CHAPITRE IV

Quelle est la nature de cette démonstration déductive, quidoit être la forme déûnitive de toutes les sciences, — qui est déjà celle des mathématiques ? Le syllogisme n'en donne qu'une idée très imparfaite.

La logique traditionnelle enseigne que la déduction Ta du ^ général au particulier, Finduction du particulier au général. On ajoute que la déduction est la méthode des mathématiques, * et qu'elle se réduit au syllogisme et à ses diverses combinaisons. ' Or, la plupart des démonstrations mathématiques sont des généralisations, les théories sont des enchaînements de propositions de plus en plus générales, la science tout entière,/ depuis les premiers éléments jusqu*aux dernières conséquences de Talgèbre et de la géométrie supérieures, procède constam- ; ment par généralisations successives. Il est donc impossible de se contenter d'un à-peu-près aussi grossier; il faut examiner de plus près le raisonnement mathématique, et, avant tout, réformer un langage qui est plein de confusion. En quoi je ne ferai guère d'ailleurs que revenir au sens primitif et précis dé mots dont on abuse.

GÉNÉRAL se dit : 1® d'un terme ou d'une notion ; 2<^ d'une proposition ou d'un jugement.

1<* Un genre est un groupe fictif, dans lequel tous les objets, en nombre indéfini, ayant certaines qualités communes, sont ' idéalement rassemblés. Le nombre des individus doit être ' indéfini, car un groupe qu'on peut énumérer, ou simplement Dombrer, forme une collection, non un genre ; il en résulte que le groupe est fictif, car si les objets étaient effectivement rassemblés, ils ne pourraient être en nombre indéfini.

Bien que le nombre des individus d'un genre soit indéfini, on peut néanmoins dire qu'un genre est plus étendu qu'un autre '

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54 CLASSIFICATION DES SOEIfCES

genre, quand le second est contenu dans le premier, c'est-à-dire quand il en a toutes les qualités. Ainsi le nombre des Hommes est indéfini, celui des Nègres Test aussi, car ces deux mots désignent tous les le» Hommes et tous les Nègres qui existent, ont existé, existeront, et même tous- ceux qu'on peut imaginer. Néanmoins le nombre des hommes est nécessairement plus grand que celui des Nègres, car tous les nègres sont hommes, mais tous les Hommes ne sont pas nègres. Quand deux genres sont ainsi contenus l'un dans Tautre, on réserve au plus étendu le nom de genre^ l'autre s'appelle une espèce.

L'opposé de général^ c'est donc spécial ou individuel. On emploie souvent dans le même sens le mot particulier ; c'est un usagé regrettable, car ce mot est nécessaire dans une autre acception.. Je m'abstiendrai d'appliquer les mots universel et particulier à de simples notions, et ne les emploierai que pour désigner des propriétés formelles des propositions.

2^ On dit à peu près indifTéremment d'une proposition qu'elle est générale ou universelle, spéciale ou particulière. Je donnerai une signification différente à chacun de ces deux couples de termes.

Une proposition est unive7*selle quand l'attribut est aCQrmé ou nié de toute l'extension du sujet ; — particulière^ quand il l'est d'une partie de l'extension du sujet. La Qua.ntit£ est une propriété formelle, qui n'appartient ni au sujet, ni à l'attribut, mais au rapport de l'attribut au sujet.

Je propose d'appeler Extension des propositions leur propriété d'être générales, spéciales ou singulières, selon qu'elles expriment une propriété d'un genre, d'une espèce ou d*un individu. L'extension des propositions n^est pas une propriété formelle, car elle dépend de leur matière.

Considérée à part, une proposition peut être générale ou singulière. Deux propositions comparées entre elles peuvent être. Tune générale, l'autre spéciale. Mais on ne peut concevoir de relation entre l'extension des propositions que si, leurs sujets étant contenus Tun dans l'autre, on leur attribue une propriété de même nature. Cet attribut peut d'ailleurs n'être pas tout à fait identique dans les deux propositions : quand le sujet est moins étendu, l'attribut peut, en raison de ses propriétés spéciales, être plus déterminé. Ex. :

Proposition générale : Une ellipse est une figure plane, telle que la distance moyenne de ses points à deux points fixes soit constante.

