CHAPITRE III

(lAMMES DE PTOLÉMÉE ET DE PVTHAGORE.

440. Jusqu'ici nous avons admis que la gamme est caracLériaée par les N suivants :

do Tè mi fa sol la li

i ^ i i l ^ Il

Ces nombres ne sont pas aouveaux; ce sont ceux qu'admettait déjà PtoUmée; ce sont aussi ceux qu'ont trouvés les physiciens modernes en employant des instruments de mesure tels que la sirène de Cagniard de la Tour, la roue dentée de Savart, le phonautoscope de Scott, etc. ; ce sont enfin ceux que fournit la geaèse de la gamme par superposition d'échelles.

Hais il existe une autre formule de gamme :

do rc mi fn sol la «

qui fut inventée autrefois par Pythagore et admise presque universellement pendant plusieurs siècles. Cette gamme a encore de nombreux partisans.

441. En réalité, notre gamme et celle de Pythagore ont des sons peu différents. Hais ia première est fondée sur trois échelles conjointes, tandis que la seconde est formée par une succession de sept notes en quintes.

D'après certains savants, les artistes jouant isolément observeraient la gamme de Pythagore, tandis que, dans la musique d'ensemble, ils suivraient la gamme de Ptolémée; la gamme par quintes serait donc, d'après ces auteurs, la gamme de la mélodie, et la gamme par échelles serait celle de l'harmouie.

442. Nous allons, dans le présent Chapitre, étudier rapidement la gamme de Pythagore et la comparer à celle de Ptolémée; nous verrons ensuite pourquoi l'expérimentateur peut ôtre exposé à confondre ces deux gammes; enQn nous indiquerons des procédés par lesquels le lecteur pourra facilement, sans enregistreurs ni instruments d'aucune sorte, discerner s'il suit la gamme par quintes ou la gamme par échelles.

ARTICLE I. — Gamme d« Pythagore.

443. Puisque les notes de la gamme de Pythagore s'échelonnent de quinte en quinte, ii est facile d'établir la formule de la gamme fondée sur cfo = i; il suffit de considérer la série ascendante et descendante des quintes

nw' b si j fa do sol ri' ta

. - (r iïï' (S- ■ ■ iïï (')■ iïï -

CIIAPITRB III- — GAUMBS DK PTOLÉHÉE BT DB PTTHAGOnE. iQJ

et de ramener eosuite les notes ainsi obtenues dans l'octave comprise entre do^=t et do = a, ce qui se fait en multipliant ou en divisant les fractions précédente par des puissances de a convenables :

nti b iH, fa do sol ré la

■ -(r "i}y Kr ■ œ' m m -

Ces calculs conduisent à des résultats compliqués tels que /as= ^^° ^; nous ne les entreprendrons donc pas et nous les remplacerons par un calcul semblable à celui que permettent les unités s.u.x,

444. Avec ces unités, les intervalles de quinte et d'octave, au moyen desquels s'engendre ia gamme de Pythagore, ont pour formule :

Quinte - = s* »' j:'

Octavr -=îiH>.r»

Mais, tandis que la gamme de Ptolémée est engendrée par trois nombres a, 3, 5, celle de Pythagore n'est formée que par les deux facteurs a et 3; il n'est donc pas besoin de trois paramètres pour i'esprimer, deux doivent suffire. Posons en effet

Ceci entraîne la relation de condition ^'= —,; donc, sur les trois paramètres, deux seulement sont indépendants. Choisissons les deux premiers s' et u', et exprimons en fonction d'eux les deux intervalles générateurs de la gamme de Pythagore ; nous aurons :

Quinte î = (î')t(«')»

Octave -= (2')' («')*

A l'aide de ces formules, il est aisé, comme le montrent les Tableaux suivants, de former ia gamme de Pythagore sans rencontrer de grands nombres.

445. Dans le premier de ces Tableaux, la suite des quintes est calculée à partir do do = i , c'est-à-dire do = (a' )•(«')•; ainsi la, troisième quinte au delà de do, a pour formule

On peut donc représenter abréviativement la note la par les deux exposants la et 9 inscrits dans la deuxième colonne. Mais cette note /a = + i a + 9 est en dehors de l'octave fondée sur la note do — o o. Pour ramener ce la dans l'octave dont il s'agit, il faut le baisser d'une octave, c'est-à-dire le composer avec (s' )-'(«')-', intervalle inscrit dans la colonne voisine sous la forme — 7 — 5. Le résultat de la composition est

lequel est inscrit dans la dernière colonne sous la forme 5 4.

