I. — La science des nombres chez les Grecs

Son étendue et ses parties.

Pythagore et ses disciples, véritables créateurs de cette science, avaient longuement médité sur les propriétés des nombres, leurs combinaisons diverses et leur suite indéfinie. Rien dans l’ardeur au travail, dans le zèle investigateur de nos savants modernes, ne saurait donner une idée de la passion dévorante et du brûlant enthousiasme qui consumaient ces premiers mathématiciens, contemplateurs ravis des vérités abstraites et absolues. C'est qu'ils n'étaient pas simplement poussés par la curiosité de résoudre des problèmes isolés, par le désir d’avancer pas à pas dans une connaissance plus étendue des phénomènes naturels : ce qu’ils cherchaient à dégager de la complexité infinie des rapports numériques, c'était la loi même du monde, le dernier mot de tout, le savoir divin. Le pythagorisme était une philosophie ou, pour mieux dire, une religion avec ses initiations, ses mystères et ses rites. « Salut, Nombre fameux, générateur des dieux et des hommes! » ‘l'el est le début d’un poème, ‘Tecos Aoyos, longtemps cru d'Orphée et que Stobée attribue à Pythagore. Plusieurs écoles philosophiques de l'antiquité ont connu cette sorte de délire mystique

1. Philolaos, un des plus célèbres disciples de Pythagore, enseignait que toutes les choses relevant de notre faculté de connaitre ont chacune un nombre, sans quoi rien ne saurait être conçu. C'est l’application de ce principe aux mots, définitions et symboles des réalités, qui a créé la Kabbale ou estimation en nombre des lettres considérées comme des chiffres. La somme de ces chiffres est le nombre de l’objet défini. Ainsi, dans l’Apocalypse, le nombre de la Bête est 666 (ch. xr1r, v. 4),

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à l’idée d'une révélation universelle crue prochaine !. Mais à la différence des autres, l’école pythagoricienne, grâce au caractère rigoureux de l'objet qu'elle considérait, fut bien plus soutenue qu'égarée par son rêve, et fonda une science exacte, tandis qu'ailleurs s’enfantaient tant de chimères.

La science arithmétique issue de ces hautes méditations se divisa en théorie des nombres linéaires, théorie des nombres plans et théorie des nombres solides. Outre les opérations élémentaires dites les quatre règles et ce qui concerne les fractions, elle comprenait déjà, au temps de Pythagore, au moins dans leurs propositions essentielles, les théories des nombres premiers, des progressions arithmétiques et géométriques, des proportions, des moyennes proportionnelles, des sommes et différences de carrés, et de l'infini, conçu comme ce qui n’a aucune grandeur assignable, ou ce qui est plus grand ou plus petit que toute quantité donnée*?. Les mathématiciens modernes ne le conçoivent et ne le définissent pas autrement.

Les V°, VII, VIII et IX° livres d’Euclide résument cet ensemble, en y joignant l'apport des philosophes de l’âge suivant, c'est-à-dire des écoles de Platon et d’Aristote, et aussi l'apport d'Euclide lui-même. Son X° livre, notamment, développe d'une manière très étendue les théories, qui semblent bien lui appartenir en propre, des grandeurs incommensurables et des

1. La dévotion de Lucrèce à l'égard d'Epicure s'explique par cet état d’appétition extatique, pour ainsi dire, où l'avaient plongé les écrits du maitre.

Fluctibus e tantis vilam, tantisque tenebris In tam tranquilla et clara Luce locavit.

(De Rerum natura, V. 11-12.)

His tibi me rebus quaedam divina voluptas Percipit atque horror, quod sic Natura tua vi Tam manifesta patet ex omni parte relecta.

(Ibid., III, 28-30.)

2. « Si je me suppose, disait Archytas de Tarente (disciple lui-même de Philolaos), placé à la limite extrème du monde,pourrai-je ou non étendre la main ou une baguette au dehors? Dire que je ne le puis pas est absurde; mais si je le puis, il y aura done quelque chose en dehors de ce monde, soit corps, soit lieu. Et peu importe comment nous raisonnerons; la même question se renouvellera toujours : s’il y a quelque chose sur quoi puisse porter la baguette, alors évidemment l'infini existe. Si c'est un corps. notre proposition est démontrée. Est-ce un lieu ? Maïs le lieu est ce en quoi un corps est ou pourrait être ; et il faut alors, s’il existe en puissance, le placer au nombre des choses éternelles, et l'infini serait alors un corps et un lieu. » (Archytas Ilept ruvroç, passage cité par Simplicius, philosophe de l’époque de Justinien. Cf. Chaignet, Pythagore et la philosophie pythagoricienne.)

