CHAPITRE I. — GENERALITES. Jll

Cette formule septuple représente les sons de la tonalité de A majeur normal qui sont compris dans l'étendue d'une même octave ( ' ) ; c'est donc la formule de ce qu'on appelle la gamme de A majeur normal.

480. On voit pourquoi les mots de gamme et de tonalité, bien que signifiant des choses différentes, peuvent souvent être employés l'un pour l'autre sans inconvénient : ceci résulte de ce que les choses signifiées sont définies par la môme série de rapports, ou encore de ce que les choses signifiées se déterminent l'une l'autre; il est évident, en effet, que la tonalité de A majeur normal est celle qui utilise les notes de la gamme de A majeur normal prise à ses diverses octaves, et que la gamme de A majeur normal n'est autre chose que l'air particulier que l'on écrit dans la tonalité de A majeur normal, lorsqu'on range par ordre de hauteur les notes de la tonalité qui se rencontrent dans l'étendue d'une même octave (*).

481. Ton. — Reportons-nous encore aux formules de la tonalité et de la gamme de A majeur normal. Dans ces formules, le paramètre A a été laissé complètement indéterminé: sa valeur, en effet, dépend de la tonique choisie, et pourrait théoriquement être quelconque; mais, pratiquement, on se bornera à prendre pour A, soit le la noi-mal, soit une note en rapport simple avec ce la conventionnel.

La valeur de A définit aussi ce qu'on appelle le ton. Ainsi, si .A représente do par exemple, le ton de A, ou tou de do, est l'ensemble de toutes les gammes ou tonalités fondées sur la tonique k = do : c'est donc l'ensemble de toutes les notes formant avec do des rapports simples.

Mais si, au lieu de parler du ton de do en général, on précise en indiquant une tonalité particulière, le sens de l'expression se particularise en même temps; ainsi, le ton de do majeur normal est la tonalité majeure normale fondée sur la tonique do.

482. On voit pour([uoi les mots ton et tonalité, bien i[ue signifiant des choses différentes, peuvent souvent être employés l'un pour l'autre sans inconvénients. Considérons, en etTet, le Tableau à double entrée qui suit, dans lequel chaque ligne se rapporte à un ton particulier, et chacjue colonne à une tonalité particulière. Parmi ces lignes et colonnes, choisissons, par exemple, la ligne de ré et la colonne du majeur orné; leur rencontre forme la case de ré majeur orné:

Tonalités

Tons

majetir normal

majeur orné

majeur alternant

etc : etc ' ; etc \

do

ré

majeur

nn,

etc

etc

(') Laquille est (Hi(Kniu(iie, lar, ilaiis cette foiinulo, A est qm'lcoiique et peut ètic remplacé pai l'une de SCS octaves iiiguës ou graves 2". A.

(') Ces notes devant être rangées de tonique à tnni(iuc, ou de dominante à dominante, on de médiante à niédiante, suivant qu'il s'agit d'une gamme autlienti(|ue, (oi plagiiMine, on antiplagienne.

JIVI llllTIEME PARTIE. — GAMMES DIVERSES.

Il est évident i]ue les expi-essions :

Ton de ri majeur orné, Toiialilé de ré majeur orné,

ilésignent une seule ot même chose; en effet, la première expression désigne celui des Ions de ré qui appartient à la tonalité majeure ornée; et la deuxième expression désigne celle des tonalités majeures ornées qui a pour tonique la note ré : il s'agit toujours, en définitive, de la même case du Talileau (jui précède.

483. En résumé, dans les formules telles (jue celles que nous avons trouvées plus haut pour la tonalité majeure normale :

la tonalité est caractérisée par les fractions entre parenthèses, et le ton, par la valeur du paramètre A. Quant à «, qui est un entier quelconque, positif ou négatif, il ne caractérise que l'octave; si on lui assigne une valeur fixe, par exemple :éro qui est la plus simple, il reste seulement la formule de la gamme du ton (ou de la tonalité) correspondant aux valeurs attribuées au paramètre A et à la série des fractions entre parenthèses. Ces diverses définitions ayant été données ('), revenons à l'étude de la gamme en général.