La dernière colonne contient donc la formule en unités z'.u' des sept notes naturelles de la gamme de Pythagore, ainsi que de leurs sept diëzes et de leurs sept bémols.

BBPTIBME PARTIE. — INTERVALLES.

Tableau I. — Gamme par quintes.

Octaves Notoa

» ajouter ramenas

Quintes on daDS la

Nain9 idcceaaives. i retntncber. mâma octave.

notes. (=■) (u') (i') («') («') («')

rfo» ,8 — Il -!-3i -i-a5 7 i

*oit> —M —18 -'-aS -i-ao \ t

ré\, — ao — i5 h-2I -i-i5 i o

la'» • — 16 —ta ^ai -h i5 '> 3

nwlf — la - 9 -H 14 -MO ai

fa 4 3 +7+5 3 a

do o o o o 00

sol —4-1-3 II o 4 î

ré -ï- 8 -H 6 — 7 — 5 1 I

la -^-13-4-9 — 7— j i 4

mi -H 16 + iî —14 —10 a a

«■ -i-ao -Hi5 —14 -10 6 5

/«fi +a4 -(-t8 — ai — (5 3 3

rfoC -i-aB -t-ai — a8 — ao o 1

fo/K -i-3a -r-ai —28—20 4 4

réH +36 H-aj — 3J — aS • i 2

laS,.. -(-4o -T-So —35 — a5 5 5

mit, H-44 -4-3Î 4a — 3o a 3

sis, +48 +36 —49 — 5> — I '

On remarquera que la série des notes eogendrables par superpositioD de quintes ne contient pas l'intervaUe d'octave et est illimitée ( ' ).

446. Limitons-nous arbitrairement aux cinq premiers dièses et aux cinq premiers bémols, et reproduisons les cotes du Tableau précédent par ordre de hauteur croissante, en y annexant (arbitrairement aussi) l'octave rfo — (s')'(u')» de la base rfo — 1. Nous obtenons ainsi le Tableau suivant :

(') pour qne cDito i&vw i(A limiMe, c'e*t-à-dira se fermftl sur olle-meme, il fandmlt qu'un certaiD t«rnw de la aârio I - I oioÇdàt d'un noubra exact d'octaves r l'on des termes d^jà formés ( '- ] ; mais alors on aurait

condition iacompatible avec l'hypotbèse g'>p, puisqu'elle exige q = p.

- QAMMBS DE PTOLEHEB E

fa....

fa'....

soif..

la....

lai,. .

Tableau II. — Giumnc de Pj-t/i/igorc.

Pormulei. DilTérances.

447. La gamine ainsi constituée prend un aspect de grande régularité, ainsi qu'il apparaît sur la figure suivante :

Fig. 376.

do ré mi fa &0I la si do

Tous les demi-tons valent s'=-i soit un comma de moins que le plus petit demi-ton

diatonique des gammes ternaires.

Tous les accidents valent u' = ux*, soit deux commas de plus que les accidents le plus fréquemment rencontrés dans les gammes ternaires.

Tous les tons valent s'u'=z ux, soit le plus grand des deux tons calculés antérieurement.

L'octave se décompose ainsi en douze demi-tons 3', plus cinq commas x', interposés entre les notes enharmoniques telles que doi et ré'y.

Le dièse et le bémol étant plus grands que la moitié du ton se recouvrent pour ainsi dire; ainsi ré^ descend plus bas que doi et dot monte plus haut que ré]^; la quantité dont ils se recouvrent est précisément égale au comma x'.

ARTICLE II. — Comparaiion ontre les gammsi de Ptolàmifl et de Pythagore.

448. Comparons maintenant la gamme de Ptolémée à celle de Pythagore, et voyons comment un musicien suivant la première d'entre elles pourra souvent avoir l'air de pratiquer la seconde.

Le schéma ci-dessous représente les gammes de rfç appartenant à ces deux types; il montre que les notes /a, do, sol, ré sont communes aux deu.^^ gammes, mais que les notes

3oo SEPTIEMB pautik. -

la, mi, si, quand elles soQt les trois quintes supérieures de la gamme de Pfthagore, si trouvent k un comma x plus haut que quand elles forment les médianles d'échelle de li gamme de Ptolémée.

Fig. 17;.

Gamme de Pythaqore

lax

a m\ si

Gemme de Ptolémèe

Il suit de là qu'en gamme ptoléméenne, presque tous les intervalles peuvent se présenter sous deux valeurs difîérant d'un comma, tandis qu'en gamme pythagoricienne, chaque intervalle n'a qu'une valeur unique.

