V. — Calcul par les doigts

Tout ce qui vient d'être dit tend à démontrer que les anciens avaient pour effectuer leurs calculs des moyens expéditifs et variés. Ces moyens ne valaient pas les nôtres, c'est entendu, mais il ne faudrait pas exagérer l’infériorité. On ne se rend peutêtre pas assez compte des ressources qu'offre un appareil à calcul qu’on a pris l’habitude de manier : l'usage en devient non seulement facile, mais, à proprement parler, machinal*. Ajoutons

1. Je ne reproduis pas les raisonnements de M. Vincent vour expliquer le double. emploi calcul et jeu. Mais cette idée ne semble pas devoir être rejetée. Et, à ce propos, n'est-il pas permis de se demander siles nombreux dessins linéaires que l’on voit gravés sur les dalles, soit au forum romain le long de la basilique Julia, soit ailleurs au milieu des ruines des villes antiques, et qui ont toujours été considérés comme des figures de jeux, n'auraient pas servi également de tables à calculer? La chose vaudrait peut-être la peine d’être examinée de près.

2. C’est ainsi que la règle à calcul, que manient gauchement et sans précision ceux qui n'en ont pas l'habitude, rend d’inestimables services aux entrepreneurs et aux chefs de chantiers, qui calculent ainsi avec une précision étonnante, et dédaignent les autres moyens. De même l'emploi de l’abacus, par la commodité qu'on y trouvait, fut peut-être l'obstacle à l'invention d’un système de nimération fondé comme le nôtre sur l'emploi de neuf signes simples et du zéro. On en était tout près cependant, puisque Pabacus lui-même n'était autre chose que la disposition, par colonnes, des divers ordres d'unités, avec le vide laissé pour l’ordre manquant. Même d'après Delambre (Histoire de l’Astronomie ancienne, tr. 1) et Th. Henri- Martin (Origine de notre système de numération écrite, Revue archéologique, 1856-57, 11), le zéro, avec la même forme ronde et un usage parfaitement analogue, aurait été employé dans la notation des degrés du cercle et des divisions sexagésimales du degré, pour indiquer l’absence d'unités d’une certaine espèce dans le nombre complexe. Pourquoi les anciens ne l’ont-ils pas employé ailleurs ? C’est qu’il en est ainsi de bien des inventions ; on ne découvre leur emploi le plus pratique qu’après les avoir appliquées longtemps à des usages exceptionnels. Dans les derniers siècles de l'empire romain, le zéro grec dut s’introduire dans les places vides de l’abacus pour marquer qu'elles étaient laissées vides avec intention et non par oubli. « Dans les manuscrits des traités latins de l’abacus, dit Th. Henri-Martin, le zéro se trouve tantôt avec le nom latin rotula, qui exprime sa forme, tantôt avec un autre nom, sipos. qui, suivant l'étymologie la plus vraisemblable, vient du grec vos. » D'après le même auteur, on n'emprunta donc aux Arabes, ni les neuf premiers chitires puisqu'ils seraient dérivés, avec quelques modifications, des apices pythagoriciens (V. ci-dessus, p. 16), ni le zéro, sauf son nom, sahrà sifr, espace vide, ce qui indique tout simplement le vide de l’abaque pythagoricien, emprunté par les Arabes

que les anciens suppléaient encore à la facilité qu'ont nos chiffres d'être disposés pour le calcul, par leur habileté à compter sur les doigts : « Le calcul par les doigts, usuel en Italie comme en (Grèce, et pratiqué d'ailleurs encore au moyen âge, consistait à exprimer par dix-huit figures de la main gauche les neuf unités et les neuf dizaines, par les dix-huit figures de la main droite les neuf centaines et les neuf milliers, et enfin les nombres 10.000 et au-dessus, en touchant avec l'une des deux mains une partie déterminée du corps ! ». Il est probable

aux Occidentaux. Le mot sahrà est devenu séro, et le mot sifr, en grec totopx, en français chiffre, a fini par être appliqué abusivement aux neuf autres caractères numériques. Ainsi Th. Henri-Martin, dans l’importante étude citée plus haut, fait justice de cette légende si longtemps accréditée de l’origine arabe de notre numération écrite moderne : celle-ci remonterait uniquement à la tradition gréco-latine.

l. Marquardt, Vie privée des Romains, p. 116. On peut se reporter aux sources que cet auteur indique : Nixohtou ‘Esuuvalou Exgouots uxtuAtxnd uetoov (Schneider, Eclog. phys. 1, p. 477, suiv.); Beda, De loquela per sectum digitorum et temporum ratione (Bed. op.Colon, 1612, 1, p.127 suiv.). — Rôdiger (Zahresber. d. dtsh. morgenländ. Gesellsch. f. 1845, Leipzig, 1846, in-S°).

Voici d’ailleurs une indication complète de la numération par les doigts donnée par Rhabdas (Notices et extraits des manuscrits de la Bible nationale, P. Tannery, Deux leltres de Rhabdas sur l'arithmétique, V° lettre. 3) :

« Voici comment on marque les nombres sur les mains ; la gauche sert toujours pour les unités et les dizaines, la droite, pour les centaines et les mille ; au delà, il faut se servir de caractères, car les mains ne peuvent plus suffire à représenter les nombres.

