H 45 IÎ8.HI
4>" Ja lai ■«.;
Ja 18 8o
ii)
Il n'y a ëTidemmeat pas lieu d'examiner les valeurs déplus de six grades; elles ne sont. en ctTet. que les renversements des précédentes et ne peuvent par suite pi-ésenter d'autres commas que ceux déjà trouvés.
409. Les égalités que l'on obtient en calculant en grades n'étant souvent qu'approximatives, chacune d'elles correspond généralement à un comma. En voici quelques exemples :
K.rcés de I octave tur 6 secondet — (iit/en/M de la gradexj.
Excès {le 6 xecondei j sur i octave (valeurs de ra grades}.
Excès de 4 tierces -: sur i octai-e (valeurs de la grades).
Excès de i octave sur 3 tierces -- (imlcurt de la grades).
Excès de i tierces - et 3 tierces - sur ■>. octaves (valeurs de -i^ gratlcs).
CH4PITIB I. — I^TRHVALLES BT NOMDIIES HIIISICAVX. a^S
Kxcès ( ') rfe 12 ^itinlPt - sur 7 octaves {valeurs de 84 grattes). È'jxès Cf (/e 5 ociatvs sur n quartes :r (valeurs de 60 grades).
- sur y quartes
EXPRESSION DBS COMXAS EH FONCTION DE x' ET x'.
410. Tous les commaa que nous avons reocontrës daas ce qui précède s'expriment très simplement eu fonction des trois commas particuliers désignés par x, x' et af. Et comme x lui-même s'exprime fort simplement en fonction de x' et as' puisque
il s'ensuit que tous les conunas précédemment rencontrés s'expriment facilement eu fonction de x' et x".
Il est intéressant de remarquer que le fait est à peu près général, c'est-à-dire qu'un comma donné quelconque peut toujours s'exprimer par an produit de deux puissances (entières ou fractionnaires et positives ou négatives) de x' et de x', à condition toutefois que le comma donné ne corresponde pas à une fraction par trop complexe, c'est-à-dire ne soit pas formé par un trop grand nombre de facteurs ordinaires 3 et 5.
En effet, un comma quelconque k, étant un nombre musical, est de la forme
/(= 2".3*.5', a, beic étant des exposants entiers convenablement choisis. Mais les facteurs ordinaires 3
(') Il était Tadle de prévoir que ces troU derniers excès doTaiont étro égsax eotro eux; on elTel, an ii iilrn-
13 quintes + 13 quartes = 11 oclavos.
D'autre part, si l'on appelle x" l'eieè* de 11 quiotea iur 7 dcIbïob, on a
11 quintos = 7 octave» -t- se'.
BotranchaDt les Égalités (i) et (3 ), on a
\i quartes = S octaves — x' .
Des égalités (3) et (3) on lire
5 quiatoB = — d'octavc' -i- — x\
7 quartes = — liocliiu X .
Retranchant cas dernières égalitéi, il vient
5 quintes — - ijuiirteB = x' .
Ainsi, lo mâjne comma x' , délîni par (3 ) comiuii i'.&xA l'cxi-JA dj tj i|uiiilUM aur 7 o< l'ulcÈB de 5 octaves sur ii quartes, et,' d'»])iv» ( \ ), loïcés de '1 quintes sur 7 quartes.
37J BBPTIÉUE PARTIE. — INTERVALLES.
et 5 s'expriment racilement en fonclion des commas deux-trois et deus-ciaq, car on a évidemment
3 = (y)-.at',
en sorte que le comma considéré, comme d'ailleurs tout nombre musical quelconque, peut s'écrire
c'est-à-dire peut s'exprimer par un produit de puissances de .r', x' et a.
Montrons maintenant que, si k est un comma et si les exposants ^ et c sont peu élevés, le troisième facteur de la formule précédente disparaît de lul-môme. Diaprés cette formule, l'intervalle k est le total de trois intervalles, savoir :
1° L'intervalle (.«')", qui est très petit, car x' étant un comma diffère peu de l'unité;
donc (j>')'* en diffère encore moins; par suite, (x')"e8t voisin de l'unisson (intervalle nul) puisque, par hypothèse, A doit avoir une valeur peu élevée.
a» L'intervalle (x") * , qui est également très petit pour les mêmes raisons que le précédent.
