A JJ C D E L
ne pourraient contenir le facteur .5 qu'en dénominateur, mais non en numérateur, et. comme X' est égal au produit de X par une certaine puissance positive de 5, les rappc" t;'.
ne différeraient des précédents que par la présence en dénominateur de facteurs -J plus nombreux, et seraient, par suite, plus complexes.
De même, le nombre R ne peut être situé au-dessus du rectangle enveloppe, car, s'il était placé comme Y', il donnerait un rattachement moins simple que le rattachement au nombre Y, obtenu en abaissant Y' à la hauteur du rectangle enveloppe. En elfet, les rapports
ne pourraient contenir le facteur 5 qu'en numérateur, mais non en dénominateur; et. comme Y'' est égal au quotient de Y' par une certaine puissance positive de 5, les rapports
ne différeraient des précédents ijue par la présence en numérateur de facteur- 5 plus nombreux, et seraient, par suite, plus complexes.
En raisonnant sur les puissances de 3 comme on vient de le faire sur les puissances de ■'>, on verrait de même que R ne peut être non plus ni à droite, ni à gauche du rectangleenveloppe : il doit donc être dans ce rectangle (ou sur son périmètre ).
260. -Montrons maintenant que le point R se trouve dans le pentagiiae-enveloppe défini plus haut (ou sur son périmètre): nous ferons d'abord les trois remarques suivantes :
I" Par rapport aux carreaux dont se compose le quadrillage du plan des 3 et des .j, le centre W du rectangle-enveloppi' peut occuper quatre espèces de positions : ou Inen en "W,,
au centre d'un carreau; ou bien en W», au milieu d'un cùté parallèle à l'axe des 3 ; ou bien en W3, au milieu d'un côté parallèle à l'axe des ■'> ; ou bien enfin en W*, sur l'un des
ciiu'Uri; iv. iiatiaciikment ue qiathk, ci.Ny i;t si\ sons.
points du quadrillage. Dans ce dernier cas seulement il correspond à une noie réelle, de sorte que trois fois sur quatre (en moyenne) le nom])re W est incommensui'ahle. 2" Soient U et U' deux nombres symétri.juemcnt disposés par rapport au centn- W du
rectangle; il est évident que, si W contient se facteurs 3 et p facteurs ■> de plus que L {x et [3 étant d'ailleurs positifs ou négatifs et entiers ou fractionnaires ), on aura
i» >: "il^
Soient maintenant deux autres nombres RetR' également symétriques par rapporta W; les rapports de R et de R' à W seront de même forme que les précédents, et. si y et 0 sont des nombres analogues à oc et (3, on aura de même
Formons maintenant les rapports de U et de U' à R et à R'; nous aurons
Ainsi, quel que soit celui des deux nombres R et R' qu'on prenne pour nombre de réfél'ence, les rapports obtenus en leur comparant U et U' auront les mêmes termes, mais ceux-ci seront permutés entre eux, les numérateurs afférents à R devenant les dénominateurs afférents à R', et inversement. Mais de ce que nous avons vu plus haut, notamment dans la Première Partie {Consonance, n"^ 58 et suivants), il résulte que, quand deux fractions sont inverses l'une de l'autre, celle qui correspond à l'intervalle nmsical le plus simple est celle qui possède le dénominateur le plus simple.
Il suit de là que si, comme le suppose la figure ifii , R est plus près que R' du géniteur. il fournira des rapports plus simples et devra être préféré à R' comme nombre de référence.
3° Représentons encore par POST {von- Jig-. 162) le rectangle-enveloppe contenant les nombres proposés, par L le plus grand d'entre eux, et par W le centre du rectangle; appelons LL' et W les lignes d'équivalence passant respectivement par L et par W; enfin désignons par 3'" et J" les deux dimensions du rectangle. Il est évident que T = P x 3'" x •">" est le plus petit commun multiple de tous les nombres du rectangle, et que P est leur plus grand commun diviseur, ou géniteur des nombres proposés. Quant à W, il est pour ainsi dire le médiaire du rectangle, car (s'il correspond à une note réelle) il est le médiaire (')
(') Ou ri..t:ivf iiiciliaii'o.
lliS C NQIJIK.MI-; PAllTIi:. — lUri'ACIlEMENTS.
