NOMBRES ET INTERVALLES MUSICAUX

ARTICLE I. — Nombres musicaux.

44. Les notes employées dans les tonalités engendrées par les seuls facteurs 2, 3 et 5 auront évidemment pour N ou pour L les nombres que nous pouvons former en combinant ces trois facteurs les uns avec les autres de toutes les manières possibles.

Nous distinguerons ces facteurs entre eux en appelant le premier prùnlégié, et les deux autres ordinaires; nous désignerons sous le norii de nombres musicaux les nombres qu'ils permetttent de former.

La série des nombres musicaux étant illimitée, nous nous bornerons à former, à titre d'exemple, ceux de ces nombres qui n'excèdent pas 1024 ou ■2'".

45. Pour former les nombres contenant uniquement des facteurs ordinaires (3 et 5) il suffit évidemment de procéder ainsi :

1° Disposer, sur deux lignes perpendiculaires entre elles, d'une part les puissances de 3, savoir i, 3, 9, 37, . . ., d'autre part les puissances de 5, savoir i, 5, 25, laS, ....

Pig. 29.

2° Combiner ensuite entre elles les puissances de 3 et celles de 5, en opérant comme pour former la Table de multiplication dite Table de Pytiiagore.

La Table ainsi obtenue présentera évidemment tous les nombres ne contenant que des facteurs 3 ou 5.

Les autres nombres musicaux ne sont que des octaves de ceux que fournit la figure ci-dessus et s'obtiendront en multipliant ces derniers par 2, 4, 8, . . ., s", ....

46. L'ensemble des nombres musicaux est facile à représenter sur[une figure à trois dimensions. Soient o.xvz trois axes rectangulaires {Jîg. 3o, 3i et 32); portons les puissances de 3, de 5 et do 2 respectivement sur les axeso.r, oy et oz\ combinons ensuite ces nombres entre eux en procédant pour cette figure à trois dimensions comme pour la figure plane du n° 45; nous obtiendrons ainsi le résultat représenté par la figure 32: dans le plan

CIHPITRE III. — NO.MBRIiS li l' INTERVAI.I.ES MUSICAUX. 'l-J

horizontal xoy, nous aurons, comme dans la figure 29, toutes les combinaisons des

facteurs ordinaires, et la verticale issue de chacune de ces combinaisons passera par les points représentant toutes les octaves de la combinaison.

Considérons, par exemple, le point représentant le nombre 60 {fig. 3i). Si ses trois

coordonnées avaient été prises égales aux trois nombres 4, 3 et 5 qu'elles représentent, le volume du parallélépipède formé par elles aurait précisément pour mesure 60, c'est-

a8 PHKMlEnE PARTIE. — CONSONANCE.

à-dire la valeur du nombre représenté. Dans ces conditions les surfaces d'équivalence (') seraient évidemment définies par l'équation

.ri 3 = cnnst.

correspondant à une surface du 3= degré difficile à représenter graphiquement.

On obtiendra une représentation beaucoup plus simple en procédant comme il a été fait pour la figure 32, c'est-à-dire en donnant aux coordonnées des longueurs égales, non aux nombres représentés, mais à leurs logarithmes; dans ces conditions, le volume du parallélépipède formé par les coordonnées d'un nombre ne sera pins égal à ce nombi'e, mais la somme des trois arêtes concourantes du parallélépipède, c'est-à-dire la somme des trois coordonnées, sera égale au logarithme du nombre. L'équation des surfaces d'équivalence devient alors