CHAPITRE IV. t.VM.MICS Ti;TllA(il-:NES
rons comme base le rectangle prùcédent; comme hauteur, nous nous bornerons à prendre deux facteurs 7, non seulement parce que la complexité des notes engendrées augmenterait avec le nombre de facteurs 7 adopté, mais aussi parce qu'en employant un plus grand nombre de facteurs 7, on ne ferait, comme on le verra, que produire des noies gétophones des premières; ces notes supplémentaires, étant à la fois de même hauteur ( sensiblement) et de formules [dus complexes que d'autres notes déjà engendrées, seraient le plus souvent inutiles, car l'oreille interpréterait généralement les sons entendus comme correspondant aux gétophones les plus simples.
En définitive, les notes que nous considérerons seront figurées par un réseau trirectaugle formé par quatre plans normaux à l'axe des 3, quatre plans normaux à l'.axe des 5, et trois plans normaux à l'axe des 7.
De ce que l'on a vu plus haut {Rattachements) on peut conclure ([u'un tel ensemble de notes rattachera à celle qui est située dans le second des plans de chaque série parallèle; nous affecterons donc à cette note la valeur i et le nom de do, et l'ensemble des notes que nous considérons formera une gamme de do représentée par la figure 3 (4.
625. Il est évident que ces quarante-huit notes se répartissent en trois seizains trigènes situés respectivement dans les trois plans normaux à l'axe des 7 ; distinguant ces plans les un des autres d'après la puissance de 7 qu'ils représentent, nous les dénommerons respectivement 7"', 7" et 7'.
Puisque nous avons donné le nom de do à la note qui, dans le plan médian 7". est représentée par l'unité, toutes les autres notes de ce seizain sont, de ce fait, déterminées et ont pour noms ceux qu'indique la figure 336 (n» 613).
Quant aux nombres des deux autres seizains, il est facile de se rendre compte des notes qu'ils représentent.
Considérons la note située à un facteur 7 au-dessus de £/o= 1 ; si on la ramène dans
l'octave de ce do, sa formule devient '-■, comprise entre /« = - et «— — ; l'intervalle avec la est
légèrement supérieur au dièse — ; la différence entre ces deux intervalles — et — n'est en effet (jue de
c'est donc un comma.
Afin de faciliter l'exposition, nous adopterons pour ces intervalles les noms et les notations qui suivent :
L'intervalle — sera représenté par n et dénommé dièse téirasçcne (ou carré).
L'intervalle inverse — sera représenté par v et dénommé brinol tétragène ( ou triangle) ( ' ).
Le comma — ^ sera représenté par œ", et dénommé comma tétragène.
L'intervalle inverse -— sera représenté par 7'" et dénommé anticomma tétragène.
Ceci posé, il est facile de voir, en se reportant à la figure 34V(n°()2.'i-), que la note située
immédiatement au-dessus de do doit être dénommée /«a et (jue l'intervalle d ou — est
représenté par le vecteur (flèche dirigée vers le haut) joignant les notes la et /«q; les notes du seizain situé dans le plan 7' s'obtiendront donc en affectant d'un dièse tétragène
(' ) l'our se ra]i|ifk'i' la signification de ces signes, il sul'lit ilo remarquer l'analogie de lornie existant entre aeeidi-rjts de même rùle. eeux ([ni élèvent : î, Q. [], et ceux qui abaissent : h, p, [7.
Î8S HUITIÈME PARTIi;. — GAMMES DIVERSES.
toutes les notes d'un seizain situé dans le plan 7°, et ayant pour tonique, non pas do, mais la, tierce mineure descendante de do\ et comme le vecteur représentant n := —
devient 7= — si on le prend en sens inverse, on voit serablablement que la note - (ou - \
située au-dessous de do. peut s'obtenir en affectant d'un bémol tétragène la note w(' > ( t ou t ) .
