SIXTES
Valeur mineure - = ;5 „3 j.2 [ 37 ,81 1
l Valeur d'échelle - = ;^«'.'- [4i , li ]
Valeurs iiKiieiires -
I Valeur de raccordcMiieiil — ^ = r.'"»i,r' [ ja, n]
L'intervalle des deux valeurs majeures est x.
SEPTIKMKS.
Vcdear mineure .■ Renversement du scsquilon, -|^ = z^u^x- | i3,o3 |
Renversenicnl du j,'iand ton, — = z'^tr-r"- | 40, !a |
Valeurs médianes 1
I Ueaverscment du pelil ton, j — z'''ii^x' [47,3']
L'iiiiervalle des deux valeurs médianes est x.
IRcm orsemt'iU du grand demi-ion, — = ;'■ u'i- I îi) . fîo | Renversement du petit demi-ton, -;- = z'^u'.r^ [ jo,6o|
L'intervalle des deux valeurs majeures est .^■.
436. Monti-ons maintenant comment l'emploi des formules z.ii..r peut simplifier les calculs numériques.
Soit un intervalle quelconque
son logarithme est
I • Kl m ,.1 /Alog; Blog» „\ ,
logi = A log; — B les:" - - (. log.c = ( -, — ■ ; — ■ h L loi.r.
■ V 'og''-' 'og'' / "
Les rapports ,— ^^ et ,—2— sont des constantes, c'est-à-dire des nombres indépendants du ^ '■ log.r log.c '■
système des logarithmes que l'on considère; leurs valeurs approchées (') sont respectivement
5, a et 3,3
en sorte que
log/= (5,oA-r-3,3B — Cllog;:
d'où
Ceci posé, on voit que le logarithme d'un intervalle i = z'^u^'.r''- peut être considéré, soit comme proportionnel au trinôme
soit comme formé de trois parties prises dans trois systèmes logarithmiques à bases différentes et proportionnelles respectivement aux exposants
437. Dans beaucoup de calculs, il n'est pas nécessaire de ramener à une base unique les trois portions du logarithme, et l'on peut se contenter de considérer le logarithme comme l'eprésenté par un système de trois nombres A, B, C.
Exemple. — Etant donnée une quinte z'u^x-, lui ajouter une tierce majeure z'n^x et en retrancher une sixte majeure s'//>.r-. Le résultat final se calcule ainsi :
, . ,, . ■ \ Quinte — 4 -i- 3 -i- 2
Intervalles a aioutcr ".
( 1 icrce majeure -h 9. — 2 — 1
Intervalle à retrancher : Sixte majeure — '> — 4 — ■).
Résultante — i -i-i -^i
L'intervalle résultant est zux, soit le grand ton ^■
( ' ) Leurs valeurs plus exactes sont respectivement :
S.jgc.... et 3,'S(1
CIlAl'ITUi: 11. — INTKRVALLES EN INITKS Z.tl.:C. V.t) >
Autre exemple. — Étant donnée une septième diminuée z'^u^x-, en retrancher une quinte diminuée z'u-x et une tierce de raccordement z-u.
IiUervalle additif — 0 — 3 -^ x
Iiilervalles souslraclifs
Résultante <> o t- i
L'intervalle résultant est un comma x.
438. Dans les cas où il est nécessaire d'opérer sur des logarithmes pris dans un système à base unique, on peut se dispenser de compulser une table de logarithmes ; il suffit de connaître les coefficients 5,2 et 3 , 3 indiqués plus haut ( ' ).
Exemple. — Calculer le rapport de l'octave au comma x.
On a vu que l'octave est 2 :=:iz' u'x^ ou 2 — ar'x''-+=x'''+' = j""-'; d'où il suit ([ue l'octave contient environ -56 conuiias.
Autre exemple. — Calculer le rapport du couuua deux-trois au comnui vulgaire c
Il r'
Ou a vu que le conuiia deux-trois est x' — —^ ; on a donc
d'où il résulte que .r' est d'an dixième supéricui' à.r.
Autre exemple. — Calculer combien le gétô contient de commas .r'.
Puisque l'octave est j;°^>', le gété est x ''^ = x'''~. D'autre part nous avons vu que x' vaut j'-'.
Donc le nombre des commas x' contenus ilans le gété est i^ =^44- environ.
439. Remarijue. — Nous venons de voir qu'un intervalle quelconque peut être mis sous la forme
et que le trinôme
■>,2A^i,jB + C
est proportionnel au logarithme do l'intervalle.
Il est évident que, s'il s'agit de logarithmes pris dans le système à base x, le trinôme n'est autre que le logarithme lui-même. Ainsi, il est équivalent de dire qu'un gété vaut 41 commas ou que le logarithme du gété, dans le système à base x, est égal à jf.
Les nombres donnés entre crochets, tant dans le Tableau du n''434 que dans les calculs du n° 4:33, indiquent quelles sont les valeurs des intervalles, lorsque le comma x est pris pour unité {■); ces nombres entre crochets peuvent donc être considérés connue les logarithmes des intervalles dans le système à base x.
(') Il est facile d'obtenir, quand cela est nécessaire, une précision supérieure à celle dont on s'est contenté pour les trois exemples suivants; il suffit pour cela de remplacer les constantes 5,3 et 3,3 par leurs valeurs plus approchées indiquées ci-dessus {voir le renvoi du n° 430).
(-) La valeur do l'octave 5.5*, Ko présente un excès do deux millièmes de comma environ; la valeur du gété 4''i''' étant exactomont le douzième du 55, So est aussi indiquée par excès. Los valeurs de u = 3,5y et de s = 5, 20 présentent aussi des excès inférieurs respectivement à quatre et cinq millièmes do comma. On a donc indiqué pour los tons zu et zux, non pas les totaux S.411 et o>49> "lais bien les valeurs rectifiées 8,4S et 9,4^, lesquelles se trouvent ainsi alTeclées d'une erreur par défaut légèrement supérieure à un millième de comma.
SKPTIKME PARTIIÎ. — IXTKRVALI.ES.
