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'^l.rt

Miii» lo [inMiiiiM (II* vvH unuihrv.H vul ('^vidcîmmcnt (îgal h

(M'*. M« »r/|,M«- *(/t M(/n \dn)

riVl",M« »r*|,M« 'r'irj.. , M<îi<»î ... rtn-i,«i«f.. «n)

( M,r«| ) - ( IVI.r', ) - ... <(M.tf„)r^ C,

ri In ^tMMMiil (l(« (MV4 iioinhrfVH rsl pour lu iiu^mc raison z- F. La première partie du lln^ort^ino \^n\ uiitMi dt^inontrt^f. Pour ohirnir \k\ nombre dos solutions dans le cas (1 r, il MuTlil (l(« H(« rupprliM* «pie, juir unr substitution de déterminant ±: i

v\x on rohipli^vN^nl lo?» <^pnUions [\\ p»r dos combinaisons convenables, on peut oblouir un H\j»h\u»o t^tpuNulonl tb* \\\ lormo

•*i »'i Ji

\ uuhIMV

i^r lo nouO^v do^ Mdulions do oo dornior s\sli^mo osl ôvidorament

\\ 0^1 <\ iviu<u\juov ^jMo V, \^ M, î,"^ diNiso <% ^M, f^^V oar s, divise «•,-. La convblu^u i' \' o\i^o dono qu'on iùl

*W Oa poul xUM^nor sUi ibooi^^mo \U «no uuirt* fonuo ou supjK^sanl Jècv»ra- Sv^^Oi^ \> • ix A» *o>^ oxpv^vtuÏN x!ox pîuv b <'aîo< p«î><snuv> d^un Uv^îubrx" premtor /•.

SIR uv Tiu:oKir. lUS nomkuks» uu

car nous savoDS que lo> rapports

soDl des enliers.

La condition

devient maintenant pour chaque nomhiv piTinior^ qui ilîviso M

Supposons que, dans la série (y.), le premier terme plus polil que m MÙi aij, ^a i i alors la relation ^5)^ qui exprime la comlition uôcessaire et suflisante pour (|ue \i'^ congruences admetlenl une solution pour le module />(^) de\ieut

elle nombre des solutions est alors /)=*«+ f'* ^'^f*. C*esl ce (|ue Ton triUivera par une discussion facile en s'aidant des inégalités (i ), (^a), (3), ^4)'

D'après cela, si Ton avait |Jl > a« — a,i i, la condilion (levi(»iil a^, dft el le nombre des solutions esl/>*". Ainsi, dans ce cas, il suffirait de culeulor (/„ v[ 8/,.

On voit facilement que si, dans la série

ci/c — «A est le premier terme égal a zéro, />«*•• «a, est la pin» haute piii'i?*an('tMh«/> pour laquelle, comme module, le système des congruences admet (Ii*h MiInlionN.

C'est seulement pour préciser les idées que nous avons supposé an n*' !il (pie h* déterminant d,i du système (I) n'était pas nul.

Et aussi, à proprement parler, ce n'est pas là une restriction, t'ar, en ajontunt des multiples de M aux coefficients, ou peut toujours l'aire; en sorte (pi'il en soit, ainsi.

Mais la plus légère attention suffit pour reconnaître qtir le théorènit* \j| rsl général et reste vrai même dans le cas où Ton aurait (fp^i o, h condition nenlement de se conformera notre convention de prendre daiiH ce cas

et de même pour les invariants de la matrieii complétée. 33. Considérons maintenant le système

Uhti^ U- u*nti\$it' t\t « zéftitttoft'i <'#f C X M^, Km ^îffcl, on obtient un sTslème

ri flrnif^iMiim liiiiJMiii'A \n\v

l«u iiiviii iitiilK (l(^ lu iiiulricr (*t dr la iiiittrifc nnnphMtW'.

lit niiHlilioM iMW'r<<«iiMrt' ri ^^uilUiuilo pour ipril y ait des solutions s'obtient à l'atib^ (lu llhMMt^iiKi VIII %K\\\\ la rornit'

Ml) w^x^^ MIU' (odurliou l'a\ ittN

SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. lOI

Mais, puisque (M, t^) divise (M, ek)^ on a nécessairement (i) Sic+i^o (modM).