DE LA DteOHSTBATUm 56

Proposition spéciale : Une circonférenee est une figure plane, telle que la distance de ses points à un point fixe est constante.

Les mathématiciens disent sonyent qne Tune des deux propo* sitions est un c cas particulier > de Tautre, expression suffisamment claire assurément, puisqu'elle ne donne lieu à aucune équivoque ; le mot cas corrige le mot particulier^ et indique clairement qu'il ne s'agit pas d'une propriété purement formelle. II serait préférable, pour l'uniformité du langage scienti* fique, de dire que l'une des propositions est générale, l'autre spéciale, puisque la circonférence est une espèce du genre ellipse. II serait tout à fait incorrect de dire que la proposition relative à la circonférence est particulière.

L'importance de cette distinction apparaîtra si l'on remarque que l'Extension est indépendante de la Quantité. Cette proposition : Par un point donné on peut toujours mener une perpendiculaire à une droite donnée^ est générale, car elle est vraie de tous les cas possibles, et pourtant elle est particulière ^

En revanche, une proposition universelle n'est pas nécessairement générale; même chacun sait que toute proposition singulière est universelle, l'extension du sujet étant indivis flible.*

Ces trois propositions : -

La somme des angles d*un polygone de n côtés est égale à 2 (n — 2) angles droits ;

La somme des angles d'un triangle est égale à 2 angles droits;

La somme des angles du triangle ABC est égale à 2 angles droits;

sont toutes trois universelles. La première est générale, la seconde est spéciale, la troisième est singulière.

Quand on dit que la déduction, et par suite la démonstration mathématique, conclut du général au particulier, veut-on dire que de prémisses universelles on tire des conclusions particulières? — Non certes, les conclusions des démonstrations sont, pour la plupart, des propositions universelles.

Quelque droite passant par un point donné est perpendiculaire à une droite donnée. Sont particulières toutes les propositions exprimant la possibilité d'une construction ou d'une opération, l'existence d'un nombi*e, d'un point, d'une ligne, d'une commune mesure, etc.» qui demeurent indéterminés.

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. Yeut-on dire que la démonstration consiste à passer de propositions générales à des propositions spéciales ou singulières? Tel est bien le caractère essentiel, du syllogisme. Mais nous allons voir que tel n*est pas le caractère de la démonstration mathématique. La généralisation y joue un rôle capital.

D'une part, en effet, .presque toute démonstration, prise séparément, est la généralisation d'un exemple. D'autre part, si on considère Tordre et Tenchaînement des propositions, on verra qu'ordinairement les propriétés spéciales servent à démontrer les propriétés générales, en sorte que le gain et le progrès de la pensée se fait par des généralisations successives. C'est un trait frappant de la science mathématique. Examinons successivement ces deux points de vue.

1** Bien que les démonstrations aient toujours pour but d'établir des propositions générales, elles se font ordinairement sur dés exemples. On a coutume de dire que l'exemple ne sert qu'à fixer l'attention^ qu'il rend possible un langage plus simple et plus court, qu'en géométrie, par exemple, le rôle de la figure est surtout de fournir des désignations commodes ; elle n'est pas rigoureusement indispensable ; on pourrait exprimer les raisonnements sous la forme générale, qui est au fond leur, vraie forme, celle qu'ils ont dans notre esprit. Car en réalité le géomètre raisonne sur le triangle en général, à Foccasion du triangle ABC tracé sur le tableau.