(le loLit con[)Ic de iloux poinls, lels (jue 1' et T ou H et S, syniLMiiqucnieiil pjhicés par. rapport à lui.
Fi-. i6-...
261. Voyons mainlenanl (|iielle est riiilluence de la place occupée parle nombre île référence R sur la plus ou moins jurande simplicilé des rapports
Cas R = P. — Si R coïncide avec P, tous ces rapports ont des dénominateurs de sini-
A li C
plicilé niaxinia, car, Pétant géniteur, tous les quotients jTj |t. .-^ •••' etc., sont entiers,
<-'est-à-dire onl pour dénominateur l'unité; eu revauclie, les luunéraleurs ont la cumplexité nia.\iiiia.
6V/.V R zzT. — Si R coïncide avec T. ce sont les numiTaleurs qui acquièrent la simplicité niaxima, en devenant tous égaux à l'unité; les déniuninaleurs ont la complexité ULaxima.
Cas R = W. — Si R coïncide avec W, les numérateurs et les dénominateurs des rapp(U'ts ont des complexités intermédiaires entre celles qu'ils présentaient dans les deux cas (;xlrômes prccédenmient envisagés; par exemple, en ce qui concerne les quatre angles el le centre du rectangle, les valeurs des fractions afférentes aux diverses positions de R sont les suivantes :
Kn délinitive, l'adoption deW comme nombre de référence répartit également entre les termes extrêmes la complexité inhérente aux dimensions du rectangle-enveloppe, et. comme la simplicité des dénominateurs a plus d'importance que celle des numérateurs, il s'ensuit que R devrait se trouver entre P et W, si les nombres donnés à ratlaclier com-
i:ii\i'rnii; iv. h \TTAcm;.Mi;M' di: ()i M'IH- t'^Q '-^T six sons. M".)
prenaient, soit tous les nombres du rectangle enveloppe, soit, plus généralement, une série de couples de nombres deux à deux symétriques par rapport à W ( ').
Aiiircs cas. — Mais, les nombres proposés pouvant être répartis très inégalement dans le rectangle, voyons comment varient leurs rapports à 11, lorsque ce dernier noudire, quittant la position W, vient occuper d'autres positions quelconques telles que les points />, 7, .«, t, situés respectivement dans les quatre quarts du rectangle PQST. Il est manifeste que, si
-iQ
Ton représente par ;x et v des exposants de valeur variable, mais essentiellement p(isitifs, les rapports de W aux quatre points p, q. s, i seront de la forme
Il est manifeste aussi que - —
X ~ , cest-à-dire que les rapports des nombres proposés à une valeur particulière de R, telle que U—p, peuvent s'obtenir en partant des rapports atférents à la valeur centrale R = W, et en les nmlti]iliant lous ])ar le
quotient —
Or, quand R — W, la conqilexilé inhérente aux dimensions du rectangle esl, comme on
l'a vu, également répartie entre les numérateurs et les dénominateurs; donc, si R passe
W 3p- V de W kp, tous les rapports venant à être multipliés par — =; — '— , tous les dénominateurs
se simplifient aux dépens des numérateurs; si R va au contraire en /, c'est pi-écisément l'inverse. Mais, si R va en </ ou en s, toute fraction qui se simplifie par rapport à l'un des deux facteurs 3 ou -5 se complique par rapport à l'autre, et inversement.
