CHAPITRE III. - r.AMllES TRIGENES

551. Examinons maintenant les dix schémas de sept sons occupant le bas de ce Tableau (y/^'. 317), et voyons quels septains ils peuvent représenter.

Tout d'abord, il y a lieu d'éliminer les schémas n"" 2, k, 6, 7 et !), cai', d"après ce (|ui a été vu plus haut {Ratiachement, n° 285), un groupe de sons occupant trois lignes et (juatre colonnes rattache à la ncte située sur la seconde ligne et sur la seconde colonne; or cette note fait défaut dans les cin([ schémas précités ; ceux-ci ne correspondent pas à des gammes suffisamment simples, et il reste seulement à considérer les cinq autres schémas, savoir :

NM fa do sol ré

la mi si

N°3 fa do sol

re la mi si

Si

fa do

sal ré

a ni dp S3l ré !>

N°8 N°iq

fa do sol né la

fia

Pour la raison qui vient d'être rappelée, les trois derniers schémas rattachent respectivement à ré, sol et si, et représentent par conséquent des gammes ayant ces notes pour Ioniques.

Pour une raison analogue, chacun des deux premiers schémas rattache à une note de sa seconde colonne et, de préférence, à celle qui est située sur une ligne de quatre notes; ces schémas représentent alors les gammes de do et de la\ mais ils peuvent aussi, quoique moins simplement, rattacher à celles des notes de la seconde colonne qui est située sur une ligne de trois notes; dans ces conditions, ils représentent deux autres gammes, moins simples que les précédentes, et qui sont les modes de mi et de/«.

En déhnitive, les gammes que nous parvenons à former avec sept notes échelonnables par quintes sont au nombre de sept et sont précisément semblables aux sept gammes palétypes.

552. Si l'on se reporte à la double comparaison à laquelle nous avons eu recours plus haut, on voit que le cas des sept gammes formées avec les sept notes naturelles différemment combinées est analogue, non pas à celui de la statuette de Tanagra, mais bien à celui du jeu d'enfant composé de parties se prêtant à des arrangements différents : de même que chaque dessin du jeu (si l'on rectifie par la pensée certaines incorrections de détail) représente un objet réel, de même chaque gamme (si l'on rectifie certaines notes d'un comma convenable) correspond k un substratum mathématique simple, en sorte que, pour la gamme comme pour le jeu, les mêmes parties peuvent former des touls différents présentant chacun un sens intelligible.

On eût été au contraire dans le cas illogique et incompréhensible de la statuette de Tanagra si l'on avait du admettre que, dans les diverses gammes, les notes sont toujours représentées par les mêmes nombres : pour certaines toniques, quelques notes eussent correspondu à des rapports trop complexes; autrement dit, un môme schéma de sept notes n'aurait pu être rattaché simplement à chacune de ses notes constitutives.

C'est cette invraisemblance que l'on serait obligé d'admettre si l'on voulait interpréter

les gammes précédentes dans la tonalité digène ; toutes les quintes étant uniformément

égales à -> les sept gammes palétypes disposées par quintes ascendantes auraient pour

formule :

fa do sol ré la mi si — N

a)"7(r7(rv(97(0'7a)"7ar

où il faudrait attribuer à /i les valeurs

suivant qu'il s'agirait respectivement des gammes de

fa, do, sol, ré, la. mi, si.

Or, même pour « = o (gamme de ré), cette formule donne des valeurs fort complexes;

et pour les valeurs extrêmes de », pour «= 3 par exemple (gamme de fa), elle fournit

pour la septième quinte la valeur I-) > ce qui, pour le IV" degré de la gamme, correspond

à la fraction inadmissible

:!i = J- /ly = iî! = "-^.

En tonalité trigène, on ne rencontre pas de telles invraisemblances, car on trouve presque autant de schémas qu'il y a de gammes. Deux fois seulement le même schéma correspond à deux séries d'N, c'est-à-dire à deux gammes différentes, et dans chaque couple de deux séries d'N, la seconde est plus complexe que la première; mais cette plus grande complexité des formules correspond très exactement à la réalité musicale : les modes de mi et de fa sont en etTet plus complexes respectivement que les gammes de do et de la, et c'est pourquoi ils sont arrivés à tomber presque complètement en désuétude.