484. Les tonalités qui peuvent s'imaginer étant en nombre extrêmement considérable, nous ne les étudierons qu'à un point de vue général, mais nous examinerons en détail les plus importantes; enfin, nous montrerons comment, étant donnée la valeur brute approximative des intervalles d'une gamme, on peut se faire une idée du substratum mathématique sur lequel repose la tonalité correspondante.

485. Rcnian/iie. — On a indiqué plus haut (n" 480) pourquoi les mots gamme et tonalité peuvent souvent être employés l'un pour l'autre.

Mais ces mots ne peuvent pas se remplacer mutuellement dans le cas où, la tonalité n'utilisant pas le facteur 2, le privilège des octaves n'existe plus.

Nous allons donc, au moins dans le présent Chapitre (Généralités), traiter des tonalités, plutôt que des gammes.

ARTICLE II. Tonalités monogènes ou polygénes.

486. Toule tonalité est fondée sur les nombres iiut expriment les rapports des divers degrés à la tonique; ces nombres sont formés de facteurs premiers; donc les tonalités peuvent être considérées comme engendrées elles-mêmes par des facteurs premiers, et classées d'après le nombre et la nature de ces facteurs générateurs.

Nous qualifierons les tonalités de monogènes, digènes, Irigènes. tctragènes, etc., et, en général, polygénes suivant qu'elles seront engendrées par i, 2, 3, 4, ■ ■ .. ou, en général, plusieurs nomhres premiers (-).

( ' ) 11 va do soi que lu sens des mots : ton, gamme, tonalité ci-dessus délinis est susceptible dèlre généialisé par les prociidés habituels; c'est ainsi que si l'expiessioii tonalité o\i gamme ternaire majeure pseadique i\és\g»v une certaine tonalité où une gamme do sept sons de jtroportions bien définies, au contraire, l'expression gammes ternaires pseucliqiies englobe deux gammes, de mode majeui' nu mineur; de même l'expression tonalité ternaire majeure englobe quatre tonalités de genre normal, orné, alternant ou pseudique, et l'expression tonalité ternaire CMigbd)c les huit tonalités que nous avons réparties en deux modes et quatre genres.

(-) Ces mois : monogène, digène, trigène, tétragéne, ..., potygène, qui vont être d'un fréquent usage dans la 8" Partie, signifient respeelivement : qui a une origine unique, double, triple, quadruple, ..., multiple.

CIIAPITIIK 1. — (iKNKRAllTÉS. 3l3

487. Mais quels uoiubrcs premiers convient-il de prendre en considération ?

Jus(iu'ici on a fait état uniquement des facteurs 2, 3 et 5 au moyen desquels on a formé li's nombres appelés dans ce qui précède nombres musicaux, mais ce n'est là qu'un mot et non une démonstration. Assurément les facteurs 2, 3 et 5 sont plus simples que le facteur 7 et que les nombres premiers supérieurs à 7 ; ceci a été établi plus haut {Consonance, ï\° 36); mais rien ne prouve a priori ([ue tout nombre premier autre que 2, 3 et 5 doive ètree.xclu de toutes les tonalités musicales; on peut même reconnaître qu'à certains égards et dans certaines conditions, l'introduction du facteur 7 peut procurer une simplification analogue à celle que produisit autrefois l'adoption du facteur .5 : on sait, en effet,

(]ue, dans la tonalité de Pythagore, les tierces avaient pour fonnule — et — (formules

digènes), tandis que, dans notre tonalité, les tierces sont 4 et t ( formules trigènes).

L'introduciion du facteur .5 a donc permis, en ce qui concerne les tierces, de remplacer les formules dissonantes des anciens par les fornmles consonantes nouvelles, et c'est cette simplification (jui a rendu possible la création de l'harmonie moderne.

L'introduction du facteur 7 peut se produire dans des conditions analogues; considérons pour fixer les idées l'intervalle dit de triton, tel que celui qui sépare les notes si el/a.

Étant en do, si l'on fait entendre simultanément les notes /a =^ et .«' = — > l'intervalle de ces notes est très complexe puis(ju'il a pour expression — :-,=:—• Mais on ne sent pas cette complexité, car, par hypothèse, on est en do, en sorte que ce que l'on perroit, ce n'est point du tout l'intervalle de triton, c'est-à-dire le rapport i- de si à fa, ce sont les rapports de ces deux notes à la tonique, savoir :

■ÈL-^é. et -^-Ll.

