OPEN AN(S 1. HOPPER TC

Cette décomposition est éminemment une décomposition du type de celles que nous avons appelées de seconde espèce. Les fonctions F,(z) .…. F,,(2) appartiennent à l’ensemble des fonctions F(2) cherchées. Elles forment dans cet espace un système de base à #—p dimensions et toutes les autres se laissent obtenir par combinaison linéaire de ces fonctions de base (1).

La comparaison de la décomposition (IX) et de la décomposition (VIIT) est extrêmement suggestive. Ellenous montre comment de mêmes êtres mathématiques, en l'espèce les fonctions F(2\, peuvent être décomposées de deux façons bien distinctes : La première décomposition caractérise leurs propriétés individuelles, la seconde les liens qu'elles soutiennent entre elles. Ce sont donc bien là deux modes de pensée d'inspiration différente, et dont la réunion est l’œuvre de RIEMANN.

(1) Ce théorème constitue, sous une forme particulière, le théorème de RrEMANN-Rocx qui fait dépendre la fonction F{z) de n—p + 1 constantes. (cf. PicarD, Traité d'analyse, t. IT, p. 474).

PS OGTE

Les exemples que nous avons donnés nous permettent ainsi de comprendre que s’il y a des modes de pensée différents en mathématiques, il est peu vraisemblable qu’à ces différences de méthodes correspondent des différences de domaines. La dualité des types de décomposition sur laquelle nous avons insisté au cours de ce chapitre est un fait certain qui s'impose à tout observateur, mais cette dualité de méthodes n’aboutit pas à constituer deux mathématiques différentes, celle qui serait une promotion de l’arithmétique des nombres entiers et celle qui serait une extension de l’algèbre. Les mêmes êtres sont étudiables des deux façons et c’est cette rencontre des méthodes qui fait l’unité profonde des mathématiques (1).

(x) Il nous faut signaler ici, l'importance que présente, pour les problèmes que nous avons rencontrés dans ce chapitre, la « théorie arithmétique des fonctions algébriques ». La théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales est chez RIEMANN une théorie d’analyse et s’appuie sur des méthodes transcendantes. DEDEKIND et WEBER ont exposé, en 1882, une théorie purement arithmétique des fonctions algébriques à une variable, où il n’est fait appel, même pour la définition d’un point, qu’à des notions finitistes de l’arithmétique et de l’algèbre. C’est ainsi qu’une fonction algébrique n est caractérisée par un quotient symbolique de deux complexes de points appelés polygones :

Deux polygones & et 03 susceptibles de correspondre comme numérateur et dénominateur à une même fonction appartiennent à la même casse de polygones. Les classes ont une dimension définie par le nombre des éléments de leur base et le théorème de RIEMANN-RoOCH se présente immédiatement dans cette théorie comme lié à l’étude de la dimension de classes de polygones. Le point de vue structural et dimensionnel qui n’apparaît qu’en second lieu dans la théorie ordinaire apparaît ainsi au premier plan dans la théorie « arithmétique ».

CHAPRERETI

Le domaine et les nombres,

Les métriques non-euclidiennes dans la théorie des fonctions analytiques.

Nous avons montré au chapitre I de notre Thèse principale les différences qui séparent la conception synthétique de la conception infinitésimale de la géométrie. La définition riemannienne d’un espace par la formule qui donne la distance de deux points infiniment voisins est une conception purement locale ; l’espace entier y est construit par la juxtaposition de proche en proche de voisinages infinitésimaux et dont l’assemblage n’est pas, sans conventions nouvelles, susceptible de caractéristiques d'ensemble. Par contre, la définition des propriétés d’un espace par celle du groupe de transformations dont les propriétés en question sont les invariants, est une définition globale qui envisage les possibilités d'action du groupe sur la totalité des points de l’espace. Il est souvent possible de définir également dans les espaces « globaux » une métrique invariante par rapport au groupe qui opère sur l’espace, mais cette métrique peut être bien différente des métriques riemanniennes (x). Celles-ci ne font en effet appel qu’à des notions

(1) Nous avons indiqué dans notre thèse principale comment, d’après les travaux de M. CARTAN, la métrique définie globalement pouvait néanmoins être, dans certains cas, riemannienne.