SUR LA

Nous nous proposons, dans le travail que nous entreprenons ici, de résoudre, avec la règle seule ou, dans d'autres cas, avec la règle et Téquerre, quelques problèmes qui ressortent de la géométrie pratique.

Cet ouvrage est divisé en deux parties. Dans la première, nous nous occupons surtout d'exposer les principes théoriques qui seront utilisés dans la suite de l'ouvrage ; puis nous les appliquons au tracé de quelques courbes célèbres. Dans l'autre, nous développons les solutions que comportent certaines questions que soulèvent l'arpentage et l'art de la guerre. D'ailleurs, les démonstrations des principes sur lesquels nous basons nos constructions, n'exigent, pour être comprises^ que la connaissance de la géométrie élémentaire: ce n'est qu'à de rares occasions que nous avons fait un emprunt très, court aux notions supérieures.

Avant d'entrer dans notre sujet, une analyse un peu détaillée du livre qui nous paraît se rapprocher le plus de celui que nous allons écrire fera mieux* apjprécler la portée de celui-ci, l'intérêt qu'il comporte et le but que nous nous sommes posé.

L'ouvrage auquel nous venons de faire allusion est dû à

Servois (*). Chasles le cite, non sans éloges, dans son Aperçu historique (**) et dit, à propos de lui : « Passons aux autres ouvrages qui, après ceux de Monge et de Garnot, ont servi le plus utilement la science.

)) Tels nous paraissent être :

» L'intéressant essai de la géométrie de la règle, où M. Servois, après avoir réuni les théorèmes principaux de la théorie des transversales, en montre les usages en géométrie rationnelle, pour la démonstration des propositions, et dans la géométrie pratique^pour résoudre sur le terrain, par des alignements, les différents problèmes qui se présentent surtout à la guerre, etc.... »

Ces quelques lignes, que nous empruntons à V Aperçu historique, résument bien le livre de Servois; mais il nous parait utile d'analyser cet ouvrage d'une façon plus explicite et nous voulons entrer dans des détails plus circonstanciés sur les points principaux qui s'y trouvent développes.

La partie théorique du livre de Servois,' son exposition des principes fondamentaux de la théorie des transversales, sont de peu d'importance ; elles n'offrent plus aujourd'hui, vu les démonstrations simples de la géométrie moderne, aucun intérêt. 11 n'en est pas de même de la partie pratique. Servois, comme professeur aux écoles d'artillerie, s'est particulièrement préoccupé des applications de la géométrie à l'art de la guerre; il a cherché, et quelquefois trouvé avec bonheur des solutions simples, et vraiment pratiques, des problèmes principaux qui intéressent la guerre des sièges et les combats d'artillerie. « Il est utile, dit Servois, surtout à

(M Soluticm peu. connues de différents problèmes de géométrie pratique, Dour servir de supplément aux traités connus de cette science; recueillies par F -J Servois professeur de mathématiques aux Ecoles d'Artillerie. (A Metz, chez Devilly, 'libraire, rue du Petit-Paris; et à Paris, chez Courcier, libraire,

quai des Augustins, an XII.) - • ^ x

Cet ouvrage est devenu extrêmement rare. Le seul exemplaire qui existe, à notre connaissance, appartient à la bibliothèque du dépôt des Fortifications au ministère de la guerre. C'est par l'intermédiaire amical de M. Laisaat, et «race à robUgeance du général Bressonnet, que nous avons pu posséder pendant quelques jours cet exemplaire. Nous leur en exprimons ici tous nos remerciements.

(••) ChasleA, Aperçu hisUyriqw^ p. 213.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRB 3

la guerre, de pouvoir exécuter sur le terrain diverses opérations géométriques, telles que : mesurer des distances, prendre des prolongements, mener des parallèles, etc..., sans le secours d'instruments de prix qu'on acquiert et qufon transporte difficilement. ))

* Pour résoudre ces différents problèmes, Servois accorde les jalons, Véquerre d'arpenteur, le cordeau et la chaîne. Mais à propos de ce dernier iustrument, il dit: « Le chaîner, s'H est permis de s'exprimer ainsi, exige beaucoup de temps et de soin ; landis qu'on peut toujours prendre des alignements avec exactitude et célérité. C'est pour ce motif qu'il propose, très sagement à notre avis, de multiplier les alignements, en diminuant les chaînages.

Aux instruments que nous avons cités, Servois ajoute encore ce qu'il nomme la fausse équerre. Par fausse équerre, Servois entend la figure formée par deux droites formant un angle fixe, différent de l'angle droit, et, après avoir montré, à plusieurs reprises, tout le parti qu'on peut tirer de cet instrument, Servois termine son livre en disant : « Ce n'est pas sans raison que j'ai si souvent fait observer qu'on pouvait remplacer l'équerre par la fausse équerre. C'est qu'on peut partout, et sans frais, se procurer la dernière ; deux traits de scie en croix, sur la tête d'un piquet, font tout l'instrument. »

Gomme le fait encore observer Servois, la fausse équerre partage avec l'équerre ordinaire le mérite de fournir le moyen de répéter, autant de fois que l'on veut, le même angle; d'ailleurs, la fausse équerre peut au besoin, remplacer complètement l'équerre ordinaire, puisqu'il est possible, avec celle-là, d'abaisser ou d'élever des perpendiculaires.