Mais si, au lieu de fa si, c'est le Iriion do/a ; (ju'oii fait entendre, on percevra cette fois l'intervalle de triton lui-même; or, ainsi qu'on vient de le dire, cet intervalle exprimé eu

fonction des facteurs 2, 3 et 5 a pour formule la fraction très complexe ^> tandis que. si l'on fait usage du facteur 7, son expression se réduit à ^ •

On conçoit donc que si le musicien, au lieu de se borner à faire entendre parfois à l'état isolé quelques intervalles complexes tels que do/ai,, en arrive à employer systématiquement une tonalité dans laquelle les intervalles de ce genre se présentent fré([uemment et simultanément, il peut avoir intérêt à abandonner la conception de la tonalité à base 2, 3 et 5 ; et la complication apportée aux ressources de son art peut l'amener à concevoir certains sons comme expriuK'S dans un nouveau système comprenant les facteurs 2, 3, 5 et 7, l'introduction de ce quatrième facteur simplifiant l'expression de certains intervalles, de même qu'autrefois l'introduction du facteur 5 a simplifié l'expression des degrés 111, VI et VII des deux modes ( ' ).

Donc, puisque nous étudions le problème de la gamme dans toute sa généralité, nous n'exclurons a priori aucun facteur; mais, puis(iue nous devons, comme toujours, procéder du simple au C(jmposè, nous examinerons les diverses tonalités monogènes ou polygènes en commençant par celles que les plus petits facteurs de la numération arithmétique nous permettent de concevoir.

(') Eu somme, l'esprit humain substituerait à un systùnic de faeteurs premiers Un autre système plus complet, liirsque ce nouveau système lui permet de concevoir plus simplement les intervalles dont l'art est arrivé à faire usajiçe; de même un cheval, à qui sou cavalier demande une accélération d'allure, substitue lo trot au pas allonge, puis le galop au trot allongé, chaque fois que le degré de vitesse exigé par le cavalier peut être obtenu plus aisément en adoptant une allure nouvelle qu'en allongeant l'alluro ancienne.

IIUITIEMK l'AIITLE. — GAMMES DIVERSES.

TONAM'I'ÉS MOXOCikNES.

488. Par définition, ces tonalités sont fondées sur les nombres (lue peut former un facteur premier unique, tel que 2, 3, 5, ... {').

La plus simple est celle qui est fondée sur le facteur 2, et dont les notes, dans le ton de do, sont les octaves successives :

fA)-i (/ou doi dot ....

D'après la tradition, cette tonalité aurait été employée à répo(iue où, pour la première fois, les hommes s'efforcèrent de réaliser des sons musicaux.

Il est naturel qu'il en ait été ainsi, car non seulement le rapport 2 est (après le rapport d'égalité) celui que l'esprit humain conçoit le plus simplement, mais c'est aussi celui que les corps sonores réalisent le plus facilement : on sait, en effet, qu'une corde harmonique attaquée énergiquement, ou un roseau de flûte de Pan dans lequel on force le vent, octavient souvent d'eux-mêmes et tout naturellement.

Cette sorte de parallélisme entre les lois psychiques régissant l'esprit du musicien et les lois physiques régissant la vibration de son instrument, résulte de ce que les unes comme les autres sont fondées sur le principe de simplicité ; ces lois coïncident donc au début, c'est-à-dire dans les cas les plus simples; mais, ainsi qu'on l'a vu plus haut {Dissonance, n" 203), c'est seulement au début qu'il y a coïncidence entre les deux sortes de lois.

489. 11 n'y a évidemment aucun intérêt à étudier les tonalités monogènes qui seraient fondées sur d'autres facteurs tels que 3, 5, ... ; leurs notes seraient encore plus espacées que celles de la tonalité à base 2 ; et, d'ailleurs, leur usage ne serait pas vraisendjlable, car. si l'artiste a l'esprit assez exercé pour concevoir les intervalles fondés sur le facteur 3, il conçoit a fortiori ceux qu'engendre le facteur 2, donc les notes (|ui se présentent naturellemment à son esprit ne sont pas formées uni(fuement par le facteur 3, mais bien par les facteurs 2 et 3 ; dès lors la musique qu'il praticjue n'est pas monogène, mais digène.