tierce mineure ascendante de '/o.En définitive, si, dans le plan 7". on forme trois seizains fondés respectivement sur la note do et sur ses deux tierces mineures la et miy (voir
CIIAPITRK IV. - (.^.MMES TÉTRACÈNES. 3K;)
fig. 345), le premier de ces seizains sera précisément le seizain médian de la figure 344 (n" 624); quant aux deux autres, qu'il est facile de former en composant les notes du premier avec les intervalles a, ;, tt ou y, \}, p, il suffira de les affectei- respectivement des accidents tétragènes □ et 7 pour qu'ils représentent les seizains des plans 7' et 7-' de la figure 344 (n" 624.). Les noms des quarante-huit notes considérées sont donc ceux qu'indique la figure 346 ci-dessus.
626. Il va de soi que beaucoup de ces quarante-huit notes doivent se confondre les unes avec les autres, car, même si elles étaient également espacées (et il n'en est rien), leur
intervalle serait de — d'octave, c'est-à-dire à peu près d'un comma ^\-^. d'octave j.
Pour se rendre compte de leurs positions respectives, il suffit de les représenter, comme on l'a déjà fait pour les notes du douzain et du seizain trigènes {fig. 333 du n° 611 et fig. 337 du n° 61.3), au moyen d'une graduation rectiligne dont les traits sont disposés les uns à côté des autres, ainsi que les touches d'un clavier. Toutefois, en raison de la petitesse de plusieurs des intervalles à représenter, nous emploierons ici une échelle moitié plus grande (112""', .5 par octave) que celle des figures 333 et 337 précitées; à cette nouvelle échelle, le seizain du plan 7° est représenté par :
do
Fi-.
do
A la môme échelle, les tierces mineures diminuées laudo et domi]^^ sont représentées par des points ainsi disposés ;
Fiîf. SAS.
laD
do
A partir de chacune de ces trois bases, appliquons la graduation représentative du seizain trigène (/'g. 34-), et marquons les points de cette graduation qui sont compris
Fig. H',9.
sittiOtiûD dowD réi/D reiU
52J 2ÎI
513 îb
3li 26^
miiD mi(tDf^Dfe:wD 1à»nD
solOsblftO laP laHÛsijPD siiD
dq
tJottrèP 26 1^
dotlFrébP réV
225 36 25 224 35 lu-
rèn mibi mi ; fei ; fat|
60I 1 soltf l^b la I lall!
1' il à. 1 '. Hê
miiV mWfsW fajrFfall^sàlt'f.SBlP \aW
do
laif
Il !ïÊ.
sibjP si(7dobl7 dbI7
SçiO HUITIÈME PARTIK. — GAMMES DIVERSES.
entre la note do et son octave; nous obtenons ainsi la flgui-e S^g ('), qui représente à l'échelle adoptée tous les intervalles des notes de la figure 3:i6.
EXPRESSION DES NOTES EN IMTÉS Z .U ..r ..c" .
627. De même que les notes trigènes peuvent s'exprimer en unités z.u.x, les notes tétragènes peuvent être représentées par des formules monômes composées de puissances des quatre paramètres z. u. x et x'" . Pour trouver ces formules, il suffirait de répéter algébriquement les opérations qui viennent d'être exécutées graphiquement.
Dans le seizain trigène. les seize intervalles conjoints, exprimés en unités z.u.x. sont évidemment :
Fii;. 35n.
do ré mi fa sol la si do
, u 4/£:i ux '; U. i.^i t^. i X i ujc . x , u- i^; u i. ux l^l u ; X .
D'autre part, les trois bases des seizains dont l'ensemble forme la série de quarante-huit
Ki». 35 I.
do mij7 'a D do
sons considérée ont pour formules
Z'-JC , ^ ,„
Parlant de ces bases, et appliquant successivement les intervalles conjoints du seizain, on formerait sans difficulté les formules des sons considérés.
Il va de soi que ces quarante-huit notes ne seraient que les diverses formes de sept degrés distincts, car. ainsi qu'on l'a fait observer plus haut {roir n^aâO), l'intervalle d'octave ayant pour formule - ^z' u'x^ est du septième degré en ;.
