CHAPITRE II

INTERVALLES EN UNITÉS z.u.j:.

ARTICLE I. — Définition des unités :.u..c.

421. Nous savons que tout intervalle musical a pour formule une expression monôme en fonction des facteurs 2, 3 et 5, et que la simplicité de la formule varie dans le même sens que la consonance de l'intervalle. Il suit de là que, pour Texpression des intervalles très consonants comme l'octave, la quinte, etc., les nombres 2, 3 et ■< sont les meilleurs paramètres à choisir pour obtenir des formules simples.

Mais les théoriciens qui se livrent à des calculs de fractions ou de logarithmes sur les nombres musicaux prennent en considération des intervalles de toute nature, et, dès que ces intervalles deviennent dissonants, leurs expressions en fonction des facteurs 2, 3 et ■> se présentent sous des formes de plus en plus complexes.

Pour éviter cet inconvénient, on pourrait rechercher trois nouveaux paramètres, plus petits que les premiers, et tels qu'ils fussent, pour ainsi dire, les plus petits éléments en

lesquels se décomposent les intervalles musicaux. Dès lors, il semble que toute fraction ^

représentant un intervalle musical se simplifierait si l'on y exprimait 2, 3 et 5 en fonction des nouveaux paramètres, puisque tout intervalle élémentaire commun à N et N' disparaîtrait de lui-même comme figurant aux deux termes de la fraction.

Cherchons donc quels sont les trois intervalles élémentaires les plus avantageux à choisir pour paramètres.

422. Gomme tout intervalle musical peut être reconstitué en superposant un certain nombre de secondes, reportons-nous aux Tableaux du n° 400, et voyons en quels éléments les diverses secondes peuvent être décomposées.

La seconde peut affecter cinq valeurs différentes dont la plus petite est ( ^ ) ; désignons

cette fraction par z, de même que nous avons désigné ci-dessus par (/ et j: les fractions ( — ' )

et ( o- ) • Nous pourrons alors représenter les cinq valeurs de la seconde par les cinq formules suivantes :

Tableau t/es tliffercnlcs: secondes [ ' ;. Noms. Valeurs. Formules, Demi-Ion mineur ^^ 3

Demi-ton majeur

Ton mineur

ion mineur - = ^ x — x — ....

■* .Si) t^ So

Sesquiton f— = — x(— 1 x-^

( ' ) On a employi! dans co Tableau des oxprossions telles que ton mineur et ton majeur, parce qu'elles sont aetuol- Icmcnt on usage. Mais on verra plus loin (4* renvoi du n" 435) quo ces dénominations no sont pas sans inconvénients.

CIIAl-nitK 11. — INTERVALLES EN IIXITKS Z.ll.r. vSj

423. Ces trois unités z, u, .r, en fonction desciuelles nous venons de formuler les diverses sei'ondes, suffisent aussi à l'e.vpression de toutes les notes et de tous les intervalles des gammes ternaires ('), non seulement lorsqu'on ne change pas de gamme, mais même lorsqu'on module, soit par l'un des quatre procédés étudiés plus haut (n°* 4-13 et suiv.). soit par tout autre. Pour s'en assurer, il suffit de vérifier si un nombre musical susceptible d'être représenté par une formule telle que

(où rt, b, c sont entiers, positifs ou négatifs) peut aussi être exprimé par un monôme tel que

L'identification de ces deux formules supposerait

c'est-à-dire

.^iA-3ii-;(; j-a-b+k; - -A+211 -c .^a . j/i . jc^

soit en définitive

I 4 A — 3 B — 4 C = rt,

Or, il suffit de considérer le déterminant de ces équations pour voir (juil n'est pas nul, en sorte que l'identiflcatiou doit toujours fournir pour A, B et G des valeurs finies et déterminées; ces valeurs sont en effet :

i A = 7 « -4- 1 1 /; + 1 C) c, ' a = 5a — 8/> + !■-'. c, ( C = i«-(- -Jb-h -c,

d'où il suit (jue (^)

l+Sh+-lîc j-3«-h5A-+-7

( ' ) Culte proposition, ([ui va ètie démonli-éo algébiiquomeiit, peut également être prouvée par un raisonnoiiicnt géoiuétriquc ; un raisoniieiiiiMit musical permet aussi de pressentir son exactitude.

ftaisonnemenl géométri(/ue. — Dans le roseau do la figure S"! (n° 46), les divers nombres musicaux peuvent l'iro considérés coinine représentés par dos vecteurs fonctions de trois unités-vecteurs non coplanairos, lesquelles correspondent respectivement aux nombres premiers 2, 3 et 5. Pour exprimer ces mêmes nombres musicaux en fonctions de trois nouvelles unités-vcctours z, u, x, il convient d'exécuter un changement d'axes coordonnés, lequel est toujours pos- ^il)le si les nouvelles imités clioisies ne sont pas coplanaires ; or il suffit do représenter approximativement, sur la ligure précitée, les trois vecteurs z, K, X, pour reconnaître qu'ils ne sont certainement pas dans un même ])lan.