TONALITÉS DIGÈNES.

490. l'ar détinition, ces tonalités sont fondées sur des couples de facteurs tels (jue 2 et 3, ou 2 et 5, ou 3 et 5, ou 2 et 7, ou 3 et 7, ou 5 et 7, . . ., etc. Examinons successivement les premières de ces tonalités.

491. Tonalité 2.3. — Cette tonalité ayant été employée sera étudiée plus loin dans un Chapitre spécial (Chap. II); on se bornera ici à rappeler que, connue on l'a dit dans la 7"^ Partie {Interi'alles), Pythagore considérait les diverses gammes grecques comme engendrées uniquement par les facteurs 2 et 3, et (^ue, de nos jours encore, beaucoup de théoriciens classent dans cette catégorie, non seulement la gamme diatonique des musiciens modernes, uuiis aussi leur gamme cliromatii|ue.

492. Tonalité 2.5. — Les notes se reucoiilrant dans cette tonalité sont celles (ju'indique la figure ci-dessous {fig. 281), la([uellc n'est autre chose que la représentation du plan des 2 et des 5.

Puisiiue les notes situées sur une même parallèle à l'axe des 2 sont des octaves les unes des autres, il suffit, pour reconnaître quelles sont les notes distinctes, de considérer les notes disposées sur l'axe des 5 ; or, il est facile de constater que, de trois en trois, les notes situées sur cet axe sont gétophones les unes des autres. La tonique étant supposée dOi = j ,

fa 1;, aura pour expression -| ; cette note différant peu de mi, = - , mais étant beaucoup plus ixjnqilexe, sera interprétée, non comme fa '?, mais comme /ni; de même, les notes soli, = —

Cj 11 n'y a dvidomment pas Hou de ransiilùivr lu l'acWur i cjui ne pourrait ungciidirr que l'unisson.

CIIAI'ITIIE r. — OENKRALITKS.

et «s, = -rr> différant peu de /«^, :-- - et de do^^^i, seront interprétées respectivement,

non comme w^ïj et siii, mais comme la [?, et comme do^ qui ont des expressions beaucoup plus simples.

Fig. aSi.

doj

fat?.3

laf.,

doj

mi4

SOlug

siHg

lab.2

do,

5( mij

SI

7?5 /Ixe des anq'

Il suit de là que, pratiquement, les notes de cette tonalité se réduiront à la gamme de trois sons distincts exprimée par la série :

do

la.

do

C'est peut-être dans cette tonalité spéciale que les walkyries de l'œuvre de Wagner {La Walkyrie, IIP acte, scène I) conçoivent leur chant d'appel; en effet, Gerhilde dit :

Fig. 282.

^ Mf,- -ï^-^m

Ho - ïo

to. ho

Bientôt Helmwige, puis les autres walkyries, répètent aussi cette sorte de chant sauvage sonnant comme s'il était formé de notes échelonnables par tierces majeures :

sol si rcC Jax.

Quoi qu'il en soit, que les walkyries chantent dans une tonalité digène qui leur serait spéciale, ou que Wagner ait conçu leur appel sous la forme gétoplione d'un accord mixte de notre tonalité moderne :

sol si re; sol,

il n'en demeure pas moins établi que, pratiquement, la tonalité digène fondée sur les facteurs 2 et ■> n'offre que peu de ressources.

493. Tonalité 3.5. — Cette tonalité est d'un usage encore moins vraisemblable que la précédente, car, si l'on considère la figure ci-après qui représente ses notes, on voit qu'elle est à la fois très complexe et, pratiquement, très pauvre en sons.

do„ sol. .ne, la mi

SI 3 ta

3! if

0», SDl»6

ré#,„

5' sol#,

la «7

mitt.