En définitive, quand R se déplace dans le sens de la diagonale QS, toute simplification par rapport à l'un des deux facteurs ordinaires est compensée par une complication par rapport à l'autre, tandis que, quand R se déplace dans le sens de la diagonale TP, les complexités des fractions par rapport aux deux facteurs 3 et .'3 diminuent ou augmentent simultanément. Ce soiit donc les déplacements de ce genre qui ont l'infiuence la plus sensible
sur la plus ou moins gi'ande simplicité des rapports j- . 77 ■ rj- etc. (]ette influence est mise
en évidence par la figure suivante, montrant que toute position de R détermine dans le rectangle-enveloppe deux régions intéressantes, indiquées par deux espèces de hachures, les unes siinjiU-s, les auti-es croisées. Dans la région aux hachures simples, ou région simple, les dénominateurs sont simples (au détriment des numérateurs), et dans la région
( ' ) L'.wi il'ailk'Ui'S iiVsl qu'une conséiiuonci' (iviilcuti' ilf hi <leu.\irnie ivuiurquc ilu n° 2G0.
17" CINQUIÈME PARTIK. — RATTACHEMENTS.
aux hachures croisées, ou région croisée^ des dénominateurs sont complexes (à l'avantage des numérateurs i.
l'-is- .'il-
262. Ceci posé, remarquons que, quand les sons donnés à rattacher sont surtout groupés près de l'angle P ou le long de ses côtés (ensembles les moins dissonants), le point R tend à monter au-dessus de W (fig- i65), de façon à réduire la région croisée dans laquelle les rapports à R ont des dénominateurs complexes. Dans ce cas, R étant au-dessus de W, est «/o/7w/7' au-dessus de LL'.
Fi-.
Dans le cas inverse, c'est-à-dire quand les sons à rattaciier sont au contraire plutôt groupés vers l'angle T, ou le long des côtés de cet angle, il se peut que 11 descende au-dessous de YV (fig. i66), d'autant plus que peut-être aucun des sons donnés ne se trouve dans la région croisée.
Toutefois, dans ce mouvement de descente, R ne dépassera pas LL', car, plus il s'en rapproche, plus nombreux sont les sons donnés qui se trouvent englobés dans la région croisée et plus rares sont, au contraire, les sons compris dans la région simple (') ; celle-ci se réduirait même à rien si R atteignait LL'; donc R ne dépassera jamais cette ligne, et par suite sera toujours compris dans le pentagone-enveloppe (ou situé sur son périmètre).
Cette propriété du pentagone-enveloppe restreint beaucoup la quantité de nombres musicaux à prendre en considération dans la recherche du nombre de référence fournissant les résultats les plus simples. On trouvera par la suite plusieurs exemples de rattachements exécutés par la méthode du pentagone-enveloppe.
(') En outie, quand R se r,ip])roi;lio du T, lus rapports afîéi'onts à S ut Q so compliquent do plus on plus. Or. si ;îroupés qu'on los suppose dans l'anglo T, il faut toujours bien admettre que les sons donnés à rattacher nuMpreiiuent au moins uno note tollo quo Q et une noto tollo que S : s'il n'en était pas ainsi, on effet, le rectangle aur^ùt une liaiilour moindre quo TQ et uno largeur moindre quo ÏS.
cil M'ITRE 1\ .
HATIVCIIK.MKM- l>K Ql VTHi:. CINQ ET SIX SOXS.
KATTACIIEMENTS PAR I.KS MJMRRKS MUSICAUX.
263. Ce procédé, que nous uvons di'jà appliqué plusieurs fois, consiste, comme un l'a vu, à comparer les nombres donnés eux-mêmes
au plus grand d'entre eux et à tous les nombres musicaux compris entre ce plus grand nombre donné et son octave grave (c'est-à-dire sa moitié).
Nous allons d'abord montrer sur un exemple que ce procédé est aussi général que le précédent; nous comparerons ensuite les deux procédés.