30 L'intervalle (a**) , qui i-eprésente un nombre de grades inconnu maïs entier,
puisque ce nombre de grades est i2a-\-igb+ 28c, qui est évidemment entier.
En définitive, k est égal à deux très petits intervalles augmentés d'un nombre entier de grades; ce nombre entier est nul, puisque, par hypothèse, k est un comma; par suite, l'exposant de a dans la formule précédente est nul et il reste
Le comma donné k peut donc s'e-^primer eu fonction de x' et x", c.q.f.o.
RFFBT DES nOMAS.
411. Les effets obtenus en négligeant ces divers commas peuvent être très différents : iai)tôt il y a seulement altération légère d'une note, tantôt il y a pour ainsi dire escamotage d'un degré de la gamme.
Considérons, par exemple, les accords ci-après qui, sur un orgue ou sur un piano, ne se distinguent pas les uns des autres :
En la n n- f„
Kn rfo H r,- fa
Etant en do, et faisant entendre si ré/a, si, sur cet accord, on module en la, la tierce d'éclielle si ré (-\ devient tierce de raccordement [^^ 1 . et la tierce de raccordement ré /a subit une transformation inverse; le ré est abaissé d'un comma x. Mais si, de do, nous modulons en fa a, les deuv sons extrêmes de l'accord, qui embrassaient une quinte, ne correspondent plus qu'à une quarte, soit une différence d'un degré.
Ce D'est pas la grandeur du comma négligé qui peut expliquer cet effet, car, dans ce caa, le comma a une valeur ( '— 1 plus faible que celle (x) du comma du cas précédent; cet effet tient, comme on le verra plus loin (n" k30), k ce que le comma — renferme dans sa composition le facteur caractéristique du degré.
412. Si différents que puissent être les effets obtenus en négligeant les commas, ces effets ont néanmoins un caractère commun facile à mettre en évidence sur un exemple :
Partant de la note dot=^i, considérons le mi quatrième harmonique de do^, savoir mit-= 5, et le mi, quatrième quinte au-dessus de t^Og,- savoir HI,— -^; l'intervalle de ces deux notes n'est autre que le comma ;r, puisque
MU ^ Si^ . , 8^ ^ ^ mit ~ i6' " 8o ~
Ces deux mi, dont les sons et les formules ont des valeurs peu éloignées, sont, en réalité, fort différents; tous deux peuvent être Iil< degré.dans une gamme de do; mais mi =5
appartient à notre gamme moderne, tandis que MI = -^ fait partie d'une gamme toute différente, dite gamme de Pythagore, fondée sur une succession de quintes, ainsi qu'il sera expliqué plus loin. En négligeant le comma qui sépare ces deux notes si dissemblablea comme genèse musicale et comme formule, on arrive à les échanger l'une dans l'autre. La remarque que nous venons de présenter au sujet do ces deux mi serait applicable à tout couple de notes différant entre elles d'un comma; on peut donc, d'une façon générale, dé&nir comme il suit ces petits intervalles, ainsi que les effets obtenus en les négligeant.
En musiqub, les commas sont des intervalles extrêmement complexes, séparant deux notes assez voisines, lesquelles peuvent provenir d'une même origine telle de do^ = i , mais par des processus très différents, tels que, dans l'exemple précédent, la tierce de la double octave de do,, et la quadruple quinte du même doc- En négligeant ces petits intervalles, on arrive à mettre en contact des tonalités fort éloignées l'une de l'autre.
A.U POINT DB vuK DES NOMBRES, Ics commas sout des fractious extrêmement complexes, représentant le quotient de deux nombres assez voisins, lesquels peuvent s'obtenir en multipliant l'unité par desgraupes de facteurs premiers fort différents, tels que, dans l'exemple
précédent, le facteur 5 ou la 4' puissance de 7 ■ En négligeant la différence entre ces groupes de facteurs, on arrive à pouvoir considérer comme étant en rapports simples des nombres formés de facteurs premiers absolument différents.
En RËstiHÉ, deux grandeurs de même ordre (soit deux notes de musique, soit deux fractions arithmétiques) présentant un rapport complexe, on peut simpIiSer considérablement ce rapport en altéruit légèrement l'une des deux grandeurs par ta suppression d'un comma (').