Sl>,„

fax,t

faxe

[iOX.o

solx,,

rexB

lax,^

494. Remarque sur les tonalités 2.5 e< 3.5. — On a dit plus haut que, pratiquement, ces deux tonalités étaient fort pauvres en sons. On remarquera à ce propos que, théoriquement, elles permettraient de reproduire, à des commas près, tous les sons de la gamme chromatique moderne, et même tout son quelconque.

En effet, considérons la figure suivante, analogue à celle qui permet de représenter tous les nombres formés à l'aide des facteurs premiers 2, 3 et 5 ; choisissons arbitrairement une note quelconque N correspondant k un point de l'espace ; le plan d'équivalence ABC passant par N coupe l'a.xe des 5 en un certain point k, situé entre deux puissances consécutives de 5, telles, par exemple, que 5 et 25; donc sa trace .10 sur le plan des 3 et des 5 est comprise entre les lignes d'équivalence menées dans ce plan coordonné par les points 5

et 25. Ceci posé, il est facile de reconnaître que la note N, quelle quelle soit, pourra toujours être imitée avec une très grande exactitude par une note appartenant soit à la tonalité 2.5, soit à la tonalité 3.5; considérons, par exemple, celte dernière tonalité; pour que .la note N de l'espace ait pour gélophone une note du plan des 3 et des 5, il suffit que la trace AC du plan d'équivalence mené par N passe tout près de l'un des points du (Quadrillage du plan des 3 et des 5. Or il ne peut manquer d'en être ainsi, car, dans la bande plane comprise enti-e les lignes d'équivalence menées par 5 et par 20, il existe un nombre infini

CIUPITOK I. — (JÉNÉRALITÉS. 3l7

de points du quadrillage, donc un nombre infini de lignes d'équivalence; celles-ci étant distinctes les unes des autres sont, par suite, infiniment rapprochées; donc un(î ou plusieurs d'entre elles se confondent sensiblement avec la ligne AC.

495. D'ailleurs, toute note N (juelconque. même formée de facteurs autres que 2, 3 et •"), peut toujours être imitée avec une grande exactitude dans une tonalité digène telle que la tonalité 3.5. En effet, la recherche des solutions entières approximative de l'équation 3^ = 5^ montre qu'il est aisé de former à l'aide de facteurs 3 et 5 des commas de plus en plus petits; donc la tonalité 3.5 permet de former par la superposition de ses commas une série illimitée de sons se succédant à de très petits intervalles; par suite, (luobiues-uns de ces sons ne dilTéreront que très peu d'un son donné N, quel qu'il soit.

496. Ainsi les tonalités 2.0 et 3.5 pourraient bien, théoriquement, disposer de sons très nombreux; et <è\, pratiquement, elles sont pauvres, cela tient à ce que, pour réaliser certains intervalles avec le peu de facteurs dont elles disposent, elles sont obligées de grouper ces facteurs en combinaisons compliquées que l'esprit se refuse à comprendre, en sorte qu'il les interprète gétophoniquement dans une autre tonalité (').

497. Enfin, il faut bien reconnaître que les tonalités digènes autres que la tonalité 2.3 donnent lieu à la même remarque (jue les tonalités monogènes fondées sur des facteurs autres que 2 : elles sont artificielles, et il serait invraisemblable qu'on en fit usage naturellement et sans convention arbitraire préalable. En effet, si le musicien conçoit les rapports musicaux caractérisés par exemple par les facteurs 3 et 5, il conçoit a fortiori le?, rapports correspondant au facteur 2, plus simple que les précédents; donc la musique qu'il composera se présentera naturellement à son esprit dans la tonalité trigène 3.3.5, et non dans la tonalité digène 3..j.

TONALITÉS TRIGÈNES.

498. Un raisonnement tout semlilable au précédent montrerait de même que la tonalité trigène par excellence est celle qui est fondée sur les facteurs 2, 3 et 3.

Les gammes fondées sur ces trois facteurs sont très belles et très employées; leur nombre est considérable. En raison de leur importance, nous les étudierons ci-après dans un Chapitre à part (Chap. III). Bornons-nous ici à faire remarquer leur supériorité sur la gamme de Pythagore. Celle-ci n'admettait que deux intervalles générateurs, l'octave et la quinte (facteurs 2 et 3), et ne possédait pas l'accord parfait. Ici, les intervalles générateurs sont au nombre de trois : l'octave, la quinte et la tierce majeure (facteurs 2, 3 et 5).