Jiaisonnement musical. — Tontes les secondes pouvant èti-e exprimées en fonction do z, u, x, il en est de nn'-nie de toutes les notes et de tous les intervalles d'une gamme quelconque, puisque leurs valeurs peuvent s nlilenir p;ir uni' superposition de secondes; il en est encore de mémo pour toutes les notes auxquelles on peut accéder en modniani par homotonie, connexion, voisinage ou équiarmure : nous avons vu en effet que les notes introduites par ces (pialre ispèces de modulations peuvent s'exprimer au moyen des intervalles, x. s. tt t^' '<""'■'* inver.ses, lesquels sont eux-mêmes di's fonctions des unités ;. h, x.

(-) Si dans cette formul i donne successivement la valeur i à iliaïun des paramètres a, b, c et la valeur 0 aux

deux autres, on en conclut ;

On reconnaît sur ces l'ornmles ei's faits bien connus des musiciens, savoir i[ue l'octave ( - - octave), la douziémi'

(- = douzième on quinte octaviéej, et la dix-septième /- — dix-septième ou tierce majeure doublement oetaviée),

mntionnent respectivement 7, 11 et i(i degrés (soit un de moins quo le nombre évoipié par leur nom) puisipi'ils sont respectivement de degré 7. 11 et iG en z. Voir, ou effet, ci-après (n" •i"27) le caractère du degré.

Eu définitive, un nombre musical (juelconciue peut toujours être exprimé d'une certaine manière et d'une seule par des formules telles que

ou (jue

dans lesquelles o, b, c et A, B. G sont des entiers positifs ou m-gatifs.

424. De ce que nous avons vu plus haut ( i'" Pai lie, Consnnnance ), il résulte iju'une note (luidconque définie par la formule

ou

logN = rtIo2;) - i log'î -H (• log5

peut être représentée par trois coordonnées a, b, c, ou par un vecteur unique exprimé au moyen de trois unités-vecteurs loga, log3, log5.

De ce que nous venons de voir, il résulte i[u'une note quelconque pourra aussi être définie par une formule

OU

logN = .\ loge + B logH + C log.r,

et représentée par trois cordonnées A, B, C, ou par un vecteur uuiijue exprimé au moyen de trois unités-vecteurs log;, log«, log.r (')•

425. Le lecteur qui connaît à la fois la musique et la géométrie vectorielle trouvera l'requenunent intérêt à se représenter géométriquement les faits étudiés dans le présent Kssai: interprétés ainsi (-), ces faits se conçoivent souvent plus simplement; leurs lois apparaissent parfois d'une façon intuitive. Et, par contre, quand on part de faits musicaux connus, l'interprétation géométrique de ces faits conduit à des propositions applicables à la théorie des nombres.

Il n'y a évidemment pas lieu d'insister ici sur ce genre de considérations ; toutefois nous allons, à litre d'exemple, les utiliser pour montrer le rôle des commas en musique, et pour faire voir ce qui caractérise le degré tel qu'on le conçoit habituellement.

( ' ) Les uombres, en musique, peuvent donc être ainsi repiésentés ar des coordonnées ou des composantes, de même qu'en géométrie imaginaire une expression de la forme .\ + lî y/ — i suffit à dt-iinir le point du plan dont les coordonnées sont A et B, et de même aussi qu'en j^éométrie vectorielle, notamment dans la Théorie des quaternions de

llamilton (Traduction de Tait, Crautlii.M-Villars, iSSa). !,■ vei-leui-

p = Xi -r- By + C A-

f où i, j. /. sont les unités-vecteurs non coplanaires, ot \, B, C des coefficients ou scalars) suffit à déterminer la )Hisition d'un point quelconque do l'espace. Mais on observera que, dans la théorie générale de llamilton, les scalars sont des nombres abstraits quelconques, positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires, réels ou imaginaires, tandis qu'ici la nature des choses ne fournit aux scalai-s que dos valeurs réelles et entières, positives ou négatives.

