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définies au voisinage de chaque point origine considéré, tandis que la formule d’une métrique invariante par rapport à un groupe,contient en général des termes qui se réfèrent aux propriétés d'ensemble de l’espace. On voit donc apparaître ici un nouvel aspect de l’opposition des deux mathématiques. Dans la conception locale, l’expression des nombres qui forment la métrique de la surface est donnée antérieurement à la constitution de la surface puisque la surface résulte justement du rapprochement de voisinages définis par la valeur de la distance de deux points infiniment voisins; dans la conception synthétique, l’espace préexiste à la métrique, puisque la géométrie de l’espace tout entier influe sur la détermination de la métrique. Les nombres sont alors postérieurs au domaine et il est particulièrement significatif à cet égard que M. WEyL fasse allusion à la géométrie projective dans le texte que ces pages ont pour but de commenter.

La géométrie projective a en effet fourni le premier exemple d’une géométrie où l’on attache à tout couple de points un nombre défini indépendamment de toute référence à la distance euclidienne et satisfaisant néanmoins à certaines conditions formelles qui permettent de le considérer abstraitement comme la « distance » de deux points sur cet espace. La principale de ces conditions concerne l’additivité de la distance : soit 4 (a, b) le nombre 4 attaché au couple de points (4, b) ; il faut que l’on ait :

Les axiomes formels qui définissent la notion de distance peuvent être satisfaits par une infinité de systèmes de nombres différents ; l’objet de la géométrie abstraite est de choisir celui qui assure l’invariance de la métrique par rapport aux transformations d'ensemble que l’on envisage sur la surface, En géométrie projective par exemple, la distance de deux points est définie par le rapport anharmonique at-

taché au « jeu » des quatre points suivants : les deux points donnés et les intersections de la droite projective passant par ces deux points avec la conique qui est transformée globalement en elle-même par un sous-groupe du groupe des transformations projectives. On sait comment KLEIN a opéré l’union des notions de métrique projective, dues à CAYLEY et des géométries non-euclidiennes : la géométrie de RIEMANN corresportd au cas où « l'absolu », c’est-à-dire la conique projectivement invariante est imaginaire, la géométrie de LOBATCHEWSKY correspond au cas d’une conique réelle et la géométrie d'EUCLIDE au cas où la conique dégénère en deux points imaginaires. Du point de vue qui nous intéresse ici, les géométries non-euclidiennes et la géométrie projective se confondent : on y voit en effet l’appropriation d’un système de nombres à un espace résulter de la considération préalable des propriétés structurales de l’espace, qui reçoit ainsi sur lui un système de nombres fait pour lui.

Nous nous proposons, dans la suite de ce chapitre, de retrouver l'intervention de métriques non-euclidiennes dans la théorie des fonctions analytiques, et ce fait a une très grande importance philosophique. M. WEYL veut en effet ranger toute l’analyse dans la mathématique issue de la notion de nombre entier, pour l’opposer à la mathématique moderne, celle des domaines. Il est certain que même les applications de l’analyse à la géométrie, telles que les ont conçues en France l’école de MONSE, en Allemagne celle de Gauss, ne sont que des interprétations géométriques de résultats analytiques obtenus indépendamment de toute référence à la géométrie (1). Ce souci d’éliminer de l’analyse les intuitions géométriques est du reste dans l'esprit du cartésianisme, pour lequel la géométrie synthétique est œuvre d'imagination et reste par là-même en deçà des possibi-

(x) Cf. notre introduction, p. 7.

notes

lités infinies du calcul conduit uniquement par l’entendement.

Cette différence de plans entre une analyse purement intellectuelle et une géométrie synthétique, plus sensible, s’est de nos jours presque complètement évanouie, parce que la topologie et la théorie des groupes ont permis la mise au point de méthodes synthétiques en géométrie, qui sont tout aussi intellectuelles que les méthodes de l’analyse. Un renversement s’est ainsi opéré dans les rapports de l’analyse et de la géométrie, et l’analyse a été de nouveau, non pas « astreinte à la considération des figures » mais tout au moins subordonnée à une étude topologique préalable du domaine de définition des fonctions envisagées. Cet aspect nouveau de la théorie des fonctions analytiques est lié au développement de la théorie de la surface de RIEMANN d’une fonction analytique ; nous n’en envisagerons ici que les conséquences relatives à la métrique.

Lorsque PoINCARÉ utilisa, le premier semble-t-il, une métrique non-euclidienne dans un problème d’analyse, 1l crut assister à la rencontre accidentelle et presque inexplicable de deux ordres de pensée totalement étrangers l’un à l’autre. La géométrie non-euclidienne lui avait paru jusqu’'alors « un simple jeu de l'esprit qui n’a d'intérêt que pour le philosophe sans pouvoir être d'aucune utilité pour le mathématicien » (x), et 1l se trouvait qu’elle s’imposait dans la théorie de l’uniformisation de fonctions algébriques. Il nous faut insister un instant sur les conditions où s’est opérée ainsi la liaison de l’ancienne et de la nouvelle mathématique.

Nous avons déjà eu l’occasion de définir le problème de l’uniformisation (2). Etant donné une fonction analytique

(1) Henri PoiNcaARÉ, Œuvres complètes, t. I, p. xI (résumé de ses propres travaux par PoINCARÉ lui-même).

(2) Cf. notre thèse principale, chap. III.