553. Reniarque. — Nous avons fait observer plus haut (second renvoi du n° oi8) que, dans l'étude des gammes palétypes, nous donnions aux sept notes naturelles une définition autre que celle adoptée antérieurement. Il est nécessaire de faire remarquer ici quelle est la conséquence de cette difTérence de définitions et quelle est en réalité la constitution des gammes palétypes; à cet effet, nous transposerons en do les sept gammes palétypes, en exécutant l'opération par deux procédés différents :

Premier procédé. — Reproduisons les schémas des sept gammes en attribuant uniformément le nom de do à la note jouant le rôle de tonique; quant aux autres notes, dési-

Fi-. 3i(i. réb lat» mr'b si'l)

gnons-les d'après leur position par rapport à do, en leur donnant les noms qui leur sont attribués dans le rectangle chromatique {fig. 3 19); nous obtenons ainsi les sept schémas suivants :

Fig. .S20.

Gammes de do

réiype îhitype fatype soltype latype sitype dotype

mil' sib réb làb mil" sib sib lab mi.b sib reb lab mib sib

fi dD sal ré

do sol pé I3 do S(

fa do sol

Jl !•

I3 mi ■ si faS la mi

fe do sol re

ht la mi SI

CHAPITRK Ut. GAMMES TRIGÈNES. 353

Deuxième procédé. — Transposons à la faron habituelle, c'est-à-dire adoptons uniformément la série de sept notes do, ré, mi, fa, sol, la, si, mais en modiflant ces notes à l'aide d'une armure convenable. L'armure à employer se trouve facilement en jetant les yeux sur la figure suivante :

Kijx- 331.

SOlb rét> lati mit Slb

fstype doljpe soltype retype latjrpe mitype sitype

Dans cette figure, chaque gamme palétype est représentée à l'aide d'un angle de forme appropriée, montrant entre ses côtés les sept notes de la gamme et, en regard de son sommet, la note jouant le rôle de tonique; pour transposer en do la gamme de fa fatype, il suffit évidemment de transporter l'angle i d'une quinte vers la droile, c'est-à-dire d'armer la clef d'un dièse; de même, pour transposer en do les gammes de .vo/ soltype, ré rétype, etc., il suffit de transporter les angles 3, 4, 5, 6 ou 7 d'une, deux, trois, quatre ou cinq quintes vers la gauche, c'est-à-dire d'armer la clef d'un, deux, trois, (juatre ou cintj bémols. Les armures à employer seront donc les suivantes :

Gammes de do Armures :

rétype mitype falype soltype latype sitype dnivpe

Comparant les schémas fournis par le premier procédé et les armures fournies par le deuxième, on constate qu'on a obtenu pour la gamme sitype deux transpositions différentes, savoir :

I" procodé : do rtM iiii^ fa

1° procédé : do rcy mi -y fa

la, ta-,

Il est facile de s'expliquer la cause de cette discordance :

Les notes de la gamme sitype ont des valeurs numériques définies sans ambiguïté par le schéma représentant la façon dont cette gamme a été engendrée. Dans la figure ci-dessous, ce schéma, répété deux fois, représente deux gammes sitypes, à gauche celle de do et à droite celle de si; mais, dans le schéma de gauche, les notes ont été dénommées d'après leur place dans le douzain chromatique, c'est-à-dire conformément à la définition ordinaire, tandis que, dans le schéma de droite, elles ont été dénommées conformément à la définition spéciale d'après laquelle nous avons engendré les gammes palétypes (').

do sitype

si sitype

( ' ) Voir le deuxième renvoi du n° 548. G.