( = ) A titre d'exemples, signalons ici quelques interprétations :

Etant données deux notes représenléos par des vecteurs, leur géniteur n'est autre chose que leur origine commune; leur médiaire est le vecteur formant médiane dans le triangle qu'ils déterminent. Etant donné un thème musical quelconque, les vecteurs dos notes dessinent par leurs extrémités uno certaine ligne polygonale: dans la transposition du tlkme, la ligne polygonale reste identique à elle-même et se transporte seulement d'un mouvonient parallèle; dans l'inversion, au contraire, la ligne est remplacée par sa syméiricpie; en effet, si le pivot do l'inversion est le géniteur, tout vecteur s'échange en son conjugué, ce qui fournit une ligne polygonale symétrique ( par rapport à l'origine) de la ligne polygonale correspondant au thème donné. Si l'on change de pivot, il y a transposition de l'invei'sion, c'est-à-dire iléplacement parallèle de la ligne symétrique précédemment oblenue . il est i'\ ideiit que les intervalles .successifs de l'inversion sont égaux à ceux du thème, mais de .sens inveise etc.. etc.

CIIM'ITIIK II. INIKIW ALLES ES l NITÉS Z.II.X. 587

llOLi; DES GOMMAS.

426. Nous avons déjà dit un mot (n" 412) de l'effet obtenu, tant en arithmétique qu'en iiiusiiiiie, en négligeant un comma. Nous pouvons maintenant préciser le rôle des conimas, et montrer en quoi ces très petits intervalles ressemblent à l'unisson (ou à l'unité) et en quoi ils en diffèrent.

Pratiquement, l'unisson et le comma sont presque égaux, puisqu'ils correspondent respectivement à un intervalle nul ou presque nul; cependant, dans les représentations géométriques dont nous avons fait usage, l'unisson aurait toujours correspondu à un vecteur nul, tandis que nous avons trouvé des commas correspondant à des vecteurs considérables (').

Mais, si l'on considère l'unisson et le conuna, non comme vecteurs mais comme quater-

nions, leur comparaison peut se faire avec justesse, et le rôle du comma est mis en

évidence. Soient N et N' les N de deux notes formant unisson ou comma ; considérons le

N' qnaternion représentant l'intervalle -^ de ces deux notes. Dans le cas de l'unisson, le

quaternion a pour tenseur l'unité et pour verseur zéro; dans le cas du comma, le quaternion a un tenseur presque égal à l'unité, mais son verseur peut être très différent de zéro. C'est donc par leurs tenseurs que l'unisson et le comma se ressemblent, et par leurs verseurs qu'ils diffèrent; en définitive, le comma agit principalement comme verseur.

r.ARACTfclU; 1)1' DEliRÈ.

427. Le degré est l'unité le plus fréquemment employée par les musiciens pour compter les intervalles; c'est en degrés seulement que ceux-ci apparaissent sur la portée; or la valeur de cette unité est loin d'être fixe, puisque, selon le cas, elle varie du simple au triple (de i gété à 3 gétés).

Dans la pratique ordinaire des cboses, un calcul fait en fonction d'une unité aussi variable serait dépourvu de toute signification. Ainsi un propriétaire qui évaluerait sa récolle de blé en additionnant les nombres de sacs engrangés dans chaque domaine, ne saurait se faire une idée précise de la quantité de grain récolté si, dans ses domaines, le poids du sac pouvait varier du simple au triple.

Néanmoins, en musique, la variabilité de l'unité employée est sans inconvénient; la cause de ce fait bien connu des musiciens correspond, en système z.u.ic, aux particularités suivantes :

Représentons en coordonnées ;.//..'■ les notes de la gamme de do dont les intervalles conjoints ont les valeurs suivantes :

(/i) /•(• mi Jii sol lir si (/ti

9 lo i(j 1) lo () i(i

D'après le Tableau du n" kH, les formules de ces secondes, en système z.ii..r, sont respectivement :

</„ /■:■ lui fa sol 1,1 si do

zux zii z zii.v zii zn.r z

Donc, si pour représenter la note do nous adoptons l'origine o des trois axes coordonnés ozitx (voir fis;. 37^), le 11° degré de la gamme, ([uifait avec do l'intervalle zu.x\ sera représenté par le point ré situé à un élément -, à un élément 11 et à un élément j* du point do ; de même, le IIP degré de la gamme, ([ui fait avec le IP l'intervalle zu, sera repré-

( ' ) Ce qui euractùrisL' les vocteui-s de commas, c'est ([u'ils sniit très peu incliués sur les jihins d'équivaluiK-o.