« En fermant le premier doigt, le petit, appelé myope, et en étendant les quatre autres et les tenant droits, tu as à la main gauche une unité, à droite un mille.

« En fermant avec le même doigt, le second qui suit, et qu’on appelle paramèse et épibate, les trois autres restant ouverts, comme je l'ai dit. tu as à ta gauche deux, à ta droite deux mille.

« En fermant le troisième, le sphacèle, ou doigt du milieu, avec les deux premiers, et en laissant étendus les deux autres, l'index et le pouce, tu as à gauche trois, à droite trois mille.

« En fermant seulement le doigt du milieu et le paramèse, c'est-à-dire le second et le troisième, et en laissant ouverts les autres, le pouce {avr{yetc), l'index (A:yzvés) et le myope, tu as à gauche quatre, à droite quatre mille.

« En fermant seulement le troisième ou doigt du milieu, et en étendant les quatre

autres, tu as à gauche cinq, à droite cinq mille. © « En fermant seulement l’épibate ou second doigt, les quatre autres étant ouverts, tu as à gauche six, à droite six mille.

« Maintenant, en tendant le myope ou premier doigt, de façon à toucher la paume et en tenant droits les autres, tu as sept et sept mille.

« En tendant en outre de même le second ou puramèse, et en l’inclinant jusqu’à le rapprocher au plus près du creux de la main, et en laissant droits, comme j'ai dit, les trois a1tres, le troisième, le quatrième et le cinquième, tu figures à gauche huit, à droite huit mille.

« En donnant au troisième doigt la mème position qu'aux deux premiers, tu as à gauche neuf, à droite neuf mille.

« Maintenant, en ouvrant le pouce sans le dresser, en le dirigeant un peu de côté, et en pliant un peu l'index jusqu’à ce qu’il touche la première jointure du pouce, de

facon à figurer la lettre 5. les trois autres doigts ayant leur ouverture naturelle et

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d’ailleurs, que les termes de digili et d'arliculi, par lesquels on désignait chez les Latins, d'une part les unités, d'autre part les dizaines et les puissances de 10 ‘, provenaient de l'usage de ce genre de calcul.

Le digitus était le doigt tendu, articulus, le doigt plié. On conçoit assez bien qu’en tenant la main levée ou baiïssée, en pliant ou en tendant séparément les doigts, on püt arriver à constituer dix-huit figures de chaque main ?. Mais il y fallait une certaine dextérité qui ne s'acquérait pas sans peine. Quintilien (1, 10.35) insiste sur la nécessité d’un apprentissage sérieux pour l'avocat qui veut à la barre effectuer des calculs

n'étant pas séparés les uns des autres, mais réunis, tu marques à gauche dix, à droite cent.

« En étendant en ligne droite et debout le quatrième doigt ou index de façon à figurer la lettre I, les trois premiers restant unis, mais un peu inclinés et formant un angle avec la paume, enfin le pouce dépassant ces derniers et touchant l'index, tu marques vingt et deux cents.

« L’index et le pouce étendus et inclinés de facon à se toucher par leurs extrémités tandis que les trois autres doigts sont unis et étendus suivant leur position naturelle, signifient trente et trois cents.

« Les quatre premiers doigts étendus directement, tandis que le pouce figure la leitre V en dépassant l'index du côté extérieur, signifient à gauche quarante, à droite quatre cents.

« Les quatre premiers doigts étant de même ouverts directement et réunis, tandis que le pouce figure la lettre F du côté intérieur sur la base de l'index, signifient cinquante et cinq cents.

« En partant de la même figure et en pliant en cercle l'index autour du pouce de façon à lui faire toucher la phalange intermédiaire entre la première et la seconde jointure, tandis que l'extrémité de l’index va toucher la base du pouce, on marque soixante et six cents.

« Les trois premiers doigts étant ouverts de la façon que nous avons indiquée à plusieurs reprises, le pouce appliqué contre l'index, et ce dernier embrassant en hélice l'extrémité du pouce, signifient soixante et dix et sept cents.

« Les trois premiers réunis et inclinés en angle du côté de la paume, le pouce dépassant le doigt du milieu ou troisième, touchant la troisième phalange (celle contre la racine) de ce doigt, et appliqué sur la paume, tandis que l’index, disposé au-dessus du pouce et plié autour de la première jointure de ce dernier, touche de son extrémité la base du pouce, on signifie quatre-vingts et huit cents.

« Enfin, si l’on ferme le poing, le pouce restant droit, puis qu'on étende les trois premiers doigts en laissant l'index dans la position que lui a donnée la fermeture du poing, on figure à gauche quatre-vingt-dix, à droite neuf cents. »

L. « Digitus est omnis numerus minor decem.Articulus est omnisnumerus qui digitum decuplat, aut digiti decuplum,et sic in infinitum. Separantur autem digiti et articuli in limites. Limes est collatio novem numerorum qui aut digiti sunt, aut digitorum aeque multiplices, quilibet relativi. Limes itaque primus digitorum. Secundus primorum articulorum. Tertius est secundorum articulorum. Et sic in infinitum. Numerus compositus est qui constat ex numeris diversorum limitum. Item numerus compositus est qui pluribus figuris significativis repraesentatur. » (Schoner, Cologarithmus demonstralus. — Chasles, ouv. cité, p. 466, Notes.)