
au pôle 4.
Ceci posé, il est possible de se donner à l’avance les pôles
MO
et les parties principales d’une fonction méromorphe et de recomposer ainsi cette fonction à partir de fractions partielles (les différentes parties principales), n’admettant plus chacune qu’un seul pôle :
MIE) (=) + La (—=) + £y (— =)+ G(2).
La décomposition d’une fonction entière en produits, et la décomposition d’une fonction méromorphe en fractions partielles sont essentiellement des décompositions de première espèce, car elles révèlent bien l’existence d’une infinité de fonctions admettant comme zéros ou comme pôles des points donnés, mais elles ne révèlent rien quant à la structure globale de cette infinité. Elles s’attachent en effet exclusivement aux propriétés individuelles des fonctions étudiées et nullement à l’organisation de la classe que ces fonctions peuvent constituer. Nous allons voir maintenant reparaître, au sein de ces problèmes, les considérations dimensionnelles, et s'établir à nouveau des solidarités algébriques entre éléments d’un même ensemble.
Le théorème de RIEMANN-ROCH se propose d'étudier la structure de l’ensemble de fonctions qui admettent comme pôles sur une surface de RIEMANN # points donnés 4...a et qui sont uniformes partout ailleurs sur la surface (x).
En vertu du théorème de décomposition en fractions partielles, les fonctions étudiées peuvent être mises sous la forme suivante :
