QUINTES
Valeurs mineures l
\ Il = ;'u'j:* [^9,36]
L'intervalle des deux valeurs mineures est x. '-
Valeurs médianes '
I 1 = ï* uijrt 1 3a,64 ]
L'intervalle des deux valeurs médianes est x. Valeur majeure — = î*u'j^' [35,ga]'
Valeur mineure ^ = 3»«'«» [37,84]
l Valeur d'échelle | = î»u»j:" Hi , 12]
Valeurs majeures J
I Valeur de raccordement -^ sj'h'j;' [ja.ia]
L'intervalle des deux valeurs majeures est x.
Valeur mineure ; Renversement du sesquiton, —7- =j'«'j;' [i3,o31
I Renverse ment du grand ton, — =;'u'j;' [46,3a |
Renversement du petit ton, | =3'«'x» [47,3a I
L'itiiervalle des deux valeurs médianes est x.
294 BEPTiiyB PAHTIB. — INTERVALLES.
I Renversement du grand demi -ton, — =z<u'.r> |J9>6o| Renversement du petit demi-ton,-^ = z'u'x* (5o,6o|
L'intervalle des deux valeurs majeures est x.
486. Montrons maintenant comment l'emploi des formules z.u.x peut simplifier les calculs numériques.
Soit un intervalle quelconque
son logarithme est
Les rapports .-^^ et ^^ sont des constantes, c'est-à-dire des nombres indépendants du
système des logarithmes que l'on considère; leurs valeurs approchées (') sont respectivement
5,3 et 3,3
en sorte que
logi = (5,2A-HÎ,aB + C)logî; d'où
Ceci posé, on voit que le logarithme d'un intervalle i = z^u^a;^ peut être considéré, soit comme proportionnel au trinôme
5,aA-i-3,3B4-C,
soit comme formé de trois parties prises dans trois systèmes logarithmiques k bases différentes et proportionnelles respectivement aux exposants
437. Dans beaucoup de calculs, il n'est pas nécessaire de ramener à une base unique les trois portions du logarithme, et l'on peut se contenter de considérer le logarithme comme représenté par un système de trois nombres A, B, C.
Exemple. — Étant donnée une quinte s'u'x*, lui ajouter une tierce majeure s*u*a! et en retrancher une sixte majeure s^u^x*. Le résultat final se calcule ainsi :
latervalleB à ajouter Intervalle à retrancher : Sixte majeure. Résultante
Quinte -^ i -+-3 -^- 1
Tierce majeure -1-2 -h-t -^ i
L'intervalle résultant est sux, soit le grand ton |-
(') Leurs valoara plus ezacUi sont raspoctivement :
CHAPITim II. — INTEBVALLES BN UMTKS Z.H..1:. J^'i
Autre exemple. — Etant donnée une septième diminuée ;'«'ic', en retrancher une quinte diminuée s* «'a; et une tierce de raccordement s'k.
Intervalle addilif -^G ^3 —a
Iniervalles souslractifs • *
Réaultanle <> o -t- i
L'intervalle résultant est un comma .t.
488. Dans les cas où il est nécessaire d'opérer sur des logarithmes pris dans un système k base unique, on peut se dispenser de compulser une table de logarithmes; il suffit de connaître les coefficients 5,2 et 3,3 indiqués plus haut (')•
Exemple. — Calculer le rapport de l'octave au comma a^.
On a vu que l'octave est a ^ j'u'ic' ou a t=ar^>">'+''<'''+'^r .?"'•; d'où il suit que l'octave contient environ 36 commas.
Autre exemple. — Calculer le rapport du conima deux-trois au comma vulgaire x.
On a vu que le comma deui-trois est x' = -^— ; on a donc
d'où il résulte que x' est d'un dixième supérieur à x. Autre exemple. — Calculer combien le gété contient de commas x'.
Puisque l'octave est a^*-', le gété est x " = x*-''.
D'autre part nous avons vu que x' vaut x'»'.
Donc le nombre des commas x' contenus dans le gété est -^ = i| environ.
439. Remarque. — Nous venons de voir qu'un intervalle quelconque
i= jAuBj*
peut titre mis sous la forme
et que le tiinome
est proportionnel au logarithme de l'intervalle.
Il est évident que, s'il s'agit de logarithmes pris dans le système à base x, le trinôme n'est autre que le logarithme lui-même. Ainsi, il est équivalent de dire qu'un gété vaut 4) commas ou que le logarithme du gété, dans le système à hase x, est égal à f\\.
Les nombres donnés entre crochets, tant dans le Tableau du n°43Ji que dans les calculs du n" 435, indiquent quelles sont les valeurs des intervalles, lorsque le comma x est pris pour unité ("); ces nombres entre crochets peuvent donc être considérés comme les logarithmes des intervalles dans le système à base x.
(' ) Il ost tacila d'obtenir, qaaud cela cet nécosaaii'e, uno précision aupéripuiv h celle dont od s'ost cootenté pour Ui trois eiempldï suivanti; Il sntSl pour cela de remplacer les constantes 5,^ ni 3,3 par leurs valeurs plus approcbéea indiqndei ci-dessus (voir lo renvoi du n- 43<i).
('} La Talour de l'octave 55',8o présente un excès de doux millièmes de coinina environ; la valeur du gété 4',t)J êlaot exactement le douïièmo do S5,Bo est aussi indiqués par excès. Los vulours de u = 3,19 et de t = 5, 30 pré' ■entent aussi des excès intérieurs respect! vcmont à quairo et cinq milliènios do comma. On a donc indiqué pour les tons *u et 3UX, non pas les totaux S,4<) et 9,4g, mais bien les valeurs nicliliùes 8,^8 ot 9,4^, lesquollo» se trouvant ainsi affectées d'une erreur par défaut légèrement supérieure à un millième de comma.
- INTKRVALLGS.