De ce que les intervalles de la gamme de Pythagore ont des valeurs immuables, et de ce que les artistes jouant isolément semblent souveot suivre cette gamme, beaucoup de théoriciens ont cru pouvoir conclure que la formule de Pythagore est la véritable formule de notre tonalité. Voyons ce qu'il faut penser de ces deux ordres de considérations.

449. Les partisans de la gamme de Pythagore font remarquer l'uniformité des intervalles auxquels se succèdent les degrés conjoints, mais ils ne font pas voir en quoi cette uniformité peut influer sur nos sensations musicales. En réalité, la valeur de l'intervalle entre degrés conjoints ne doit jouer aucun rôle, et quand, étant dans le ton de do, on entend les notes mi et/a, ce qu'on doit percevoir, ce sont les rapports de mi et de fa à la tonique do, plutôt que le rapport de mi kfa.

D'ailleurs, en gamme pythagoricienne, l'intervalle mifa a la valeur complexe -rr > et il

est probable que, si cet iatervalle était celui que l'on perçoit, il semblerait d'une dureté inadmissible (').

tôO. Il est bien vrai que notre gamme de sept degrés procède par degrés : l'affirmer est une tautologie. Mais ce serait un jeu de mots, et non un raisonnement, d'en conclure que chaque degré procède du précédent.

Si la gamme résultait de ce que la tonique est successivement haussée d'une série de tons- ou de demi-tons ^i si chaque note était engendrée par le degré précédent (ou suivant) haussé (ou baissé) de l'une des deux valeurs de la seconde, nulle note de la gamme de do ne pourrait être plus étroitement apparentée à do que les deux degrés conjoints SI et ré; or ces deux notes sont précisément les seules qui forment dissonauc^ avec(jo(dissonancede8econde, de septième, de neuvième, etc.). Ainsi, avec celte conception de la gamme, on ne pourrait s'expliquer les faits primordiaux de la musique, tels que la dissonance de certains intervalles, l'extrême consonance des échelles, etc. On ne voit donc pas en quoi ce pourrait être une qualité pour la gamme de procéder par degrés coQJoinis uniformément espacés.

451. En outre, avec cet espacement uniforme, la gamme ne devrait avoir qu'une seule

(') Nous avons déjà en à plosioura reprises l'oci fort dur; il a cependant nna rarmulo ineomparableir

n de reconaaîlre qua l'iDlarvalle | nous p«r*il relallvemanl plui ^mple qae celle dn demi-ton pythagorineo -7^.

CIIAPITRB III. — GAMIIES DB PTOLIfHEB BT DB PTTHACOIIB. 30I

valeur pour chacun des intervalles tels que la quinte, la quarte, etc. Ainsi la quinte dite quinte juste vaudrait toujours - et ne s'abaisserait pas parfois à — , comme en gamme ptoléméenne ; or l'expérience prouve que celte fixité des intervalles musicaux n'existe pas dans noire musique {').

452. Mais, dira-t-on, ne serait-il pas possible que nos jouissances musicales fussent fondées sur la régularité des intervalles musicaux plutdt que sur la simplicité des rapports des N?

S'il en était ainsi, ce n'est pas la gamme de Pythagore que nous suivrions, ce serait plutôt la gamine tempérée. Au surplus, les expérimentateurs qui croient reconnaître la gamme de Pylhagore dans la musique de certains artistes jouant isolément, retrouvent au contraire la gamme de Ptolémée chaque fois que les artistes jouent dans un ensemble harmonique; ainsi trois chanteurs mêlant leurs voix pour réaliser un accord parfait majeur suivront la formule ptoléméenne N : ^/5/6 plutàt que la formule pythagoricienne N: 64/8 1/96 ou que la formule lempérée N : i/a*/a'* : preuve que les artistes, au moins dans ce cas, sont plus sensibles k la simplicité des rapports des N qu'à la régularité de l'échelonnement des degrés de la gamme.

453. Mais, dans le cas où l'on joue isolément, est-il vrai que l'on suive la gamme de Pythagore plutdt que celle de Ptolémée?

On trouvera dans l'article suivant des procédés permettant à chacun de reconnaître facilement la gamme à laquelle il se conforme. Bornons-nous pour l'instant à signaler quelques-unes des causes d'illusions qui peuvent conduire à mal interpréter les résultats de l'expérience.

Reportons-nous à la Qgure 377 (n* VA); nous y voyons que la quinte re /a vaut - en gamme pyth^toriciennc et un comma de moins, soit ~ , en gamme ptoléméenne. Dès lors, il semble qu'il serait facile de reconnaître quelle gamme nous suivons : nous ferions jouer un air en do majeur sur un instrument à sons vai'iables, sur un violon par exemple, et, suivant que la quinte ré la serait exécutée avec la valeur - ou ~> la gamme devrait être réputée pythagoricienne ou ptoléméenne.

