CHAPITRE IV. — U.IUHBS TÉTRAUÙNBS. SX

rons comme base le rectangle précédent; comme hauteur, nous nous bornerons à preadte deux facteurs 7, non seulement parce que la compleiité des notes engendrées augmenterait avec le nombre de facteurs 7 adopté, mais aussi parce qu'en employant un plus grand nombre de facteurs 7, on ne ferait, comme od le verra, que produire des notes gétophones des premières; ces notes supplémentaires, étant à la fois de môme hauteur ( sensiblement) et de formules plus complexes que d'autres notes déjà engendrées, seraient le- plus souvent inutiles, car l'oreille interpréterait généralement tes sons entendus comme correspondant aux gétophones les plus simples.

Eu définitive, les notes que nous considérerons seront figurées par un réseau tiirectangle formé par quatre plans normaux à l'axe des 3, quatre plans normaux à l'axe des 5, et trois plans normaux à l'axe des 7.

De ce que l'on a vu plus haut (Rattachements) on peut conclure qu'un tel ensemble de notes rattachera à celle qui est située dans le second des plans de chaque série parallèle; nous affeclerons donc à cette note la valeur 1 et le nom de do, et l'ensemble des notes que nous considérons formera une gamme de do représentée par la figure Z\k-

625. Il est évident que ces quarante-huit notes se répartissent en trois seizains trigènes situés respectivement dans tes trois plans normaux à l'axe des 7; distinguant ces plans les ua des autres d'après la puissance de 7 qu'ils représentent, nous les dénommerons respectivement 7-', 7* et 7'.

Puisque nous avons donné le nom de do à la note qui, dans le plan médian 7", est représentée par l'unité, toutra les autres notes de ce seizain sont, de ce fait, déterminées et ont pour noms ceux qu'indique la figure 336 (n* 613).

Quant aux nombres des deux autres seizains, il est facile de se rendre compte des notes qu'ils représentent.

Considérons la note située à un facteur 7 au-dessus de tJo = 1 ; si on la ramène dans l'octave de ce do, sa formule devient -, , comprise entre la— ~&i si ^ -^; l'intervalle avec ta est

légèrement supérieur au dièse 77; la différence entre ces deux intervalles — et — n'est en efTet que de

c'est donc un comma.

Afin de faciliter l'exposition, nous adopterons pour ces intervalles les noms et les notations qui suivent :

L'intervalle — sera représenté par a ôl dénommé dièse léiragène {ou carré). L'intervalle inverse — sera représenté par pet dénommé bémol tétragène {ou triangle) {'). Le comma -^ sera représenté par ar*, et dénommé comma tétragène. L'iutei-valle inverso -^ sera représenté par y' et dénommé anticomma tétragène.

Ceci posé, il est facile de voir, en se reportant k la figure m (n° 62'»), que la note située immédiatement au-dessus de do doit être dénommée lau et que l'intervalle D ou — est représenté par le vecteur (Qèche dirigée vers le haut) joignant les notes la et laui les notes du seizain situé dans le plan 7' s'obtiendront donc en affectant d'un dièse tétragène

(') Pour se rappeler la aignificatinn do ces signes, il suflil Jo romarqucr l'unalogie de fonne exislaiil entre aucidentB de mémo rdlo. ceux qui élèvont : », Q, [], cl ccnx qui abalswnt : t>. Q. ?■

S88 BUlTlàHB PARTIE- — CAIIHB8 DIVERSES.

toutes les notes d'un seizain situé dans le plan 7*, et ayant pour tonique, non pas do, maïs la, tierce mineure descendante de do\ et comme le vecteur représentant D = — devient ?= 22 si on le prend en sensincerse, on voitsemblablement que la note - (ou-j située au-dessous de do, peut s'obtenir en affectant d'uu bémol tétragéne ta note mi)^ ( ^ ou 7 ) > Fig. 34s.

tierce mineure ascendante de do. En déûnitive, si, dans le plan 7°, on forme trois seltains fondés respectivement sur la note do et sur ses deux tierces mineures la et mi'i» (voir

CRAPITBB IV. — i;

9 TETBAGENBS.

fig. 345)1 16 premier de ces seizaina sera précisément le seizain médian de la figure 344 (n° 621^); quant aux deux autres, qu'il est facile de former en composant les notes du premier avec les intervalles ce, s, 0 ou y, \f, p, il suffira de les affecter respectivement des accidents télragènes q et p pour qu'ils représentent les seizains des plans 7* et 7-' de la figure 344 (n" 6â4). Les noms des quarante-huit notes considérées sont donc ceux qu'indique la âgure 346 ci-dessus.

636. Il va de soi que beaucoup de ces quarante-huit notes doivent se confondre les unes avec les autres, car, même si elles étaient également espacées (et il n'en est rien), leur

intervalle serait de -^ d'octave, c'est-à-dire à peu près d'un comma x\^ d'octave).

Pour se rendre compte de leurs positions respectives, il suffit de les représenter, comme on l'a déjà fait pour les notes du douzain et du seizain trigènes {fig. 333 du n" 611 et fig. 337 du n" 613), au moyen d'une graduation rectiligne dont les traits sont disposés les uns à côté des autres, ainsi que les touches d'un clavier. Toutefois, en raison de la petitesse de plusieurs des intervalles à représenter, nous emploierons ici une échelle moitié plus grande (iiï^^iS par octave) que celle des figures 333 et 337 précitées; à cette nouvelle échelle, le seizain du plan 7* est représenté par :

A la mémo échelle, les tierces mineures diminuées lawdo et domi^^ sont représentées par des points ainsi disposés :

Fig. 348.

 partir de chacune de ces trois bases, appliquons la graduation représentative du seizain trigène (fig. 347), et marquons les points de cette graduation qui sont compris

iMji;!!! I

ririO mtD mi^F^Df^xDftttEID^OablNa 1a|D liHDail?D sjio

;lil iil lili iii

-ftHr

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rén Inibl mi

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60li BOlRlàb ta

taOlsii'

si

3 ! ÏS i 5

jlWtl'rjr nW mlP»P bxPmeMiMr

;T1E. — OAHMES DIVBBSBB.

entre la note do et son octave; nous obtenons ainsi la Qgure S^g ('), qui représente à l'échelle adoptée tous les intervalles des notes de la Qgure 346.

EXPRESSION DB8 NOTES KH UNITES Z.U.X.x'.

827. De même que les notes trigënes peuvent s'exprimer en unités a.u.a;, les notes tétragènes peuvent être représentées par des formules monômes composées de puissances des quatre paramétres s, u, x et x'. Pour trouver ces formules, il suffirait de répéter algébriquement les opérations qui viennent d'être exécutées graphiquement.

Dans le seizain trigëne, les seize intervalles conjoints, exprimés en unités z.ii..r, sont évidemment :

Fig. 35o.

do ré mi % sol la si do

! ! I ! ! M II!! il

ic u i^i, tue t u. \X^, u. i K l ujc i X :, u. i^ u 'i, ux i^i r D'autre part, les trois bases des seizains dont l'ensemble forme la série de quarante-huit

Fig. 35..

do mit>p laO

1 ^^ x't^xfx" x^afjc^

sons considérée ont pour formules

Partant de ces bases, et appliquant successivement les intervalles conjoints du seizain, OD formerait sans difficulté les formules des sons considérés.

Il va de soi que ces quarante-huit notes ne seraient que les diverses formes de sept degrés distincts, car, ainsi qu'on l'a fait observer plus haut {voir n' 520), l'intervalle d'octave ayant pour formule - — a' u*x* est du septième degré en z,