ARTICLE III. — Hotei introdntus par la modulation.
413. Nous nous bornerons, dans ce qui suit, à rechercher les valeurs des notes qu'introduisent les modulations les plus simples, savoir les modulations par homotonie, par connexion, par voisinage ou par équiarmure.
Pour éviter toute ambiguïté touchant les formules à attribuer aux notes considérées, nous prendrons toujours le ton de do pour l'un des deux tens entre les(]uels s'effectue la modulation, et ce sont les notes de ce ton (et non celles de l'autre ton) qui seront dési-
{') La eon«idér»(iaD de» qinlernioas nous poniivttra plus loin (n° 426) do prduiaer divantugu lu râle des commus.
gnées par les sept noms :
rfo, ,
ai, fa, sol, ,
ces notes pouvant bien entendu être affectées, s'il y a lieu, d'accidents convenables.
Pour désigner les notes du second ton, vei-s lequel s'effectue la modulation, nous emploierons les sept mêmes noms, mais en les modifiant, le cas échéant, au moyen de? notations suivantes :
X— ^ = comma (ou comma vulgaire ) ;
y=~= anticomma, intervalle égal au [irécédent, mais de sens contraire;
u = 3 = ^ — dièse (ou petit dièse) ;
c = ) = ^ = bémol (ou petit bémol), intervalle égal au précédent, mais de sens contraire ; ,
«^ = tî=-— ^=5 + ^; — grand dièses somme d'un dièse et d'un comma; >
vy = \) = "~î — !? + y = grand bémul = somme d'un bémol et d'un anticomma.
Donc, des notations telles que
représenteront les notes ^, ré et nti'duton de cio, mais haussées respectivement des intervalles musicaux ci-dessus définis
Semblablement, les notations
Il tj ou
représenteront les mêmes notes do, ré, mi baissées respectivement des mêmes intervalles que ci-dessus.
Il est évident que, sur le quadrillage du plan des 3 et des 5, les six accidents que nous considérons sont représentés par les six vecteurs indiqués dans la figure suivante :
MODULATIONS PIB HOMOTOMB.
414. La figure suivante réunit, comme on l'a vu, les dix notes servant à e.xprimer les liuit gammes ternaires fondées sur la tonique tio. JERe montre que, pour passer d'un homotonîque 4 l'autre, il suffit d'appliquer à une ou
CH&PITIB I.
plusieurs des médiantes d'échelle le bémol : j; = des bécarres équivalents.
Fig. a6:
INTBBVALLBB BT NOHBBS HUStCAliX.
OU soD inverse, le d
; 3 — — , ou
■ODULÂTIOnS PAR CONHBXIO:*.
415. Si la tierce commune aux échelles toniques des deux tons conneies est mineure, ces tons sont relatifs, comme ceux de do et de la que représente la figure suivante :
ton de do
fl
or] ri 1
in
^if
la mi si ij
tônde\a t
Si la tierce commune est majeure, les tons sont corrélatifs, comme ceux de rfo et de;m que représente la figure suivante :
<tn
kÛ
ion
Il suffit de jeter les yeux sur les deux figures qui précèdent pour en conclure les règles suivantes :
Deux tons relatifs ont six notes en commun ; quant au IV* degré du ton mineur, il est à un comma plus bas que le II* degré du ton majeur.
Deux tons corrélatifs ont six notes en commun; quant au II* degré du ton mineur, il est à un grand dièse au-dessus du IV* degré du ton majeur.
3;8 SBPTlàHE PARTIS. — INTERVALLES.
JiOBCLATtONS PAR VOtBIN*GB.
416. 11 peut se présenter quatre cas correspondant aux quatre exemples suivants :
Passer de do majeur A bod survoiaio iol migeur:
» do mineur • toi mineur
» do majeur à son souavoisin fa majeur
' do mineur » fa mineur.
Les quatre figures suivantes se rapportent respectivement à ces quatre cas; ctiacune d'elles est suivie de la règle qui découle du seul examen de la figure. I" Passer d'un ton majeur à son survoisin.
' fàn He èol eu.