La figure 284 (n" 494), qui représente à la fois les tonalités digènes 2.3, 2.5, et 3.5, ainsi que la tonalité trigène 2.3.5, montre bien comment celle-ci peut, mieux que les précédentes, être à la fois simple et riche en sons.

En tonalité digène 2.3, 2.5, ou 3.5, on reste dans l'un des trois plans coordonnés, et l'on n'y peut trouver des sons nombreux qu'en s'éloignant de l'origine (unité), ce qui conduit à des rapports complexes. Si, pour n'employer que des sons simples, on reste dans le voisinage de l'origine, les sons dont on dispose sont peu nombreux.

Mais si, abandonnant le type digène, on adopte le type trigène, on peut faire usage de sons situés, non seulement dans l'un des trois plans coordonnés, mais aussi dans les deux autres et dans tout l'espace compris entre ces plans ; on dispose donc de sons beaucoup plus nombreux sans avoir à s'éloigner de l'origine, c'est-à-dire sans rencontrer de rapports compliqués.

(') L^ tonalitû 2.3 elle-mèmc\ liiiMi nue siipùi'ieiire aux deux autres tonalités digènes étudiées, n'est pas exempte de ce défaut : c'est ainsi que, iitiiiml un v(!iit lui l'aire expi-imor pai- exemple le III» ou le Vil* degi'é ds notre gamme

moderne, l'esprit, au lieu do comprondro mi = — et si = — 31 abandonne la tonalité i!.3 et cûnc,-oil, au lieu de ces

5 ij

notes, leurs gétophones de tonalité 2.3.'), savoir mi = -. et si — '-^-

TONALITÉS TÉTRAGÈNES.

499. Un raisonnement tout semblable aux précédents montrerait que la tonalité tétra- ,uène par excellence est celle qui est fondée sur les facteurs a, 3, 5, 7. Cette tonalité sera éludiée dans un Chapitre à part (Chap. IV), et l'on s'en tiendra là dans l'examen des tonalités polygènes que pourrait imaginer l'esprit humain ( ' ).

ARTICLE III. — Nombre des notes et des gammes engendrées par les mêmes facteurs premiers.

500. Nombre des notes distinctes. — La tonalité monogène fondée sur le facteur 2 n'admet comme notes que les diverses octaves d'un môme son ; mais toutes les autres tonalités possèdent théoriquement un nombre illimité de notes distinctes. En effet, si, partant d'une certaine note initiale quelconque, on la modifie en la multipliant ou en la divisant par un nombre vaiiable de facteurs 3, on formera une série de notes s'échelonnant à intervalles réguliers, et dont aucune ne sera une octave exacte de la. note initiale (^); il en serait de même avec le facteur 5, et, d'une façon générale, avec tout facteur autre que le facteur privilégié 2. Donc, en théorie, le nombre des notes distinctes d'une même tonalité n'est pas limité. Mais, en pratique, nous avons vu qu'il l'est. Ainsi, dans la tonalité 2.;ï, si l'on part de «io = i, on aboutit bientôt à «; = — , et nous avons dit que, sauf circonstances spéciales, l'oreille interprète ce son, non comme un s/s, mais comme un

rfo == — = -> qui diffère peu de la note précédente et a une formule infiniment plus

64 i simple. La tonalité 2.5 ne possède donc pratiquement que trois notes distinctes parce que la troisième puissance de 5 diffère peu d'une puissance de 2.

501. A ce raisonnement d'arithméticien, on peut suljstiluer un raisonnement de musicien qui sera plus simple, car il reviendra à considérer, non les nombres, mais leurs logarithmes.

En tonalité 2.0, l'intervalle générateur est la tierce majeure valant sensiblement quatre gétés, ou, si l'on veut, valant quatre grades.

Partant de la note initiale do et ajoutant successivement des grades, quatre par quatre, nous formerons à chaque fois une note distincte nouvelle; toutefois, lorsque ce procédé de formation nous aura conduit à ajouter, soit douze grades (une octave), soit un multiple de douze grades, le cycle se trouvera fermé enharmoniquement et les sons engendrés cesseront d'être distincts des précédents : ils n'en seront que des octaves. Donc la tonalité 2.5 ne contient pratiquement que trois notes distinctes qui seront par exemple :

do -H 0 !<rade = do, do -h /i grades = iiii.

rfo -H S grades = /o !,.