Mais il n'est pas légitime de raisonner ainsi, et nous allons montrer quelques-uns des motifs d'ordres divers pour lesquels un artiste, concevant la gamme selon la formule ptoléméenne, peut néanmoins être conduit à donner à la quinto ré la la valeur pythagori-

454. D'abord, si le violoniste exécute les notes ré et la par les à vide de la deuxième et de la troisième eoi-de, un phonautoscope (ou tout autre instrument similaire) enregistrera sûrement pour la quinte ré la la valeur - . puisque, avant de jouer, l'artiste a accordé son instrument par quintes -■

Il en sera de même si l'artiste a exécuté des octaves des sons précédents, ou s'il a exécuté ces mêmes sons sur d'autres cordes : non seulement les à vide vibreront encore par résonance et inscriront une quinte - sur l'instrument enregistreur, mais le ré produit sur la corde sol et le la produit sur la corde ré formeront eux-mêmes une quinte -; en effet, par la pratique, l'artiste a dû repérer, pour chaque position, le placement de sa main par rap-

( ' ; Voir ci-ilesius, n° 419, le paeaago reUlit aui eipërionces de M. Zambiani.

30'j SEPTIÈME PAMTIB. — INTERVALLES.

port au manche du violon et le placement de ses doigts sur la touche par rapport à sa main ; en sorte qu'automatiquement il posera ses doigts stir les cordes sol et la aux distances qui correspondent àl'intervalle habituel de quinte; les notes qu'il produira formeront donc entre elles le môme intervalle que les à vide des cordes employées, sol et ré,

c'est-à-dire encore l'intervalle -■'

455. Tenant compte de cette difficulté, renonçons h analyser les sons d'un violon et recommençons l'expérience sur une voix humaine.

Mais si, dans l'air que nous faisons chanter, les notes rê et la se présentent au cours d'une oscillation dans l'un des trois équiarmés du ton de do, par exemple en ré pseudique ou en sol pseudique dans lesquels la quinte ré la est une quinte d'échelle, l'artiste donnera, bien entendu, à cette quinte sa valeur d'échelle, et le phonautoscope enregistrera la valeur -; et, si l'expérimentateur n'a pas remarqué l'oscillation qu'exécute l'air chanté et ne fait pas état des tonalités pseudîques, il devra croire que l'artiste suit la gamme de Pythagore.

456. Pour éluder cette difficulté nouvelle, faisons chanter un air en do dans lequel nous nous serons préalablement assurés que la note ré est bien sommet de l'échelle so/( dominante) et la note ta, médîante de l'échelle fa (dominée).

Sommes-nous certains cette fois qu'un artiste concevant la musique selon la formule

ternaire donnera à la quinte ré la la valeur 7^ et non la valeur - ? Nullement. Si les notes ré

H la ee présentent séparément, chacune dans son échelle, elles seront émises avec des

valeurs formant un intervalle de — ; mais, si elles se présentent consécutivement et dans

des conditions telles que l'intonation du ta ne soit pas facilitée par la proximité du reste de l'échelle dominée, le chanteur, apercevant à réaliser la quinte ré la, ne songera pas

qu'elle peut valoir —; outre que cette valeur de la quinte ne lui est peut-être pas connue, ou qu'il n'a pas le temps d'y songer, elle doit être difficile à réaliser pour elle-même, en raison de sa complexité; il pratiquera donc simplement la quinte - dont la valeur n'est que fort peu inexacte' et a le très grand avantage d'être, après celle de l'octave, la plus facile à retenir de mémoire et à émettre avec justesse.

457. Les divers cas que nous venons d'examiner prouvent qu'un musicien concevant la musique conformément à la tonalité ternaire peut souvent être amené, par des motifs d'ordre pratique, à suivre la gamme de Pythagore, non pas parce qu'il la trouve plus juste que celle de Ptolémée, mais parce que, dans certains cas, elle est d'une réalisation plus facile : il peut l'employer comme moyen, quoiqu'il ne se la propose pas comme but.