SEPTIEME PARTIE

INTERVALLES

sente par le point mi, situé à un élément ^ et à un élément a du point ré, etc. Eu sorte que les degrés successifs de la gamme seront représentés par des points ayant des i< et des X assez divers, mais dont les :■ varieront régulièrement à raison de i élément z pour une différence de i degré.

Si, partant du ton précédent, nous modulons par homotonie, les valeurs de certaines des trois médiantes d'échelle (ou de toutes trois) seront diminuées d'un élément u, mais les autres éléments, et notanunent les z, resteront sans changement.

Il en sera de même si nous modulons par connexion, ou par voisinage, ou par équiarmure, car ces modulations s'exécutent, coumie on l'a vu, en composant les notes du ton de do avec des intervalles tels que Q, ?, ou a-, dans la constitution desquels il n'entre que des éléments u et x, à l'exclusion de l'élément .;.

Il suit de là que le nombre de facteurs .: entrant dans la composition d'une note porte pour ainsi dire caractère, ce caractère suivant la note dans les divers tons où elle pourra être introduite à l'aide d'accidents convenables.

428. Ceci posé, reportons-nous à la figure 274. On a tracé sur le prolongement de gauche du plan zou ( ' ) une portée de cinq lignes armée de la clef de sol. L'espacement des lignes a été réglé de façon qu'entre une ligne et l'interligne voisin, la distance soit égale à la valeur de ; = i ; enfin la portée a été tracée à une hauteur telle ([ue la ligne sol coïncide avec l'intersection des plans .r ^ o et - = sol.

11 suit de là que les cinci lignes de la portée, ainsi que les lignes supplémentaires et les interlignes, cori'espondent précisément aux traces sur le plan zou des divers plans ; contenant les notes de la gamme; les lignes mi, sol, si, ré, fa, par exemple, coïncident avec les traces des plans //(/, sol, si, ré, fa respectivement. Donc, si la portée ne

renseigne pas sur la valeur vraie des intervalles -r^ = ;-*.«". j;*', elle indiciue au moins

la valeur de ces intervalles en ce qui concerne l'élément z; ainsi, quand on voit sur la portée que l'intervalle dofa vaut trois degrés, on peut en conclure que la formule de

( ' ) On a choisi le plan zou, parce qu'il .se préseiito comme plan bien adopter lo plan zox, ainsi d'ailleurs qu'une inlinité d'autius.

il., front ilans la li''iir

[Ullait pi

CHAPITH1-: II. — INTERVALLES EN UNITES Z.IL.r. 289

cet intervalle est de degru 3 en z. Il va de soi iiue cette indication suflit à dtitinir les noies, puisijue, au moins en musique diatoni(jue, il n'y a qu'une note par degré; il n'en serait pas de même en uuisique chromatique où le degré peut se présenter sous forme de deux notes différentes; mais on sait (jue, dans ce cas, le musicien écrit sur la portée le facteur (dièse, bémol ou bécarre) qu'on doit composer avec la note précédemment employée pour obtenir la note accidentée.

429. Nous avons vu plus haut {/i/i/iarmonie, n" 325) qu'il existe aussi des modulations s'exécutant par gétophonie; ainsi l'accord rc/a la do := t T t du ton de do et l'accord rOfalado =fT< du ton de/a diffèrent l'un de l'autre en ce que le ré du ton de do est d'un comma x plus haut (jue celui du ton de /a; néanmoins il est facile d'utiliser cet accoi'd pour moduler de do à fa en négligeant la petite différence existant entre les deux ré. Dans ce cas, la modulation par gétophonie ne donne lieu à aucune remarque spéciale, et les choses se passent (au moins en ce qui concerne le facteurs) comme quand la modulation est fondée sur l'amphitonie rigoiu-euse d'un accord.

430. Il n'en va plus de même quand le comma négligé contient dans son expression un facteur z. Ainsi nous avons vu plus haut (n" 4-11) que, dans la modulation de do ixfai par la gétophonie des accords si ré fa et si ré mii, il se produit pour ainsi dire un escamotage d'un degré, la quinte si fa s'échangeant en la quarte si mie.