On verrait de même que la tonalité 2.3 (pythagoricienne) n'aura pratiquement que douze sons distincts; en effet, dans cette tonalité, l'intervalle générateur est la quinte qui vaut sept grades, en sorte que, si la note initiale est do, la formule générale d'une note

(') Notre fantaisie, eu effet, est comme biidùe par les nécessités inliérentes au genre de musique que nous pratiquons. Si l'homme, comme le rossignol ou la fauvette, cultivait uniquement la mélodie, il pourrait, lui aussi, associer à une note fondamentale des harmoniques de rang éloigné. Mais, en harmonie, ces associations sont plus difficilement toléi-ables, parce (jue les harmoniques de i-ang éloigné cnnsonnent généralement mal entre eux (comme correspondant à des schémas de moins en moins pluricalables).

(') Voir Intervalles, renvoi du n» 445.

CIIAI'ITIIK I. — c;ÉSÉRALITl':S. Jll)

quelconiiue de la tonalité sera (A étant un entier quelconque)

(ta -i- y k grades.

Les nombres 7 et 12 étant premiers entre eux, le produit 7Â-ne sera un multiple de 12 que ijuand /. lui-même sera égal à 12 ; donc, de A- = o à A- ^ 1 1 , la formule fournira douze notes distinctes, mais à partir de A ^12 elle ne fera que reproduire des octaves de notes déjà obtenues (ou. plus exactement, des gétophones de ces octaves).

502. 11 est facile de se rendre compte qu'il en sera de même dans toute tonalité, quel que soit le groupe de facteurs sur lequel elle puisse être fondée ; en effet, si le minimum d'intervalle perçu distinctement par l'oreille est estimé par exemple à la centième partie d'une octave, il ne pourra certainement pas exister dans l'octave plus de cent notes pratiquement distinctes.

503. Gamme chromatique. — Ainsi, l'ensemble des tonalités pouvant être formées à l'aide d'un même groupe de facteurs premiers ne comprend qu'un nombre limité de sons pratiijttement distincts. On appellera dans ce ijui suit gamme chromatique la gamme comprenant tous ces sons ('). Par exemple, la gamme chromatique 2.3 sera la gamme comprenant les douze sons distincts qui peuvent, comme on l'a vu plus haut, être engendrés à l'aide des seuls facteurs 2 et 3.

504. .Yombre des gammes. — Cherchons maintenant le nombre des tonalités ou des gammes qui peuvent être formées avec un même groupe de facteurs premiers. Le nombre de ces gammes dépend fort simplement du nombre des notes de la gamme chromatique issue des mêmes facteurs générateurs. Il est évident, en effet, que toutes les gammes que nous considérons ne peuvent être formées qu'au moyen de notes appartenant à la gamme chromatique. Si par exemple cette gammée possède douze sons, le groupe de gammes que nous considérons ne comprendra (ju'une gamme de douze sons, ou douzain. (jui ne sera autre que la gamme chromatique elle-même. Mais il comprendra onze gammes de onze sons, ou onzains. ces onze gammes s'obtenant en retranchant de la gamme chromatique tantôt l'une tantôt l'autre de ses notes, à l'exception pourtant de la tonique. De même les gammes de dix sons, ou dizains, s'obtiendront en retranchant de la gamme chromatique tantôt l'un tantôt l'autre des groupes de deux notes que l'on peut former en combinant deux à deux les onze notes de la gamme chromatique autres que la tonique; ces groupes sont au nombre de cinquante-cin(j. Il est évident que les gammes de neuf sons, ou de huit sons, ou de sept sons, etc., auxquelles on peut, pour abréger le discours, donner les noms de neurains-. huilains, septains, etc., se dénombreraient de la même manière.

505. A titre d'exemple et pour fixer les idées, calculons le nombre des tonalités ou gammes pouvant être formées à l'aide des notes d'une gamme chromatique de douze sons.