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quantités irrationnelles. D'ailleurs, ainsi qu'il est dit plus haut, les démonstrations arithmétiques se modelaient sur celles de la géométrie. Euclide se sert de lignes pour exprimer les nombres, et il est plus que probable que dans l’enseignement de l'arithmétique cette méthode fut toujours suivie au moins jusqu'à Diophante ? (11° siècle après J.-C.). L'ouvrage de ce dernier, ’AptOurraæt, en six livres, fait usage pour la première fois d'un signe particulier S', pour désigner un nombre inconnu ou à trouver, c’est-à-dire l’x d'une équation. Il est donc l'inventeur de la forme algébrique. Mais à vrai dire, sauf l'appareil extérieur du raisonnement, il n’apporta guère d'aperçus nouveaux et ne permit pas de trancher un plus grand nombre de questions qu'auparavant. On avait pu, par les anciens moyens, résoudre de véritables problèmes d’'algèbre. Ainsi, on peut déduire aisément de quelques propositions du livre des Données (Acueyo) d'Euclide, la résolution des équations du ?° degré *. Ceci est évidemment important à retenir, si l’on envisage la pratique de l'art de l'ingénieur dans l'antiquité.

De même que la géométrie théorique était complétée par la géodésie, qui était son application aux opérations pratiques, divisions et mesures des surfaces ou volumes, de même on appelait logistique la partie de l’arithmétique qui enseignait les procédés du calcul.

La Géodésie et la Logistique sont analogues aux branches précédentes (géométrie et arithmétique) ; seulement au lieu de traiter des nombres ou des figures intelligibles, elles s'occupent

1. Exemple : Pour exprimer que la somme des carrés de deux nombres est égale à deux fois le carré de la demi-somme de ces nombres, plus deux fois le carré de leur demi-différence, Euclide dit (liv. II, propos. 9) : « Si une ligne droite est coupée en parties égales ct en parties inégales, les carrés des segments inégaux de la droite entière sont doubles du carré de la moit'é de cette droite et du carré de la droite placée entre les sections. »

2. Ayant Diophante, Nicomaque, qui vivait probablement au premier siècle de l'ère chrétienne, avait fait des exposés arithmétiques indépendants de la géométrie. (Entroduction arithmé tique, "AptÜunrtixn ctouywyn, en deux livres.) Mais cette méthode ne semble pas avoir été suivie. Cet auteur n’aurait d’ailleurs pas été un mathématicien original: pseudo-mathématicien, dit P. Tannery. (La géométrie grecque, p. 12.)

3. Telle est la proposition 85 : « Si deux droites comprennent un espace donné, dans un angle donné, et si leur somme est donnée, chacune d'elles sera donnée. La solution de cette question donne les racines de léquation du 2° degré : 2? — b æ + a? —0 (V. Michel Chasles, Des méthodes en géométrie, Paris, 1875, p. 11).

des sensibles; car l’œuvre de la géodésie ne consiste pas à mesurer le cône ou le cylindre, mais bien les monceaux comme cônes ou les puits comme cylindres ; les droites qu'elle emploie ne sont pas intelligibles, mais sensibles, tout en étant d'ailleurs, par rapport aux intelligibles, des représentations, tantôt plus exactes, comme les rayons du soleil, tantôt plus grossières, comme des cordeaux ou des règles. De même le logisticien ne considère pas les propriétés des nombres en euxmêmes, mais sur les choses sensibles, d'où vient qu'il leur donne des noms d’après les objets qu’ils dénombrent !. »

« La Logistique est la théorie qui traite des dénombrables et non des nombres... Elle a, comme matière, tous les dénombrables; comme parties, les méthodes dites hellénique et égyptienne pour les multiplications et les divisions, ainsi que les additions et décompositions des fractions. Elle a pour but ce qui est utile dans les relations de la vie et dans les affaires, quoiqu’elle semble prononcer sur les objets sensibles comme s'ils étaient absolus*?. »

«... Elle se sert de l’un comme minimum des objets homogènes sous une même pluralité. Ainsi elle pose un homme comme individu dans une pluralité d'hommes, mais non pas absolument; une drachme comme indivisible dans une pluralité de drachmes, tandis qu’elle se divise en tant que monnaie *. »

La logistique était donc bien ce que nous entendons par arithmétique pratique, c’est-à-dire l'art de calculer au moyen des signes et de leur ordre.