Il est facile de s'expliquer cet effet et de reconnaître que ijuand, à une note A, on

substitue une note B différant de la première par un comma ^ dans la composition duquel il entre un facteur :, il doit y avoir apparition ou disparition d'un degré.

En effet, si le comma j contient un facteur z, c'est que son vecteur reprèsenlatif AR a

ses extrémités dans deux plans 3 différents; donc les plans z oii aboutissent les extrémités des vecteurs OA, OB, représentatifs des notes A et B, .sont distincts; dès lors ils n'ont pas la même trace sur le plan zou et, par suite, les notes qu'ils contiennent ne peuvent pas s'inscrire sur la même ligne (ou sur le même interligne) de la portée.

ARTICLE II Logarithmes acoustiques.

431. Les intervalles musicaux se présentent sous forme de nombres fractionnaires; ajouter ou retrancher deux intervalles musicaux se fait en multipliant ou divisant les fractions représentatives; à ces opérations il est équivalent et plus commode de substituer l'addition et la soustraction des logarithmes correspondants; il est donc naturel que, dans les calculs d'acoustique, les physiciens emploient souvent, au lieu des nombres fractionnaires représentant les intervalles, les logarithmes de ces nombres; d'ailleurs, en opérant

ainsi, ils no font, pour ainsi dire, qu'imiter les musiciens : ceux-ci, en effet, estiment liabituellement les intervalles en demi-tons moyens de la gamme tempérée, c'est-à-dire en gi'ades tempérés ou gétés. Pour voir l'analogie entre ces deu.\ façons de considérer les intervalles, supposons que toutes les touches d'un instrument à clavier aient été numé-

ri,i;. 27.1 bis

W3 'M 7 I sTu'n

rotées à pai'tir de l'une quelconque d'entre elles marquée zéro, ainsi que l'indique la figure ci-dessus. Si l'on rappoi-te les hauteurs des diverses notes à celle de la note zéro, c'està-dire si l'on représente la hauteur de chaque note par le nombre N des vibrations qu'elle exécute pendant que la note zéro en fait une, les numéros d'ordre marqués sur les touches seront précisément les logarithmes des N des notes correspondantes, ces logarithmes étant pris dans le système à base \^2. On voit qu'à ce point de vue, un clavier peut être considéré comme une véritable règle à calculs, et, quand le musicien reconnaît que de telle à telle note de la gamme tempérée il existe par exemple un intervalle de 3 gétés. le physicien doit trouver qu'en logarithmes à base 'v"^, l'intervalle de ces mêmes notes s'exprime également par le nombre 3.

432. i,)n appelle généralement logmithmes acoasti'/ucs les logarithmes vulgaires des lUfl'crents intervalles de la gamme; ainsi on dira (jua 0,1760913, valeur approchée du

logarithme de - dans le système à base 10, est le logarithme acoustique représentant

l'intervalle de quinte. On sait que, théoriquement, cette façon de parler ne peut être

rigoureuse, puisque log-> étant incommensurable, ne saurait être exprimé exactement à

l'aide d'un nombre limite ilr chiffres.

433. Il est facile d'éviter l'emploi des longues parties décimales tout en obtenant la précision maxima (c'est-à-dire une précision absolue ou une approximation poussée aussi loin qu'on le désire, selon que le problème posé admet une solution commensurable ou inconunensurable ).

11 suffit, pour cela, de considérer les intervalles musicaux, soit dans l'espace, comme les vecteurs dont il a été parlé plus haut, soit dans le calcul, comme sommes des composantes desdits vecteurs : ils apparaissent alors comme fonctions des paramétres z, u, .^•, et l'on peut dire qu'ils smit, ainsi exprimés en unités z.u.x.

.4vant de montrer sur des exemples les facilités que peut procurer cette façon de procéder, indiquons d'abord les formules en unités z.u.r des principaux intervalles musicaux.

434. Le Tableau suivant présente les valeurs des dix notes existant dans les huit gammes ternaires fondées sur do — i. ainsi que les valeurs des intervalles entre notes conjointes {'). Les formules de la colonne 4 <>nt déjà été trouvées plus haut (n° 4.2-2);

(') La sigiiiticalion des cliiffi-os l'ontoiuis dans la ilcniièie imiIoimh' de ce Talileaii est indiiinée ci-après (n° 439).

CHAP1THI-: 11.

l\Ti;il\AI.I,i;S EN L'MTliS Z.l(..r.

quanta celles de la colonne 7, elles se déduisent des précédentes à l'aide de niultiplications successives.

intkuvali.es.