Représentons par C,„,„ le nombre des combinaisons de m objets n à n, et par r„ le

( ' ) Il y a lieu de remaniuer dès à présent que cette définition de la gamme chromatique présente une certaine élasticité; elle comprend, a-t-on dit. tous les sons pratique ment distincts; mais le nombre de ces sons peut varier dune École musicale à l'autre, même si les deux Écoles emploient des tonalités fondées sur les mêmes facteurs premiers. Ainsi, dans la musique moderne des Européens, laquelle est engendrée par les facteurs 2,'3 et 5, on ne prend pas eu considération les intervalles inférieurs au demi-ton ; alors le cycle des sons se ferme pratiquement au bout de douze, et la gamme chromatique a douze notes.

Mais si, dans cette même tonalité trigène, on fait état d'intervalles musicaux moindres, tels que le comraa x'; si. comme on dit. on pratique le tiers de ton. le nombre des notes distinctes augmente de quali-e. et la gamme chromatique possède seize sons, au lieu de douze. On reviendra plus loin sur cette question. (Voir notamment Seizain. n» 606. et Musique par fractions de grade, n° 610. )

nombre des gammes de n sons; si l'on se souvient que C„

„, on voit qu'on a

Ci,.2

Cil, 3

iC))

Ts =

Cl 1,4

Cl, ,5

Cil, 6

4fw

Tô =

Cn.T

Cil, 8

if)5

Cil, 10

506. Ce total élevé n'a d'ailleurs qu'une importance plus théorique que pratique. Ainsi, avec notre gamme chromatique moderne qui, telle que nous la pratiquons, se réduit à douze sons, on pourrait bien former 2048 gammes distinctes, mais beaucoup de ces gammes seraient sans valeur musicale; par exemple, parmi les gammes de trois sons, les combinaisons telles que les échelles

do ini sol do,

ilo mi-- sol do,

OU telles que la lyre d'Orphée

do

sol

do.

permettent Lien d'écrire de la musique; mais les combinaisons telles que

do rcy fa^ do

sont mal conçues et illogiques au point de vue musical, car, ne possédant que très peu de degrés, elles devraient les avoir très simples, et non complexes comme

iCi ,. 45

rc-. = — r ou /'/; — -;— •

Un certain nombre de ces 2048 gammes sont également dénuées d'inlérèt musical, mais pour un autre motif : ce sont les gammes formées de notes ne rattachant pas à celle qui serait censée jouer le rôle de tonique.

Considérons par exemple la gamme de cinq sons distincts

do.

Il suffit de tracer dans le plan des 3 et des .5 le schéma représentatif de cette gamme pour voir que l'ensemble des cinq notes dont il s'agit rattache à ré y et non à do. Cette

combinaison, considérée comme gamme de do, est donc dépourvue de valeur musicale et n'a qu'une existence artificielle, puisque les cinq notes de la combinaison tendent nalurellement à i-attacher à n;^ et non à do.

CIIAIMTUK 1. — GÉMÎRAMTKS. 3 >. I

507. iVota. — Nous avons vu, dans ce (|ai précède, notamment au n° V97, que, parmi les tonalités fondées sur un certain nombre de facteurs, les plus simples, les seules vraiment naturelles sont celles qui sont formées au moyen des facteurs les plus petits: ainsi, parmi les tonalités engendrées par doux facteurs seulement, la tonalité digène par excellence est celle ijui est formée par les facteurs ? et 3 ; nous conviendrons donc que, dans ce qui suit, les épithètes de

inonogènc, i/igènc, Irigè/it' et tctragèiic.

employées sans spécifier la nature des facteurs générateurs, désigneront toujours les tonalités fondées sur les groupes de facteurs les plus simples, savoir, respectivement :

Cette convention, (jui a l'avantage de simplifier Ijeaucoup le discours, ii'empècho pas de désigner clairement, si besoin est, toute autre tonalité quelconque, puisqu'il suffit de spécifier les facteurs sur lesquels elle est fondée. Ainsi, pour dénommer la tonalité formée par les facteurs 2 et 5, il suffira de dire : /a tona/itr digène 2.5.

IILITIK.ME l'AniIE. — GAMMES DIVKRSES.