CHAPITRE 1. — TIlKOUrS UU TEMPÉBAMKNT. itnj

n'est évidemment pas la seule possible, et toute subdivision de l'oclave en n parties égales peut fournir une solution nouvelle, bonne ou mauvaise, selon la valeur donnée i n.

Nous distinguerons ces solutions les unes des autres en les désignant par la valeur tien qui les caractérise; par exemple, nous appellerons tempérament la, ou tempérament a/|, les tempéraments qu'on obtient en divisaut l'octave en 11 ou en 34 parties égales.

On remarquera que la valeur de n devra toujours être comprise entre la et 53 ; elle devra être au moins égale h 13, puisque la gamme chromatique a la sons; d'autre part, elle ne devra pas excéder 53, car nous allons voir que, pour n — 53, on a un tempérament fournissant une précision telle qu'il serait inutile de la dépasser.

904. Considérons, dans le Tableau I (n' 900), les colonnes (A) et (i) qui représentent les intervalles de la gamme juste et ceux de la gamme tempérée en douze gétés (tempérament 13). On voit que les intervalles Justes sont pour ainsi dire distribués par groupes correspondant respectivement aux intervalles tempérés.

Ainsi, à l'inlervalle de i<'' correspondent les quatre intervalles justes^) -^-^ 1 ■1-t et %; à l'intervalle de a»'- correspondent les trois intervalles justes — . | et 2iî, . . . etc., etc.

On remarque aussi que, dans un même groupe, les valeurs justes sont à peu près équidistantus entre elles; ainsi, entre les deux premiers et encre les deux derniers des quatre intervalles correspondant à i"'-, la différence n'esl autre que le comma ^; et, entre le second et le troisième de ces intervalles, la différence est a^ — j:, dont la valeur est sensiblement égale encore à x.

Cet échelonnement à peu près constant, auquel se succèdent les valeurs justes d'un même groupe, est une sorte de moyenne entre les valeurs de plusieurs des commas existant dans la gamme. Pour cette cause, on le désignera dans ce qui suit sous le nom de comma tempéré, ou, abréviativement, c.(. oucefe ('). Sa valeur exacte sera définie ci-après.

Nous voyons que, dans la plupart des groupes de valeurs justes, on observe le même échelonnement de l'-'s toutefois, pour les groupes correspondant aux valeurs de 4^'- et de 8b-'-, l'échelonnement est de a'-'-.

On peut donc dire que, dans la gamme juste, lous les groupes de valeurs voisines embrassent à très peu près un nombre exact de cètés.

Il en est de inême pour les lacunes qui séparent ces groupes; ainsi, entre l'unisson et le groupe des valeurs de i«'-, la lacune est de 3''-. Entre ce groupe et celui des valeurs de 3ï'-, la lacune est de a'-'-; les lacunes sulvante.-t valent respectivement a"-'-, 3*'-, 3°-'-, a-^-'-, .... etc. La figure ci-dessous récapirule les largeurs en celés des divers groupes d'intervalles et des lacunes qui les séparent.

Fig. 4ï7.

Octave: vs/wu-fcffl/e ct0l2ffétéa oaSScétés

Ainsi, l'octave contient cinquante-trois de ces commas tempérés ou cétés : nous déQni- Fons donc le cété comme étant )a cinquante-troisième partie de l'octave. Il suit de là que

(') La cunccplion du o.l. ou aiiô, ou comma tampéns, est asseï semblable à ccllo du g. t., eu gélë, du gracie tempdrni ù l'annlogje des deux conceptions correspond celle des deux dénomination a.

Celles-ci sont fundëes sur dos noina de loUres de l'alphabet, ce qui n'a rien de contraire au\ usages des musicious : ainsi, le mot gamme vient. de r (lettre grecque); les mots bémol et bécarre viennent do B ( lutlre latine), etc.

>IO DIXIKHR PAKTIE. — TEHPKRAMENT.

le tempérament 53 doit donner une grande précision ( ') ; on peut s'en assurer en comparant entre elles les colonnes (/) et (f) du Tableau Ici-dessus (n" 900). Dans la colonne (/), les intoiTalles sont exprimés en cëtés ; les oombres de cette colonne sont obtenus en diminuant proportionnellement ceux de la colonne (d), de telle sorte que la mesure de l'octave passe de 55',8o à 53'-'-, oo. Dans la colonne {g), les intervalles sont également exprimés en cétés, mais ici leurs expressions sont les valeurs approximatives qu'on obtient en considérant la colomie (A), et en évaluant à t'estime les espacements existant entre lignes successives : on voit que les nombi-es des colonnes (/) et (g*) sont presque identiques, et qu'avec le tempérament 53, un quelconque des cinquante-ti'ois sons de l'octave peut être pris pour tonique, sans que les trente-six intervalles de la gamme chromatique cessent d'être représentés avec une grande justesse (').

ARTICLE II. ~ Antres «olalionB.

905. Nous venons de trouver pour ainsi dire les deux solutions limites du problème du tempérament : le tempérament la, dont la simplicité ne saurait être dépassée, mais dont la précision laisse à désii'er, et le tempérament 53, qui manque de simplicité, mais dont la précision est telle qu'il serait sans intéri^t d'en obtenir une plus grande.

Cherchons s'il existe, entre ces deux cas extrêmes, une solution intermédiaire, conciliant dans la mesure du possible les deux conditions contradictoires de précision et de simplicité, et, à cet effet, abordons le problème du tempérament dans toute sa généralité.