Soient à rattacher les nombres donnés
dont les projections sur le plan des 3 et des "i sont respectivement
iS
Ici, le plus grand des nombres donnés (réseau de l'espace) est 48, et le plus grand des nombres projetés (quadrillage du plan des 3 et des 5) est 45; le plus grand nombre du réseau est toujours supérieur ou égal au plus grand nombre du quadrillage, puisque ce dernier est lui-même égal ou inférieur à l'un des nombres du réseau ( ').
(') Il est évident que teiit nmnl)ie (lu quaUiillage ne peut iHi'e que l'unisson ou lune des octaves graves du nombro du réseau liRUi-é sut- lu même verticale.
1 ;.> riNQlIEMK PARTIE. — RATTACHEMENTS.
Si l'on comxjarait les nombres donnés au plus grand d'enlre eus, 4'^, i3t à tous les nombres musicaux inférieurs (c'est-à-dire à tous les nombres situés au-dessous du plan d'équivalence passant par 48), on comparerait notamment ces cinq nombres donnés aux sept nombi'es musicaux compris dans le pentagone-enveloppe, et par suite au nombre de référence fournissant les rapports les plus simples, puisque ce nombre de référence est dans le pentagone; mais la comparaison à ce nombre de référence se trouvera faite également si l'on se borne à comparer les cinq nombres donnés aux nombres musicaux compris entre 48 et son octave grave 24, car les nombres musicaux inférieurs à 24 ne sont evidenuiient que des octaves graves de nombres compris dans l'octave s'étendant de 24 à 48 : le procédé par les nombres musicaux conduit donc toujours sûrement à prendre en considération le nombre de référence susceptible de fournir les rapports les plus simples.
264. Comparé au procédé précédent, le procédé par les nombres musicaux a l'avantage de ne pas exiger la connaissance des notions relatives au pentagone-enveloppe, mais l'emploi de ce pentagone conduit bien plus rapidement au but. Il est facile de le constater sur l'exemple précédent; en effet, si nous chercliions par les nombres musicaux le rattachement des nombres N: 27/30/40/45/48, nous serions amenés à former les rapports de ces cinq nombres donnés aux huit nombres musicaux 24, 20, 27, 3o, 82, 36, 4° et 4">; le procédé par le pentagone-enveloppe exige seulement que l'on forme les projections des nombres donnés :
Fi;;. i6g.
car un rapide examen de ce pentagone montre que le nombre de référence cherché ne peut être ni sur la première colonne (parce que le rapport afférent à 27 aurait un numérateur trop fort), ni sur la troisième ou sur la quatrième colonne ( parce que le rapport afférent à 5 aurait un dénominateur trop fort) ; le nombre de référence cherché est donc l'un des deux nombres 3 ou i5 de la deuxième colonne. De ces deux nombres, il faut choisir 3, car i j
fournirait avec 27 le rapport complexe j, tandis que 3 fournit seulement le rapport lunaire —^ (ou —, ou -7^, ou -^ > etc., suivant l'octave à laquelle on prend les notes con-
sidérées ) .
Et nous verrons plus loin qu'il n'est même pas nécessaire de procéder au rapide examen ci-dessus indiqué, car la connaissance des pentagones des gammes {voir ci-après, n" 285) suffit ici à reconnaître d'un seul coup d'œil que la note de référence est 3 (ou l'une de ses octaves telles que 3 x 8 = 24, ou 3 x 16 = 48).
SOLITIUNS Sn'I'l.fiMF.MAIRHS.
265. Les raisonnements qui précodent donnent lieu à une oljjection d'apparence spécieuse, qu'il peut être utile de signaler. Considérons pour fixer les idées les notes mi fa — X : i.'>/i6. On a
mi = 1 ") = 3 X ") ,
/rt = 1 0 = •>. X 2 X 2 X 2,
CIIAI'ITRI': IV. IIATTAIMKMI.M 1>E (11 ATRi;. CINQ ET SIX SONS.
en sorte que le rectangle enveloppe est
fa do
et que la comparaison au.x nombres musicaux donne