A moins de donner à cette remarque une interprétation tout il fait conceptualiste et d'admettre cette contradiction, que quelque chose de général peut être représenté dans Tesprit, il faut entendre par là que les raisonnements faits sur le triangle ABC pourront être immédiatement transportés à tout autre triangle. C'est bien sur le triangle ABC que l'on raisonne : on le fait, parce que, sans doute, c'est infiniment plus commode, mais aussi parce que c'est parfaitement légitime, la généralisation ne souffrant aucune difficulté. Cette généralisation n'est point, comme dans les sciences de la nature, le résultat d'une induction. La démonstration établit qu'une certaine relation est nécessaire ; dès lors il n'est nullement besoin de démontrer qu'elle est générale.

Dans les sciences expérimentales, nous pouvons aussi très légitimement conclure d'un cas observé à tous les cas identiques ; il est impossible que, l'antécédent étant le méme^ le conséquent soit différent. Si une expérience a été faite avec soin, il est inutile de la répéter. On peut recommencer un calcul

DE LA DÊMOIISTBATION 57 ' ■": \

OU une construction pour s'assurer qu'on ne s'était pas trompé, mais on ne suppose pas que la même construction, la même opération puissent jamais donner des résultats différents. De même on refait une expérience pour s'assurer qu'on avait bien observé, mais non pour vérifier si la nature est d'accord avec elle-même. À chaque instant nous exprimons d'emblée, sur une seule constatation, ce qui se passe dans tous les cas identiques. Mais la généralisation n'est possible que si les cas sont totalement identiques. A la moindre variation des circonstances, il nous faut une comparaison d'expériences, un raisonsonnement expérimental pour nous assurer que cette variation est indifférente. Nous savons qu'une réaction chimique s'accomplira de la même manière dans une éprouvette ou dans un ballon, que la chaleur nécessaire peut être indifféremment iburnie par le charbon, le gaz ou l'alcool. Mais nous n'éliminons ainsi que des circonstances dont la nature nous est assez connue par des expériences antérieures pour les juger indiffé- «' ; j : rentes.

Dans la démonstration mathématique, la généralité est incluse dans la nécessité, prouvée par elle et en même temps ." qu'elle. De là résulte qu'une propriété peut être démontrée d'un seul exemple et transportée à tous les autre cas ; il faut que ces cas soient identiques, mais identiques partiellement et abstraitement, au point de vue et sous le rapport que Ton envisage.

i^ Nous venons de voir que, dans chacune de ses démons-. Irations, le mathématicien procède du singulier au général. >

Nous allons voir que les démonstrations elles-mêmes s'enchaî- . nent dans un Ordre qui va le plus souvent du spécial au général.

Il arrive souvent que deux propositions sont telles que, cha- • < •

cune d'elles étant prise pour principe, l'autre en est une conséquence nécessaire. Si la somme des angles du polygone de n côtés est égale à 2 (n — 2) angles droits, il en résulte que la somme des angles du triangle est égale à 2 angles droits. La première proposition est générale, la seconde est spéciale et peut s'en déduire par un syllogisme. Mais dans un traité de géométrie, c'est la proposition spéciale qui sert à démontrer • la proposition générale, et cette démonstration est une déduction plus complexe dont le syllogisme ne rend pas complètement compte.

L'enchaînement des théorèmes se fait du spécial au général.

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58 CLASSIFIGATION DES SCIENCES

Od ne commence pas la théorie de la multiplication par la considération de facteurs quelconques. On ne voit pas même comment on pourrait d'emblée, je ne dis pas démontrer la règle, mais donner une définition générale de l'opération. On commence par les cas spéciaux les plus accessibles, on en introduit successivement de plus généraux, que Ton réduit, par l'artifice du raisonnement, aux cas spéciaux entièrement résolus. C'est ainsi que l'on considère d'abord deux facteurs entiers,' Tun et l'autre d'un seul chiffre ; puis le multiplicande est un nombre entier quelconque ; enfin les deux facteurs sont des nombres entiers quelconques. Le passage au !calcul des fractions est encore une généralisation; d'abord l'un des facteurs est entier, puis les deux facteurs sont des nombres quelconques. Enfin l'algèbre étend la notion de produit à des quantités quelconques, qui peuvent être positives ou négatives, réelles ou imaginaires, commensurables ou incommensu* râbles.

