il

Il vn di- <ni i|iiu i-cM,i- simpliliciiliini du |ind)l(''iiir ccss. de disliiigiicr entre les diverses octaves d'iiiiu iiiriiir imlr

le des iiiiinbrcs miisii-;iiix impairs, suvnir :

?:,. SI, i:iô. '::::.... .■w.

d'èlr.' adiuissililr t Mili's !,■> fuis (jii'i! sr-i'ait née

CIIAPITIIE IV.

Désignons (Jig- i5S) p;ir

IIMIACIIEMENT l)K (.llATnK. (IXQ ET SIX SONS.

iC3

les nombres musicaux, ou les points du reseau de l'espace qui représentent les notes données; de même, désignons respectivement par

les nombres musicaux a. 3, ■;, etc., débarrassés des facteurs 2 qu'ils conlenaiont, ou l)icn les projections des points a, 3, -,•,, etc. sur le plan des 3 et des 5.

Pour fixer les idées, nous supposerons dans ce qui suit que les nombres A, B, C, . . ., L, ainsi énumérés, se trouvent rangés par ordre de grandeur croissante (')• Marquons ces nombres et les points correspondants sur la figure suivante, laquelle n'est autre chose que le plan des 3 et des 5 de la figure précédente, reproduit sans les déformations que causait la perspective :

Soit R le nombre de référence auquel les nombres A, B, C, D, E, . . ., L se comparent le plus simplement. Nous allons démontrer que ce nombre R est situé dans le rectangleenveloppe PQST formé par les lignes du quadrillage qui englobent tous les nombres donnés ; nous verrons ensuite que ce nombre R n'est pas situé au delà de la ligne d'équivalence LL' menée par le plus grand des nombres proposés (-), d'où il résultera que R

(' ) Ce qui, bien entendu, n'implique siint rangés dans l'ordre correspondant

enicMit ((Ue les nombres de fespaee vont eux-niènies I. 3. -- ■>..

croissant quand ils

(■) Les lignes d'équivalence sont les traces sur le plan de la lignre des plans d'équivalence définis plus haut (Consonance, renvoi du n" ^6). Ici. les espacements entre les puissances de j et les puissances de j ayant été pris proportionnels aux logarithmes de 3 et de J, les ligues d'équivaleiue sont des droites coupant à .'|,')" les parties positives des axes des 3 et des 5. Il est évident que. de deux nombres, le plus grand est celui dont la ligne d'équivalence est la plus éloignée de l'origine des axes euordonnés.

UATTACHEMENTS.

iWi CINQUIKME PART

doit être situé dans le pentagone PSLL'Q; ou pentagone-enveloppe, et, par suite, doit correspondre à un nombre n'excédant pas L.

259. Pour moutier que le nombre R est contenu dans le rectangle-enveloppe POST (ou sur son périmètre), nous ferons voir qu'il ne saurait être situé en dehors :

Le nombre R ne peut pas être au-dessous du rectangle, car, s'il était placé comme X', il est facile de reconnaître que X, obtenu en remontant X' à la hauteur du rectangle-enveloppe, donnerait un rattachement plus simple.

En effet, les rapports