Marcus Junius Nipsus (Gromat. veteres, p

2. Mesurer la distance horizontale de deux points éloignés (x). — Une des trois solutions que fournit Héron est donnée par Hygin (De limit. constituendis, Grom. vet., p. 193).

3. Etant donnée une droite, mener une perpendiculaire à l'une de ses extrémités, sans approcher de la droite, ni de l'extrémité (x1).

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13% ProBLème !. — Percer une montagne suivant une ligne droite qui joigne deux points À, B, opposés sur ses flancs (S xv).

Ce problème intéresse fort le tracé des aqueducs. Héron le résout en contournant d’abord la montagne et en mesurant

(fig. 10) les différentes lignes à angle droit AC, CD, DE, EF, FG, GH, HB, réduites à l'horizon, Prenant ensuite un point O à gauche de A et L à droite de B, BL — AO, de manière à pouvoir mener les perpendiculaires O X et LP, il obtient les longueurs OX, OP, et, par suite, la direction AB? par la similitude des triangles OAX, ABZ, BPL, le point Z étant d’ailleurs obtenu par la différence (AC + DE) — (FG + HB). Pour régler l'excavation par rapport à l'horizon, il n’y a qu’à opérer le nivellement entre les deux points À et B, ce qui d’ailleurs était sans doute fait tout d’abord.

{Ame PROBLÈME. — Creuser, dans une montagne, des puits qui tombent perpendiculairement sur une excavalion ($ xvi).

1. Mesurer la différence de hauteur de deux points inaccessibles (probi. 8, x1n). Mesurer leur distance (pr. 9.) Déterminer la position de la droite qui les joint (pr. 10), et applications. Déterminer la hauteur d’une montagne (pr. 11) et déterminer la profondeur d’un fossé (prob. 12, x1v). C'est toujours le même principe que dans les méthodes modernes; il y a même souvent identité absolue.

2. Les perforateurs, de chaque côté, suivront la direction indiquée, pour les uns par XA, pour les autres par PB, et ils se rencontreront forcément,

L'auteur envisage le cas bien simple où la voie souterraine est en ligne droite : le problème est résolu facilement par les visées de la dioptre et des jalonnements successifs.

15%° PROBLEME. — ÆElant donnée une galerie souterraine (lorlueuse et d'une certaine largeur), trouver dans la campagne au-dessus un point d'où l’on puisse creuser un puits vertical aboutissant à un point donné de cetle galerie ($ xvrr).

Le problème correspond seulement à l'éventualité d’un éboulement, pour faire en sorte que par le puits à creuser l’on puisse, soit transporter au dehors les décombres provenant de l’éboulement, soit descendre des matériaux pour la reconstruction; et la donnée suppose qu'il y a déjà deux puits existants. Le point voulu est obtenu par une double triangulation effectuée parallèlement dans le fond de la galerie et à la surface.

Héron n'indique pas le moyen d'aboutir de l'extérieur, par un puits, en un point donné d’une galerie quelconque, étroite et sinueuse, telle que sont souvent les canaux souterrains. Mais la dioptre permettait fort bien, d'abord de conduire le tracé d’une semblable voie, ensuite de trouver à l'extérieur la verticale de n'importe quel point de la galerie. Le traité n'aborde que quelques problèmes types. C'était aux ingénieurs eux-mêmes à connaître assez bien la pratique de l'instrument pour en tirer tout le profit voulu sur le terrain. Des problèmes de ce genre devaient être proposés dans les écoles aux jeunes gens qui étudiaient la géométrie en vue des carrières d’arpenteur, niveleur, architecte, auxquelles ils se destinaient.

Voici l'énumération des autres problèmes, pour la plupart desquels je me bornerai au simple énoncé.

16° PROBLÈME. — Les extrémités d'un port élant données en dessiner le contour suivant un arc de cercle ou une courbe quelconque.