906. Rangés par ordre de simplicité décroissante, les divers intervalles qu'il s'agit d'exprimer sont :

Plus ces intervalles sont simples, plus notre esprit a de facilité pour les concevoir avec précision et plus notre oreille exige, par suite, qu'ils soient réalisés avec justesse.

La précision de l'unisson étant toujours réalisée dans un même instrument, le premier intervalle qu'on doive chercher à rendre rigoureusement est l'octave. Pour que tous les intervalles musicaux pussent être rendus par un nombre limité de sons, il faudrait (n* 901) qu'ils admissent une commune mesure, c'est-à-dire qu'un certain petit intervalle unitaire pût être considéré comme partie aliquote de chacun des intervalles h exprimer. Mais, ceux-ci étant incommensurables entre eux, aucun intervalle, petit ou grand, ne sera simultanément partie aliquoie de deux des intervalles k représenter; donc, si l'on veut que l'expression de l'octave soit exacte, il faut prendre une de ses parties aliquotes pour intervalle unitaire, et c'est pourquoi tous les tempéraments doivent s'exécuter en divisant l'octave, et non tout autre intervalle, en un certain nombre n de parties égales.

907. Nous avons vu que a doit être compris entre tt et 53; cherchons maintenant k apprécier la plus ou moins grande convenance des solutions intermédiaires.

.\ cet effet, considérons (voir^f. 438).une graduation logarithmique d'échelle quelconque (*) s'étendant de i à 53, et construisons, à la môme échelle, une cherche repré-

( ' ) Comparant enirs «ux los raisojiriement» qui nous ont i^onduits à concevoir succesaivement Ici tempéraments 1 1 et b3, nous voyons que ce dernier est mibsi propre à exprimer les vnleurs des comroas que le premier à CKprïaier celles des secondes, c'est-à-dire des o tons i> et des a demi-tons n.

(') On verra plus loin (n' 959) que l'erreur ne dépasse jamais 7^ de ton lempén^, et s'abaisse mBme à fia d» ton pour les intervalles (qutnle el quarte) exigeant le plus de justesse.

(') I.a figure suivante est à l'^chelte do 3" pour le logarilhoie de 2 (octave). Cette éclielle très réduite suffit ici pour une ligure d'exposilian ; mais, si le lecteur voulait établir lui-même an dessin d'i^tude composé de deux parties susceptibles de glisser elTec II veinent l'une sur l'autre, il aurait sans doute avantage à adopter une échelle moins réduite, par exemple celle des règles à calculs.

GHAPITIIE I. -

l TRMPKIUIIF.NT.

sentant des valeurs proportionnelles aux intervalles dont l'exactitude importe le plus. Ces intervalles sont d'abord (outre l'octave et l'unisson dont la justesse est absolue) ceux de

Graduation logarithmique

, I , , , , I , , ,,T,,,,I,,,,Im„I„„i„„I„„i„„L

quinte et de quarte; viennent ensuite les tierces et les sixtes majeures et mineures; mais, comme tous ces intervalles sont deux à deux renversements les uns des autres et doivent (puisque l'octave est juste) être affectés d'erreurs égales et contraires, il suffit, en définitive, de faire figurer sur la cherche les intervalles suivants :

Quarte.

Tierce majpu

Les grandeurs de ces intervalles sont, comme on l'a vu plus haut (Tableau I, a" 9(KI), proportionnelles à

Marquons donc, sur le bord de la cherche, quatre traits

ayant mêmes ëcartements que les nombres correspondants de la graduation logarithmique; marquons en outre, de part et d'autre de chacun des traits g, T, t, deux points indiquant où seraient ces traits si leurs positions étaient erronées d'un comma x en plus ou moins (').

Ceci posé, il est évident que, pour apprécier la plus ou moins grande convenance de chacune des solutions que comporte le problème du tempérament, il suffit de faire glisser la cherche sur la graduation logarithmique de telle sorte que son trait O coïncide successivement avec les traits 53, 5a. 5i, .... i4, i3 et la, et d'observer, pour chacune de ces quarante-deux positions, si les ti-uits ?,? et f de la cherche correspondent sensiblement à des nombres entiers de la graduation logarithmique.

On voit ainsi que, quand le trait O de la cherche est mis en regard du nombre 53, les traits q, T, t correspondent presque rigoureusement à d'autres nombres entiers; au contraire, quand le trait O delà cherche est placé sur le nombre la, le trait q seul correspond à peu près à un nombre entier, 5; mais les traits T et 2 correspondent assez mal aux nombres entiers 4 et 3, et il suffit de consulter la position des points gui encadrent les traits T et ^ pour constater l'importance du défaut de correspondance (environ | de comma). Entre ces deux positions extrêmes de la cherche, on ne trouve guère que des solutions moins bonnes ; toutefois, quand on met le trait O de la cherche en coïncidence avec le nombre 3i ou avec le nombre 34 de la graduation logarithmique, on constate pour les

( ' ) Ainsi, le trail O ajrant Hi marriuë en regani da nombre 55, S de la Kradualioa logsnlhmlque, le Irait 9 a ëlé marqua ea regard de i'i,i. et les deui points BccoinpB|;iianl lo trail q onl ëtd placds à 1 comm* en defà et à 1 cemma nu delà, o'est-a-dire en NigarA de la.a et de i\,i reupectivemcnt.

512 DIXIÈHE P*»TIB. — TEMPBBAIIBNT.

/' 1 J 12 13 li 15 IS 17 18 13 BO tl 2Z 23 U 3ô 26 27 28 29 30 3

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