Quant aux arcs de cercle décrits sur le terrain, Servois s'en refuse systématiquement l'usage et il dit à ce propos, dans sa préface : ce J'ai eu l'attention particulière de ne me jamais servir-^e la chaîne, comme compas; c'est-à-dire de ne jamais déterminer la position d'un point sur le terrain par l'intersection de deux arcs de cercle, ou d'une droite et d'un arc. » Et plus loin, dans le corps de l'ouvrage, Servois revenant sur les constructions où l'on fait usage des arcs de cercle, dit encore : v Si les rayons des arcs sont

petits, ropcralion manque de justesse; s'ils sont très grands, l'opération est presque impossible. »

On voit suffisamment, par les citations qui prcccdeut, quelles sont les idées pratiques qui ont présidé à la composition du livre de Servois. Si nous ne nous arrêtons pas davantage à Taualyse de cet ouvrage, c'est que nous aurons occasion, à plusieurs reprises, d'indiquer dans la suite de •cet 'ouvrage certaines solutions proposées par Servois et dont quelques-unes, peu connues, même aujourd'hui, méri • tent, il nous semble, d'être mises en lumière.

L'ouvrage de Servois, livre ingénieux et plein de ce bon sens pratique qui se trouve là si bien à sa place, a été précédé de nombreuses publications analogues. Nous citerons d'abord, comme plus particulièrement dignes de remarque, le traité de Schooten et celui de Mascheroni.

Le livre de Schooten (*) est, d'après Chasles (**), le premier exemple de cette géométrie qui se propose la solution de certains problèmes pai' la ligne droite seulement f géométrie que Brianchon a cultivée au commencement de ce siècle et qu'il a nommée la Géométrie de la règle.

L'ouvrage de Schooten, sauf un ou deux points que no as ferons connaître, n'aborde qu'un très petit nombre de problèmes et les solutions qu'il expose sont généralement longues et peu élégantes. De plus, il présente, et Servois est tombé dans la même erreur, un cercle vicieux dont nous devons dire ici un mot.

Schooten dit, à la première page de son livre : « Postuletur : ad datum punctum in data recta indefinita reclam lineam coUocare, data? rectœ terminatœ œqualem. »

Or, porter sur une droite donnée, à partir d'un point donné, une longueur déterminée est une opéralioa qui ne peut, en général, être effectuée qu'avec l'aide du compas.

(*) Fbancisci a Schooten, Exercitalionwn inathcmaticarum, liber II. De constnictione problematum simplicium geometricorum, seu, quae solvi possunt ducendo tanlum reclas lineas. (Lugduno-Batavia, 1656.) Cet ouvrage est moins rare que celui de Servois : on en trouve, notamment, un exemplaire à la bibliothèque de l'École Polytechnique, et un autre à la Bibliothèque nationale.

(••) Aperçu historique p. 98,

DE LA RÈ6LK ET DE l'ÉQUERRB U

Cette règle souffre des exceptions que nous aurons occasion (le signaler, notamment lorsque la longueur déterminée est parallèle à la droite sur laquelle il faut les porter, ou lorsqu'elle est inclinée sur celle-ci d'un angle égal à 60®. Mais la règle, telle que l'entendaient Scliooten et Servois, ne permet pas de résoudre la construction précédente, et il y a là une erreur qui vicie quelques-unes des constructions indiquées par ces deux auteurs. Pour lever cette difficulté — mais nous reviendrons dans la suite sur ce point délicat — il faut prendre la règle dans un sens nouveau et qui a été formulé par le général de Coatponl (*), dans les termes suivants : « Je définis, dit-il, 7*ègle une lame offrant deux côtés ^ rectilignes et parallèles, permettant de tracer des parallèles équidistantes. »

Le livre de Mascheroni (**) est aussi tçès rare. Au sur- Il III 11 II III II — — —

(*) Nouvelle correspondance mathématique, juin 1877. — Voyez aussi, à propos de cet article, une note du major de Tiliy ; Nouvelle Correspondance 1879, p. 439.

(**) Mascheroni a composé deux traités de géométrie pratique," celui auquel nous faisons allusion ici est une Géométrie de la règle (problèmes pour les arpenteurs avec différentes solutions; Pavie, 1793). Il a été traduit en français au commencement de ce siècle. L'autre livre de Mascheroni, la Géométrie du compas, cité par Chasles dans Y Aperçu historique, est plus connu ; il a pour titre: Géométrie du compas par L. Mascheroni; ouvrage traduit de l'italien par A. M. Carrette, officier du génie à Paris, chez Daprat, libraire pour les mathématiques, quai des Augustins ; an YI.