L'ancienne dominante devient la nouvelle tonique et les degrés conjoints à cette noie sont seuls modifiés : l'ancien IV haussé d'un grand dièse et l'ancien VI haussé d'un comma deviennent respectivement les nouveaux VII et II.
3« Passer d'un ton mineur à son survoisin.
L'ancienne dominante devient la nouvelle tonique et les degrés conjoints à cette note sont seuls modifiés : l'ancien IV haussé d'un comma et l'ancien VI haussé d'un grand dièse deviennent respectivement les nouveaux Vil et 11.
Z" Passer d'un ton majeur à son sousvoisin.
Fig. Î67.
ion de do a
siP
fa do se
1 /■ re
CHIPITRE I. — INTBKVALLBB ET NOMBABB HCSICAUX.
L'ancienoe tooique devient la nouvelle dominante et les degrés conjoints à cette note sont seuls modifiés : l'ancien VII baissé d'un grand bémol et l'ancien II baissé d'un anlicomma deviennent respectivement les nouveaux IV et VI.
4'* Passer d'un ton mineur à son sousvoisin.
Fig. 168.
»lf mi> ' si»
/ tiPy/ fa do sol ; ré
L'ancienne tonique devient la nouvelle dominante et les degrés conjoints à cette note sont seuls modifiés : l'ancien VII baissé d'un anticomma et l'ancien II baissé d'un grand bémol deviennent respectivement les nouveaux IV et VI.
MODULATION PAR ËQIIARXURE.
417. Pour faire court, nous considérerons seulement les cas où le ton d'où l'on pari est PuD des tons normaux du champ ; et comme nous avons déjà étudié la modulation entre tons relatifs, les seuls cas restant à examiner sont ceux qui correspondent aux quatre exemples suivants :
Passer de doa.v. à sola.if,
" la (.V. à sola.i(\
>• la i.v. ù ré i.i/.
Les quatre figures suivantes se rapportent respectivement à ces quatre cas; chacune d'elles est suivie de la règle découlant de l'examen de la figure. I" Passer du ton a.-*, au ton a.^.
Les deux tons ont cinq notes en commun; quant aux degrés VII et II du ton a.ij', ils sont d'un commaplus haut que les degrés IV et Vi du ton a.v.
iBo SBPTlàHB PAUTIB. — IHTERVALLBS.
2' Passer du ton a.v. au ton j'.ij'.
L'échelle qui est dominante du ton a.v. et dominée du ton i.-^. est commune aux deux tons, et les quatre autres degrés sont d'un comma plus haut en i.4'- qu'en a.u ; ou encore ( ' ) : l'échelle sus-désignée est d'un anticomma plus bas en ('.(j*- qu'en a.v, et les quatre autres degrés sont communs aux deux tons.
3" Easaer du ton /.v. au ton a.'|.
L'échelle qui est dominée dans le ton i.v. et dominante dans le ton a.<^. est commune aux deux tons, et les quatre autres degrés sont d'un anticomma plus bas en a.i{'. qu'en i.v; ou encore (') : l'échelle sus-désignée est d'un comma plus haut en a.4'. qu'en i.v, et les quatre autres degrés sont communs aux deux tons.
( ' ) Sslon U Dole qui a servi (■) Selon la oole qai a urvi i
GBAPITBE I. — INTBBVAU.BB ET MOMBUS mrSIG.WX.
'4- Passer du ton i.v. au ton L^.
1*8 deuj tons ont cinq notes en commun; qiiant aux degrés IV et VI du ton i.^-. ils sont d'un anticomma plus bas que les degrés VU et II du ton l'.v.
418. Les Tableaux suivants indiquent les valeurs relatives des notes des quatre tons d'armure néant dans le cas où l'une des deux notes do ou la conserve la même valeur dans chacun des quatre tons considérés.
Tont d'armure néant admettant la noie do = i .
Vftlsara das degrii et des intervillas ooqjaiata.
ré mi fa toi
8 lâôâîëTÏ 4
4 3 5 iS a ao 3 a 3 8 I 9
10 5 4 40 5 Jo a ■
9 16 10 9 10 37 m 8 75 "9 8 "9 âS g"
SEPTIItKB PàKTIE. -