C'est ainsi (]ue, dans la gamme de si, les notes /« et do occupant les extrémités d'une des diagonales du rectangle sont censées former quinte; or, leur intervalle, valant Os, n'est que gétophone à la quinte et vaut en réalité une sixte majeure bidiminuée ('), ainsi qu'on peut s'en rendre compte en considérant, sur la figure 3i2 (n° 5i9), le vecteur n; si'i^ qui définit l'intervalle Os (")• Donc, la définition spéciale que nous avons donnée aux notes, à l'occasion des gammes palétypes, bien que paraissant semblable à la précédente, ne lui est conforme que gétophoniquement. Et si nous voulons donner aux notes de la gamme de si sitype des noms en harmonie avec les définitions habituelles, nous pouvons laisser aux notes si, mi, la, ré, sol, do les noms qu'elles ont reçus dans la figure ci-dessus, mais, pour la note désignée par fa sur cette figure, nous devons reconnaître que, par rapport à do (la note diagonalement opposée), elle offre un intervalle de sixte majeure bidiminuée (ou de tierce mineure bisaugmentée), en sorte que son nom véritable n'est pas/rt mais mj; (^); la constitution véritable du mode de si est donc la suivante :

si do rc mi mi:: wl lu

On voit que, sous cette forme, la gamme de si sitype est bien l'exacte transposition de la gamme de do sitype; on constate, en outre, que la gamme sitype appartient au genre chromatique et non au genre diatonique.

Il n'y a pas d'autres gammes palétypes donnant lieu à une particularité semblable: en clTet, celte particularité résulte de ce que l'intervalle Oa est entré dans la constitution du schéma de la ganmie sitype; or, tous les schémas (schémas n"' 2, 4-, 6, 7, 9 et 10 delà figure 317, n" 350) qui contenaient l'intervalle Oj ont été éliminés antérieurement, à l'exception précisément du schéma sitype (schéma n° 10).

IDKNTIFICATIOX DES GAMMES PALÉTYPES.

554. Si l'on s'était proposé uni(iuement d'identifier les sept gammes palétypes, c'est-àdire de trouver (juelles sont, en tonalité trigène, les positions respectives de leurs notes, on aurait pu obtenir bien plus rapidement ce résultat eu procédant comme on l'a fait plus haut pour la gamme chromatique tonique (n° oV3), c'est-à-dire en considérant les sons

(') Inteivallc ilélini plus liaut, n" 532.

(') Ou bien encore en considérant, dans la figure Zii ci-dessus, le vecteur /ai re'-. qui a pre'cisiimont été cité plus haut (n" 532) comme exemple de sixte majeure bidiminuée.

(') D'une façon générale, si l'on ne prend en considération que les sons du douzain. quand une note forme avec la tonique l'intervalle do triton, comme ai dans le mode de fa. ou fa dans le mode de si. ce triton doit être interprété loninic quarte augmentée, et non comme quinte i/iminuée. Il suflit. pour s'en rendre compte, de remarquer que. dans le reclaiifîle chromatique de do, on rencontre /«s et non soh. Pour rencintrer ce dernier, il faut prendre en

SOII,

fa«

considération, non pas seulement les douzi' rapports les plus sim|iles, comme udus l'avons fait jnsqu'ic', mais d'autres encore. Kt, mèaie dans ce cas, tout son formant triton avec do s'interprète comme fat p'.utot que comme ïo/.-., car les intervalles do quarte augmentée ot de quinte diminuée, étant rcnver-sement l'nn de l'autre, correspondent à des notes /as et sol:' occupant sur le quadrillage du plan des 3 et des 5 dos positi.ns symétriques par rapport à do; cl il est évident que /a; n'ayant do facteurs ordinaires qu'en numéralonr, so/.n, qui e.st s.n inverse, formera un rap|iorl plus complexe : c'est donc toujours le rapport do/at que loroille tendra à comprendre, do préférence à do soir-

CIIAPITniî III. — fiAMMES THIGÈXES. SS-J

déiinis par la condilion de présenter les intervalles conjoints ci-dessous désignés en grades :

do rr mi fa sol la f/ do