Et chacun de ces pas en avant est un théorème ; car en étendant la notion de produit à des cas nouveaux, il faut démontrer que l'opération conserve la même signification et la même valeur, c'est-à-dire que les définitions antérieures sont des cas spéciaux contenus dans les nouvelles.

La géométrie dans l'espace est une extension de la géométrie plane. Toutes les propriétés des courbes, des surfaces qu'elles enferment et des solides enfermés par ces surfaces, se démontrent par les propriétés d'une courbe spéciale, le cercle, et les théorèmes relatifs aux lignes courbes comprennent parmi leurs cas spéciaux ceux relatifs au cercle. On pourrait déduire toutes les propriétés du cercle de celles de 1 ellipse, mais pour démontrer celles de l'ellipse, il faut s'appuyer sur celles du cercle.

Cet enchaînement des théorèmes du spécial au général semble avoir été, aux yeux de D^scartes, le trait le plus frappant de la méthode des mathématiques. Par sa deuxième règle, il recommande de diviser les difficultés. Quand on ne peut résoudre un problème, démontrer une proposition sous sa fbrme générale, il faut considérer séparément divers cas spéciaux ou même singuliers. On est bien obligé, quand on cherche, de les prendre au hasard ; mais nous savons que ceux qui conduisent au but sont les plus simples et les plus aisés à connaître. Toute proposition spéciale n'a pas ce caractère. Par exemple, il n'y aurait aucun avantage à considérer

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à part la somme des angles du quadrilatère ou du pentagone. Le cas choisi doit être un cas privilégié.

Le cas privilégié doit réunir deux avantages. Il doit être plus aisé à connaître, et on doit pouvoir y ramener la proposition générale.

1® On doit pouvoir y ramener la proposition générale. Ainsi tout polygone peut être divisé en triangles, mais non en quadrïlatères ou en pentagones. La multiplication par des nombres de plusieurs chiffres se compose de multiplications partielles dont le multiplicateur n*a qu'un seul chiffre ; les opérations sur les fractions se réduisent aux opérations sur les nombres entiers, les opérations algébriques à des opérations numériques et ainsi de suite.

11 s*en faut que toutes les opérations spéciales aient cet avantage. Soit par exemple cette proposition : De toutes Uê turfaeez isopérimêtreSy le cercle est la plus grande. On peut en tirer, par syllogismes, un grand nombre de propositions spéciales qui sont plus simples ou plus aisées à connaître. Ex. : Le cercle est plus grand que tous les polygones de même périmètre. — Le cercle est plus grand que toutes les ellipses de même périmètre, etc. La démonstration la plus courte (qui soit purement géométrique) S'appuie seulement sur ces deux propositions : 1® De tous les triangles de périmètre donné et de base donnée le triangle isocèle est maximum. 2^ De tous les triangles ayant deux côtés donnés le triangle rectangle est maximum. Ces deux cas privilégiés suffisent pour établir le théorème.

2® Le cas privilégié doit être plus aisé à connaître.

Ordinairement, sinon toujours, il est, selon Texpression de Descartes, plus simple. Ainsi la multiplication par un nombre. d*un .seul chiffre est plus simple que la multiplication par un nombre de plusieurs chiffres. La valeur 2 (n — 2) de la somme des angles du polygone se simpliQe dans le cas du triangle, parce que le facteur n — 2, égal à Tunité, disparaît. Le cercle est une ellipse dont Texcentricité est nulle ; il doit à cette circonstance d'être la plus simple de toutes les ellipses, car les deux foyers coïncident, les deux rayons vecteurs se confondent, et la relation constante qui définit l'ellipse, la moyenne des distances -Î^t-H de tous ses points à deux points donnés, devient plus simplement, dans le cas du cercle, la distance r de tous ses points à un point donné. De même le cône droit à base circulaire est le plus simple de tous les cônes ; toutes ses propriétés, et celles des coniques qui en dérivent, peuvent être déterminés

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