468. Remarque. — Les artistes qui emploient fréquemment des instruments à sons variables dans des ensembles comprenant des instruments à sons fixes peuvent être amenés par les nécessités professionnelles à acquérir une certaine habitude de la gamme de Pythagore. Nous avons vu, en elTet, plus haut {Enharmonie, n" 335) combien on peut, en suivant la gamme juste, s'éloigner de la ganuiie tempérée. Les professionnels sont donc continuellement obligés de fausser leur gamme pour se rapprocher de la gamme tempérée. La solution la plus complète consisterait pour eux à apprendre par cœur celle gamme; malbeureusemenl c'est chose irréalisable, car les intervalles tempérés, étant incommensurables, ne correspondent à aucune sensation musicale, et ne peuvent par suite se graver dans la mémoire.

Mais, en cherchant à suivre la gamme tempérée, le professionnel peut arriver tout naturellement à s'accoutumer à la gamme de Pythagore : celle-ci, en effet, «st moins ëloi-

CHAPrTRE III. ~ GAMMES DE PTOLÉMÉB BT DS PTTHAGORB. 3o3

gnée du tempérament que la gamine de Plolémée (');• la différence n'est pas très sensible tant qu'on n'emploie que la gamme proprement dite, mais elle devient très appréciable en cas d'oscillations et de modulations (*).

ARTICLE III. — Heinre des comma*.

459. Les coramas ne sont pas toujours très petits; il en est qu'on peut rendre sensibles à la voix et chanter comme lea autres intervalles (voir Gammes diverses, figure 343 du n" 623). Cependant on peut pratiquer longtemps la musique sans avoir l'occasiou de constater nettement les petites différences existant, soit entre deux notes justes formant comma, soit entre les degrés de la gamme juste et ceux de la gamme tempérée.

Ou trouvera ci-après des exemples de musique destinés principalement à rendre ces petites différences très sensibles, mais permettant aussi au lecteur de reconnaître s'il suit la gamme de Pythagore ou celle de Ptolémée, et de trouver lui-même la valeur approximative des commas (').

Excis d'une tierce majeure tempérée sur une tierce

460. L'exemple suivant {Jîg. 378) est formé de trois l'éprises de deux mesures chacune, écrites respectivement dans les champs quatre dièses, néant et quatre bémols, et tout à fait semblables entre elles. Dans chaque reprise, on module d'un ton mineur à son corrélatif qui est le ton m^eur situé à une tierce majeure plus bas : puis on minorise ce ton en passant à la reprise suivante; les toniques successives s'échelonnent donc par tierces majeures descendantes (rfoc, la, fa et ré'y) ; la dernière d'entre elles n'étant autre chose

Dotti

que l'enharmonique de la première, on voit que l'exemple peut être repris da capo, et permet par snite d'accumuler autant de modulations par tierces majeures descendantes qu'on le désire.

(' ) Voir Gammes dïveites. w 515, les deux dernièros ligiiss du Tableau.

(') Voir lesdiTers exemples de l'irticlo qui suil.

(') Bica que le pins polit interralle perceptible sur un inatrumenl liMnpérd tel qu'un piano sait Fort supérieur aux cniamas, on peut nëanmoinB mesurer les commas 4 l'fùde d'nn Instruraenl tempéré; il suffit pour cela d'accumuler assez de commas égaux entre eux pour que leur Iota) forma un gété (demUtun tcmpiïni) ; le procédd ost donc an*- \agae à la méthode par répétition qu'omploiont les aslronames, lorsque, avec un instrument juste mais sommurement gradué, ils veulent oblenir une précision supérieuro à celle que comporterait normalement la division du limbo.

.)ITII{. — I.STl! H VALLES.

4ftl. Maure du comma. — La tierce majeure juste (7] est légèrement inférieure à la tierce majeure tempérée (4 f ■'• )•

Appelons t le petit écart existant entre les valeurs de ces tierces. Supposons qu'on se donne avec un piano la note initiale do 5 de la figure 278, et qu'on exécute ensuite quelques modulations en chantant seul. A chacune d'elles, on descendra de 4 <?•'■ — Ei tandis que le piano aurait descendu de 4 S-^- \ 'es toniques justes ( du chant) seront donc plus hautes que les toniques tempérées (du piano), et les discordances qu'elles présentent vaudront respectivement 1, 2, 3, ..., n fois l'écarté, selon qu'on aura exécuté i, a, 3, . . ,, n modulations. Il arrivera un moment où l'accumulation de ces petits écarts c finira par former un gété entier, en sorte que la note chantée sonnera alors, non pas comme la note correspondante du piano, mais comme la note située à un gété plus haut. Si l'on observe ce fait par exemple au bout de sept modulations, on a la mesure approximative de l'écart c • celui-ci vaut évidemment ^ de gété ; on a aussi la mesure du comma deux-cinq ou x' : nous avons vu, en effet (n** 409), que ce comma est l'excès d'une octave sur trois tierces majeures; il est donc le triple de l'écart s.