C'est ici qu'intervient le plateau (ruurawer). On le dispose horizontalement, et l’on effectue des visées d'un point un peu plus élevé de manière que les rayons visuels, partant de ce point et passant par le bord du plateau, dessinent sur le terrain

eg

la circonférence de base d'un cône dont deux génératrices passent par les extrémités A et B ($ xvrit).

17% PROBLÈME, — Hausser un terrain de manière qu'il prenne la forme d'une portion donnée de surface sphérique.

Les visées se font de la même façon, mais cette fois le plateau adapté à l'instrument doit prendre la position verticale (S x1x).

18% PROBLÈME. — Incliner un terrain suivant une pente déterminée ($ xx).

19° PROBLÈME. — Fixer, au moyen de la dioptre, sur une certaine droite horizontale menée à partir du mur, un point qui soit éloigné de nous d'une distance donnée.

Le procédé consiste à trouver la distance voulue par un calcul de proportion au moyen de l’échelle graduée de la mire (S xx1).

20"° PROBLÈME. — D'un point éloigné de nous, prendre avec la dioptre une distance égale à une distance donnée, sans approcher de ce point, et sans avoir la droite sur laquelle il faut prendre cette distance.

Construction facile par les triangles semblables ($ xxrr).

21%° PROBLÈME. — Mesurer un champ au moyen de la dioptre ($ xxr11 et xxIv).

C'est le problème général de l'arpentage. Héron donne plusieurs méthodes, dont le principe est semblable à celui des

arpenteurs romains et au nôtre. Il en est de même des deux problèmes suivants.

22° PROBLÈME. — Les bornes d’un champ ayant disparu, à l'exception de deux ou trois, retrouver au moyen du plan Ou dessin (roù puunuatos Urapyovres) les limites perdues. Le problème revient à construire sur le terrain, au moyen d’un

côté donné, un polygone semblable à un polygone donné sur le papier ($ xxv).

23° PROBLÈME. — Partager un terrain en portions données, au moyen de droites menées par un même point ($ xxvr).

24° PROBLÈME.— Mesurer un charnp sans entrer dedans.

La solution est obtenue en traçant, à l'extérieur du pourtour polygonal, des triangles semblables à tous ceux qu'on pourrait figurer dans l’intérieur en joignant un sommet à tous les autres (SX VIT) À.

Les deux problèmes suivants, d'une application pratique directe, ne comportent pas l'emploi de l'instrument, et rentrent par conséquent dans le domaine de la géométrie proprement dite.

25° PROBLÈME.— Diviser un trapèze ou un triangle donné suivant un rapport donné, par une parallèle à la base ($ XXVII1 et XXIX).

26"° PROBLÈME.— Trouver l'aire d’un triangle, en fonction de ses trois côtés.

C'est la démonstration géométrique de la règle que nous représentons par la formule :

S—Vp(p—a)(p—b)(p—0 (8 xxx).

Suit un problème où la dioptre n’a rien à voir non plus, mais sur lequel nous aurons à revenir plus loin, car c'est une question d'hydraulique pratique.

27° PROBLÈME. — Etant donnée une fontaine, évaluer son produit, c'est-à-dire la quantilé d'eau qu'elle fournit.

28° PROBLÈME.— Déterminer la distance angulaire de deux astres.

Elle s'obtient au moyen du plateau de la dioptre et de la règle de visée, d'ailleurs sans le secours d'aucune lunette, les anciens ne connaissant pas les proprictés et l'usage des verres lenticulaires {$ xxx11).

1. Cf. Junius Nipsus. Limitis repositio (Grom. vet., p. 272).

29%° PROBLEME. — Critique de l'astérisque.

Instrument fort analogue à la groma des Romains, si ce n’était cet instrument lui-même (f xxx111) !.

30%° PROBLÈME. — Description et usage de l'odomètre.

Il s'agit ici d'un assez ingénieux compteur adapté aux voitures, et consistant (fig. 11) dans une combinaison de vis sans fin et de roues dentées (S xxx1v).