C'pst à propos de ce livre que Chasles [lib, cit., p. 214) fait connaître les détails bibliographiques suivants:

a L'occasion se présente ici de faire mention de la Géométrie du compas de Mascheroni (ann. 1797), ouvrage original et curieux, qui a pour objet la résolution, par le compas seulement, des problèmes que l'on résout ordinairement par la règle et le compas. Cette géométrie est plus riche et plus étendue que celle de la règle, parce qu'elle embrasse les problèmes du second degré qui sont tous ceux qui forment le domaine de la géométrie ordinaire. Mascheroni fait voir qu'elle s'applique aussi, avec facilité, à la solution approximative des problèmes qui dépendent des sections coniques et d'une géométrie plus relevée.

^ Des essais du même genre que la géométrie de la rè^le et de celle du compas, et qui tiennent pour ainsi dire le milieu entre les deux, avaient déjà occupé, longtemps auparavant, de célèbre^ mathématiciens. Cardan, le premier dans son livre De subtililate, avait résolu plusieurs problèmes d'Ëuclide par la ligne droite et une seule ouverture de compas, comme si l'on n'avait, dans la pratique, qu'une règle et un compas invariable. Tartalea ne tarda pas à suivre son rival sur ce terrain, et étendit cette manière par de nouveaux problèmes. [General trattato di numerif e misure; 5"'» parle, libro terzo.

ISSAl SUR LA 6É0MÉTA1I

plus, ce traité n'intérerso qu'indirectement la géométrie de la règle, telle que nous la concevons, parce que Masche* roni se sert presque uniquement de formules trigonométriques dont nous nous refusons l'usage.

Après Schootén, Mascheroni et Servois; après Lambert (*) qui a précédé Servois et qui doit être cité ici^ les publications que nous pouvons signaler comme présentant un point de contact avec la géométrie de la règle sont : 1® le mémoire de Brlanchon (**) et 2^, dans l'époque tout à fait moderne, les ouvrages de MM. Reye (***), Favaro (***») et Cremena (*****). Nous aurons d'ailleurs occasion de citer ces .auteurs dans le courant de ce livre, bien que rarement, ridée qui nous. dirigé dans ce travail et que nous avons exposée plus haut n'étant pas absolument et uniquement celle de la géométrie projective, laquelle n'admet pour les solutions des problèmes qu'elle se pose que l'emploi de la

in-fol. Venise, 1560.)Enfln, un savant géomèlrepiémontais,J.-B. de BenedictU, en fit l'objet d'nn traité intitulé : ResoluHo omnium Euclidis problematum aliorumqM ad hoc necessario inventorum, unâ tantum modo circini data aperturû; in-4», Venise, 1553. »

En rapprochant ce passage de V Aperçu historique, des articles que nous avons cités plus haut et qui sont dus au général de Coatpont, et au major de Tilly, on reconnaîtra que l'idée de Cardan (une règle et un compas invariable) revient à celle-ci, une règle plate à bords parallèles. L'erreur de Schootén et de Servois que nous avons signalée tient justement à ce fait qu'ils ne s'accordaient pas : soit une ouverture de compas, comme l'ont voulu Cardan et ses imitateurs ; soit une dimension dans la règle, comme l'a proposé le général de Coatpont.

(•) Perspective de Lambert, 1759 et 1773. La seconde édition renferme plusieurs propositions intéressant la géométrie de la règle.

[**) Mémoire sur l'application des transversales. Ce mémoire cité par Chasles (Ap. h., p. 214) ne doit pas être confondu avec celui qui existe dans la Correspondance sur l'École Polytechnique j t. Il, p. 383; ni avec la note qui parut au Journal de l'École Polytechniquey cahier XIII, 1806, dans laquelle Brlanchon expose le théorème corrélatif de l'hexagrame de Pascal.

(***) Leçons sur la géométrie de position, 2 vol. par le D»^ Th. Reye, professeur à TUniversité de Strasbourg; traduites de l'allemand par 0. Chemin, ingénieur des ponts et chaussées, répétiteur à cette école. (Paris, Dunod, 1881-1882.)

[****) Leçom de sialique graphique, par Antonio Favaro, professeur à rUnivîrsité royale de Parloue, traduites de l'italien par Paul Terrier, ingénieur des arts et manufactures, Paris, (Gauthier-Villars, 1879.)

(*****) Eléments de géométrie projective, par Luigi Cremona, directeur de l'École crapplication des Ingénieur à Rome ; traduits avec la collaboration de l'auteur par Ed. Dewulf, cheld3 bataillon du génie. (Paris, Gauthier-Villars 1875.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUBRRE "i

règle ordinaire, ou, sur le terrain, que celui des jalons et des alienements (*).