462. Calcul du comma. — Si, au lieu de l'écart s lui-même, nous calculons son triple, c'est-à-dire le comma séparant la première et la dernière note de la figure 378 (n" 460), nous trouverons, comme on vient de le voir, la différence entre une octave et le lotal de trois tierces majeures; or cette difi'érence est, savoir :

ré), ptoltoéen crf [. pythagoricien =

:rfo{t initial -H j;'{'), irfbjl initial — .r' (»),

d'où l'on conclut :

ret ptoléroéâQ — ré]r pythagoricien = jf+ x' = 3 j:.

Cette différence entre les deux r^^est fort sensible, puisque sa valeur 3a; est presque égale à celle de l'accident « = — — 3", 3.

463. On voit que l'exemple de la figure 378 (n° h^) permet de reconnaître aisément la gamme dont on fait usage : suivant qu'on chantera le ré]^ final plus haut ou plus bas que le dot) initial, on aura suivi la gamme de Ptolémée ou celle de Pythagore.

EXCtS D UNE TIBHCI KlNEIj'RE t SUR UNE TIERCE HlNBLflB TBIPERËS.

464. L'exemple suivant est formé de quatre reprises de deux mesures chacune, écrites respectivement dans les champs six dièses, trois dièses, néant et trois bémols, et tout à fait semblables entre elles. Dans chaque reprise, on module d'un ton mineur à son relatif qui est le ton majeur situé à une tierce mineure plus haut; puis on minorise ce ton en passant à la reprise suivante ; les toniques successives s'échelonnent donc par tierces mineures

( ' ) Colle dirtéronoo x' vaut approximatiïonieiil. en c«mmii» vulgaires, l'.g et. on gétés, y^ = - de gdté environ ; In valeur correspnodanto do t dtaoC trois fois moindre est voisine de - de gété.

(') Cette difTâroDce x' vaut approiimalîvenisnt, en commas vulgaires. l'.i el. en gélès, -^ = -r de gelé environ ; la valeur correspondante de • étant trois (ois moindro est voisina de -: de gété.

CUAPITHB tll. — GVKMBB DB IHDLEHEB ET DB PVTIIAGOkB. k>5

ascendaQtes (réa, fat;, la, do, mi\^); la dernière d'entre elles n'étant autre chose que l'eabarmoaique de la première, on voit que l'exemple peut être repris da capo, et

permet par suite d'accumuler autant de modulations par tierces mineures ascendantes qu'on le désire.

465. Mesure da comina. — La tierce mineure juste (-) est légèrement supérieure à la tierce mineure tempérée (3 g. t.). Appelons e le petit écart existant entre les valeurs de ces tierces.

Supposons qu'on se donne avec un piano la note initiale rétf de la figure 379, et qu'on exécute ensuite quelques modulations en chantant seul; à chacune d'elles, on montera de 3ff.t. + £, tandis que le piano n'aurait monté que de 3^./.; les toniques justes (du chant) seront donc plus hautes que les toniques tempérées (du piano), et les discordances qu'elles présentent vaudront respectivement 1, a, 3, ..., n fois l'écart e, selon qu'où aura exécuté I, a, 3, . . ., n modulations.

11 arrivera un moment où l'accumulation de ces petits écarts e finira par former un gété entier, en sorte que la note chantée sonnera alors, non pas comme la note correspondante du piano, mais comme la note située à un gété plus haut.

Si l'on observe ce fait par exemple au bout de six modulations, on a la mesure approximative de l'écart e : celui-ci vaut évidemment r: de gété-, on a aussi la mesure du comma ^^c* : nous avons vu, en effet (n" W)9), que ce comma est l'excès de quatre tierces mineures sur une octave; il est donc le quadruple de l'écart e,

466. Calcul du comma. — Si, au lieu de l'écart t lui-mi}me, nous calculons son quadruple, c'est-à-dire le comma séparant la première et la dernière note de la figure a-9, nous trouverons, comme on vient de le voir, la différence entre quatre tierces mineures et une octave. Or, cette différence est, savoir :

Eu gamme ptolémèenne :

C^'".^)' if ^ ^^

En gamme pythagoricienne :

mi], ploléméea = rét) initial -f- x-*- **('). mil, pythagoricien = rcfi initial — j^ ( '),

( ' ) Celtfi difTërencc 3: ->- x' rant approximalivemi la valeur corroipondanle de t étant qaaire fois moind

(') Cetto différence x' vaul appniximalivonient, 1 valeur corresponJaDle do t dlaol qualro feii moindit

mmas vulgaires, a',9 at, on gités, 7^ — -j do gélë; sJDO do -j de gelé.