Par conséquent M^o^ divise M'"~*o„^.|, et au lieu de (a) on peut écrire

ce qui revient encore à

si l'on pose comme précédemment

C = ( M, «I ) X ( M, «j ; X . .x (M, em h r =(^M. ti) x^M, e4>x...x rM, tm)'

Pour qu'il v ait des solutions, les conditions (i) et (:;e) sont nécessaires et suffisantes. Le nombre des conditions s'obtient sans difficulté ; il est égal à C.

35. Les méthodes développées â partir du n*^ 22 permettent de retrouver avec facilité la plupart des résultats obtenus dans la première Partie de ce Chapitre. Nous nous bornerons à déduire de cette façon le théorème \^II sous une forme plus générale. Considérons donc les équations non homogènes

I û/.i-a^i — «/.iJTj — ...— a/,j,jr,-«-a/.,^| = o

<l = l.2. ...ylRl

sans faire aucune hypothèse sur m et /i. Soient ' A ' et A' ' la matrice du srstème et la matrice complétée. Si Ton prend k des fn équations et que l'on considère tous les déterminants du degré k qu'on peut former avec leurs coefficients, ces déterminants appartiennent en partie à la matrice \ A' . Mais, si le svstème (I) admet une solution, on pourra remplacer les ai,M^% par leurs valeurs

en sorte que chaque déterminant de A' s'erprime en fonction linéaire homogène des déterminants de A . Dans tous les k équations, le p- g- c. d. des déterminants de A e?t donc é$r^l au p. <r- c. d. des déterminants de A' . D'où Ton conclut que le p. g. c. d. de tous les déterminants du degré k est le même pour les deux matrices A et A' . Ce sont là des conditions nécessaires poor

Hit0* U' 4f«M'm^ a } *t4int*ilii iU*% no\iiiiou%* Mnin CfA o/ndilion» ne 5odI pas tooles

'i'iiPiiMkMP^ Xlll# Ptnir f/Nf hi nynu*m(' (\) admette une ou plusieurs solutliffin^ il finit /'/ // i^ujjlt fine le latiff p de || A || soit égal au rang de || A'||, et tjnt* h* fh ft, r, tl, d(*n dt''t(*t*iinnnntn du degré p noit le même pour les matrices

Il A II w II A' II.

NnM4 nvotin A (l/i(tiontirr Mriili*incnl qui; cch conditions sont suffisantes. Or, par

MhlMHlt^lIlMllofl

cl iMt t'i*in|ilH(;iiiit lf«pi iW|iiutionK (I) pur (irs combinaisons convenables, ou peut obliMiir un M^VMliNinr* Mhxolutnpiit i^(|ttivitlont

Unn^ rollo IVMnitrot iiiatiou Io.h run^^s do || A || ot de || M || se conservent, de même K\\w W^ |>i 1^. w \\s de!« dtUeriuiunnts du degn^ A\ Puisqu'on suppose que le rang do II \'|| O"*! - '/»» le* dtWonuiuunl.H du degri^/> + i

\\\\\\y^\\\ »*nuuulov; doue

ve ^^^il m\^uUv ^ue lex oquiiïJons ^Ih wo >oul p^is iuoonip^lihles. Do plus, les dé- WMi^MU^^^^I» du do|i^V /* de U w,ihù e * \ ,' ^^^n^fv^ruuV

>^>N^NV«^ tMxv dù^MUU^^ p4ie f\,'t * s *f'^> IVmu^ w,.?**. ^ * , ^w^ M>nt di\i>iMe> par t',v *Vv X V %x t r ^v^isvhN^^meuK ou MMle que les <\j\uli*^ï^> JT s<vnt >jiù>ùîtes pir xï^'^x Xv^Umux * ^,«/>\v de X ,x \ tx . X XX * ,.v c* ^j. r. iw

I x^ )^\ jy^x^ dx^x xvx\,'ui> dx^ 00 Chji)^;nv sont de,> à M, Sr.viîh: un >ouî, le iht>> ^\ »v \ W\ ^\^\\ 0^" %nVu viu j^runourv ï>vr,t jvjir M. I. Hx^^vr* le TVitr.>o >,.;if l « eu

BIBLIOGRAPHIE. lo3