X -t-jc -H .z = const

et correspond, par conséquent, à une série de plans parallèles également inclinés sur les parties positives des trois a.xes coordonnés. A titre d'exemple la figure 32 représente, par ses traces sur les trois plans coordonnés, celui de ces plans d'équivalence qui passe par le nombre musical 48.

On trouvera dans le Tableau suivant les premiers nombres musicaux rangés par ordi'C de grandeur croissante et accompagnés de leur décomposition en facteui'S premiers.

3oo

4(io

5oo

as. 3»

( ' ) Un enknd ici par surface d'cquivalencc une surface contenant tous les points représentant des nombres équivalents, c'est-à-dire de même valeur. En réalitiî la surface d'équivalence passant par le point représentatif d'un nombre musical donijé ne passe ex.actement par aucun autre nombre musical, parce qu'un même nombre ne peut être décomposé que d'une seule façon en facteurs premiers ; mais elle passe très près des nombres qui sont gétopliones ( terme défini plus loin, n° .'i25) du nombre donné, c'est-à-dire qui n'en diffèrent que par un petit comma. La surface d'équivalence est utile à considérer parce qu'elle divise l'espace en deux régions, celle qui est du côté de l'origine des coordonnées, et qui contient tous les nombres inférieurs au nombre donné, et celle qui est du côté opposé et contient tous les nombres supérieurs.

riiu-rniE m. xosibres et intkbvam.ks musicm x.

ARTICLE II. — Intervalles les plus simples.

47. Les intervalles que peuvent former entre eu.v les nombres musicaux sont évidemment innombrables. Nous allons examiner les plus simples.

D'après leur défuiilion môme, les nombres musicaux peuvent représenter soit des N, soit des L. Iians le présent article, nous les emploierons comme représentant des N (').

Il résulte du Tableau du n° 15 qu'exprimée en N, roctave dofdo^ correspond à-> la

quinte do^sol, à - et la tierce majeure cM,/««, à - ■ Donc, si i représente rfo,, - et - seront

soi, eisoL; de même -i - et - seront mi., /ni„ et mi,. En définitive, les rapports - et - cor-

respondent respectivement à la quinte octaviée et à la tierce majeure doublement octaviée; et, si l'on ne tient pas compte des octaves, on peut dire que les facteurs ordinaires 3 et 5 caractérisent respectivement la quinte et la tierce majeure, de même que le facteur privilégié i caractérise l'octave.

48. Cette remarque permet de trouver facilement les noms de notes données par leurs N.

Ainsi, pour les notes correspondant aux nombres inscrits sur la figure 82 (n°i6), on voit que toutes celles qui occupent une même verticale sont des octaves de plus en plus éloignées de la note située au pied même de la verticale (c'est-à-dire située dans le plan horizontal formé par les axes des 3 et des 5); les notes du plan horizontal sont donc seules distinctes et il suffit de les considérer.

Fig. 33.

fa

do ..3\

sol ..36.,

{n ilo sol ré la ini si fa^i

/'/ //// ,v/ fui do'i sol^ re-^

da'S soli ré'fi hil, iiiii sii

//«S .v/; ftix doK '.'.'.'.'. 5' 3. )4. ..3^5^.. 33. 54. ... : : : : :

.vo/x réx. '.'.'.'.'.'.'.

si>- '.'.'.:'.'.'. '.

Dans la figure 33, où elles sont reproduites, on voit que ces notes se trouvent disposées

( ' ) Les motifs de ce choix apparaîtront plus loin. ( Voir Article III, n"' hl et suivants).

30 PBEMIERE PAnTIE. — CONSONANCE.

par rangées de deux espèces difFérentes; les unes s'étendent de gauche à droite et les autres d'avant en arrière; conformément à l'usage des algébristes, nous donnerons aux premières le nom de lignes, et aux secondes, celui de colonnes.

11 est évident que les notes s'échelonnent par quinte dans une même ligne et par tierces majeures dans une même colonne. Donc, si l'on donne un certain nom à la note que représente le nombre i, par lequel commencent la première ligne et la première colonne, si on l'appelle ré^<^, par exemple, les noms de toutes les autres notes se trouvent déterminés; ainsi la première colonne s'échelonuant par tierces majeures représente les notes

ré'^, ja, la, </»;. ""5. .to/x, six. elc.

Quant aux lignes, puisque les notes s'y échelonnent par quinte, celles de la première ligne, par exemple, sont

ré\i, la\), mi\), «'[>, ja. do, sot, rc, la, etc.

49. Il est évident que, dans un auadrillage ainsi réglé, tout vecteur, c'est-à-dire toute

Fisr. 3',.

flèche telle que A ou B {voir Jig. 34), représentera respectivement (à l'octave près), une quinte - ou une tierce majeure -; de même des flèches autrement tracées représenteront, savoir : C, une tierce mineure -; D, une sixte majeure -; E, une septième majeure — ■ etc (').

50. Ceci posé, examinons successivement les intervalles les plus simples.

I ' ) n est évident qu'une flèche donnée en grandeur, direction et sens définit entièrement un intervalle musical considéré en lui-même, mais non pas les notes dont il est formé : celles-ci dépendent de la position de la flèche sur le quadrillage. Ainsi, les quatre schémas ci-dessous :

FiK. 34-a.

représenteront toujours respectivement les quatre accords connus .sous les noms de parfait majeur, parfait mineur, -' <\c dominante, 7° diminuée. Quant aux notes formant ces accords, elles dépendront uniquement de la base de r.iccord. c'est-à-dire de la note du quadrillage servant de point de départ au schéma considéré.