9 vulgaires, i',i et, en géW». ^ = -i; <■' g^*^) '« no do ~ de gélu.

SEPTIEME PARTIE. — INTEHVALLES.

d'où l'OD CODClut :

Cette difTèrence entre les deux égale à celle du gété i*,65.

mi't pythagoricien =.r-(-.r'+i'= 4 X.

ii\^ est très sensible, puisque sa valeur 4

^ est presque

467. On voit que l'exemple de la figure 379 (n° 464) permet de reconnaître aisément la gamme dont ou fait usage : suivant qu'on chantera le mi\^ final plus haut ou plue bas que le /-es initial, on aura suivi la gamme de PtoJémée ou celle de Pythagore.

Remarque. — Dans cet exemple, plus encore que dans le précédent, il est utile de s'astreindre à chanter les petites notes, ou tout au moins à les penser, de façon à bien se placer dans les tons indiqués. Si l'on se bornait en effet à penser une suite de notes s'échelonnaat de trois en trois grades (ou gétés), on serait fort exposé à penser ces notes dans une seule et même tonalité; au lieu de superposer quatre modulations de trois grades, on ne ferait que chanter les notes d'un mdme accord de septième diminuée; dès lors il n'y aurait aucun écart entre la note initiale et la note finale puisqu'on n'aurait nullement modulé.

EXCfiS d'une seconde HDEl

! (*) TEMPtnËB SDH imE SECONDk MAJEURE -

468. L'exemple suivant est formé de six reprises de deux mesures chacune, écrites respectivement dans les champs six dièses, quatre dièses, deux dièses, néant, deux bémols et quatre bémols, et tout à fait semblables entre elles. Dans chaque reprise, on module d'un ton mineur normal à son équiarmè majeur pseudique situé 4 une seconde majeure plus bas; puis on minorise ce ton en passant à la reprise suivante. Les toniques successives s'échelonnent donc par secondes majeures descendantes {rés, dott, *', la, sol, fa et mt?); la d&rnière d'entre elles n'étant autre chose que l'enharmonique de la première, on voit

que l'exemple peut être repris da capo, et permet par suited'accumuler autant de modulalions par secondes majeures descendantes qu'on le désire.

(') On appelle ici leconde majeure, conrunnément à l'usage, la aecoDde qui vaul deux griHlo) mais lei diveiwit sccnndes valant i, i et 3 grades; te nom de tocoade majeure devrait donc âtre rdsarvd i, la seconde de trei* grades {voir ci-dessus te quatriimB reovei do n* 435).

yGooc^le

CHAPime III. — UAHHES DB i^OLKMÉE ET DE PVTIUGOHE. 3n7

469. Mesure du comma. — La seconde majeure juste, lorsqu'elle se présente avec la valeur étudiée ici (— J • est légèrement inférieure à la seconde majeure tempérée (a ^.(.).

Appelons e le petit écart existant entre les valeurs de ces deux secondes.

Supposons qu'on se donne avec un piano la note initiale réi de la figure a8o, et qu'on exécute ensuite quelques modulations en chantant seul; à chacune d'elles, on descendra de Ttg.t. — ï, tandis que le piano aurait descendu de a^.(.; les toniques justes (du chanl) seront donc plus hautes que les toniques tempérées (du piano), et les discordances qu'elles présentent vaudi'ont respectivement i, a, 3, . . ., n fuis l'écart c, selon qu'on aura exécute I, 3, 3, . . . , n modulations.

11 arrivera un moment où l'accumulation de ces petits écarts t finira par former un gété entier, en sorte que la note chantée sonnera alors, non pas comme la note correspondante du piano, mais comme la note située à un gété plus haut.

Si l'on observe ce fait par exemple au bout de six modulations, on a la mesure approximative de l'écart s : celui-ci vaut évidemment = de gété ; on a aussi la mesure du comma x^ jr' :

nous avons vu, en effet (n" 409), que ce comma est l'excès d'une octave sur six secondes — ; il est donc le sextuple de l'écart e.

470. Calcul du comma. — Si, au lieu de l'écart £ lui-môme, nous calculons son sextuple, c'est-à-dire le comma séparant la première et la dernière note de la figure 280, nous trouverons, comme nous venons de le voir, la différence entre une octave et six secondes — • Or, cette différence est, savoir :

En gamme ptoléméenne :

En gamme pythagoricienne, où la seconde — n'esiste pas et est remplacée par la seconde |. la différence est :

On a donc :

d'où l'on conclut :

nij ptoléméen = réj, Initial + ni'j pythagoricien = réi, initial -

mi', pythagoricion = Ix-t-x'-t- j^=%j:.

Cette différence entre les deux mif est très sensible, puisque sa valeur €>x excède celle du gété 4*. 65.

471. On voit que l'exemple de la figure aSo (n" 468) permet de reconnaître aisément lii gamme dont on fait usage : suivant qu'on chantera le mi\^ final plus haut ou plus bas que le rèi initial, on aura suivi la gamme de Ptolémée ou celle de Pythagore,

472, Remarque. — Dans l'exemple de la figure 380 (n" 468), on a pris le mode mineur au début de chacune des six reprises; ou aurait pu aussi faire usage du mode majeur.

(') Cetls dilTéronco x'-H ix vaut approxLinalivemeDt, en cmumas vulgaires. 4', g et, eg gitét. ~^ = — de ffiM: la valeur correspoodanle de c ^IadI six fnis moiadrc est voîgiae de — do gëU.

(*) Cetle àXttérvaiM x' vaut approximativoment. ea commas vulgaires. i',i u(. od gétiJ», 7^ = -; do gété; ta voleur correspondante do i étanl six fois moindre csl voiaine de -? de gilà.

3o8 SEPTIÈME PABTli:. — INTERVALLES.

Ainsi, dans la cinquième reprise qui module de xol à/a, il eût été possible de passer de sot majeur à/aq puisque celle note existe dans les tons de sol majeur pseudique ou alternant; mais ]a modulation ainsi définie eût été notablement moins simple qu'en passant par le ton de ^o/ mineur; en effet, sot mineur normal et /a majeur pseudique sont liés par la parenté d'équiarmure ; tandis qu'il n'existe pas de lien analogue |entre sol majeur et fa majeur; en outre, si le ton de sol avait été employé dans le mode majeur, on aurait trouvé réunies les notes solshéfa, et non plus solsiyré/a. Or, l'association des notes sot si ré /a évoque l'accord bien connu que les harmonistes appellent accord de septième de dominante du ton de do, et, si l'on considérait ce groupe de notes, on serait souvent exposé à donner à fa une intonation autre que celle que l'on recherche; en effet, quand solsiréfa est pris dans le ton de sol majeur pseudique, la seconde fasol vaut — 1 tandis que, quand solsiréfa est pris dans le ton de do majeur, la seconde fa sol

vaut|- Il est évident qu'un musicien pratiquant la gamme de Plolémée, mais chantant l'exemple de la ûgure a8o (n" ^8) dans ces conditions défectueuses, pourra aboutir à un comma final identique à celui qu'il aurait obtenu s'il avait suivi la gamme de Pythagore.

REMARQUES SIR LES TROIS EXEMPLES PHËCtDEMS.

47S. La remarque qui termine le numéro précédent montre que, comme nous l'avons déjà fait observer (n° 420), la valeur des notes ne dépend pas seulement de leur nom, mais aussi du processus par lequel on les amène.

Cette remai'que montre aussi que l'expérience à laquelle elle s'applique peut conduire à des conclusions fausses si on ne l'exécute pas dans les conditions en vue desquelles elle a été réglée, ou dans des conditions équivalentes.

On observera en outre que les expériences faites sur les trois exemples donnés plus haut peuvent toutes manquer si elles sont exécutées par un artiste à qui les nécessités professionnelles ont fait acquérir une certaine habitude de la gamme de Pythagore {voir ci-dessus n" 458).

■474. Le lecteur a peut-être remarqué que, dans les trois exemples précédents, une voix suivant exactement la tonalité ternaire doit abandonner le diapason initial et monter plus haut que si elle avait pu observer la gamme tempérée. D'autre pari, le lecteur a peut-être entendu dire par des chanteurs que la voix monte toujours. Ce serait là, pour certains proressionnels du chant, une sorte de principe expérimental échappant à toute démonstration logique, mais résultant de l'observation.

11 est possible que cette règle empirique ait été suggérée aux chanteurs par l'observation de faits musicaux analogues aux airs des figures précédenles. Quoi qu'il en soit, la régie est fausse, puisque, si dans les exemples cités plus haut le diapason s'élève, il s'abaisserait au contraire dans des exemples où les modulations se succéderaient en sens inverse. Enfin, même quand les faits sont conformes à la pseudo-règle, celle-ci est sans objet puisque les faits dont il s'agit s'expliquent très simplement sans invoquer aucune loi empiri(|ue nouvelle, et en se bornant à appliquer rationnellement une fois de plus les principes exposés au cours du présent Essai.