P = AB
alors il est clair que le nombre N = A -f- B n'est divisible ni par 2, ni par 3, . . ., ni par/;. En décomposant donc N en facteurs premiers, on trouvera nécessairement des nombres premiers qui surpassent />.
Remarquons avec M. Cayley que, si l'on prend A = P, B = i, les nombres N-f-i, N-4- 2, ..., N-\'p — I sont tous composés; d'où l'on voit que la différence de deux nombres premiers consécutifs peut surpasser un nombre donné.
18. Voici une proposition dont on a besoin quelquefois. Il est toujours possible de mettre le p. p. c. m. des nombres a, 6, c, ..., / sous la forme d'un produit
dont les facteurs sont premiers entre eux et divisent respectivement a, 6, c, . . ., /. Adoptons les notations du n^ 16, le p. p. c. m. est
Écrivons les nombres a, 6, c, . . ., / l'un au-dessous de l'autre. Écrivons ensuite le facteur/?'/ à côté d'un des nombres a, 6, c, . . ., / qu'il divise (un au moins de ces nombres est divisible par /?'«). Faisons de même pour P2»''P'jt- Alors on prendra pour a' le produit des nombres qu'on aura écrits à côté de a (a'=i lorsque aucun nombre ne se trouverait à côté de a), de même pour 6', c', . . ., /'.
Il est clair qu'on obtiendra toujours au moins une solution; elle est unique dans le cas où, parmi les nombres a, 6, . . ., /, il n'y en a qu'un seul divisible, soit par /?';, soit par p'^, etc. Dans le cas contraire, le problème admet toujours plusieurs solutions.
19. On peut toujours obtenir une solution, sans décomposer les nombres a, 6, c, . . ., / en facteurs premiers et uniquement à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
Mais, pour abréger, nous nous bornerons au cas de deux nombres a et 6, d'où il est facile, du reste, de remonter au cas général. Soit (a, b) = rf, et calculons
a' et 6' seront premiers entre eux, puisque 5 et ^ le sont; d sera donc divisible par leur produit, soit
et puis
En continuant ainsi, on finira toujours par arriver à un couple
car
d=:a'b'd'=a'a''b'b''d''=a'aarb'b"b"'dr:=:z..,.
On aura alors
l6 T.-J. STIELTJES.
et, pour le p. p. c. m.,
ab
= /'2 X a'a". . ,a^A X (^ X h'b", . .6^*A X cf'^
Les nombres ^ et -^ sont premiers entre eux, et, a\ «", . . ., r/^*^ élant des diviseurs
de -.y //, //', . . ., 6^*^ des diviseurs de t> il est clair que les deux facteurs
3Xa'a"...af^' et ^ x ^»'6\ . .6^^^ a a
sont premiers entre eux. Ensuite d^^^ est premier avec chacun de ces facteurs, car
Kn prenant donc
h = ^xb'b\,.b^k^xd^f'\
ou aura m = AB, A et B seront premiers entre eux, puis A divise a et B divise h, Plus généralement, si Ton a d^^^ =^ pq^ p et q étant premiers entre eux, on pourra prendre
A = ^ X a'a" , . .a<^^ x /?, B = ^x^>'^'...^>^*' xy.
Si l'on suppose a et 6 décomposés en facteurs premiers, on verra facilement que
Cbt le produit des puissances de nombres premiers qui figurent dans la décomposition de a avec des exposants plus grands que dans la décomposition de 6, tandis que rf^*^ est le produit des puissances de nombres premiers qui figurent avec le même exposant dans les décompositions de a et de b. Lorsqu'on a d^^'y> i , on obtient toujours deux solutions au moins, en prenant soit p = i, q = d^'^\ soit/; = rf^*^, q = i. Mais, dans ce cas, il peut arriver que le problème admet encore d'autres solutions, et cela a lieu lorsque rf^*^ est divisible par plus d'un nombre premier.
Mais, pour obtenir ces solutions, il faut absolument recourir à la décomposition de d^^'^ en facteurs premiers : l'algorithme d'Euclide seul ne peut pas les faire connaître.
20. En jetant maintenant un coup d'œil sur le chemin que nous avons parcouru, on reconnaîtra que la théorie de la divisibilité des nombres repose sur ce fait, qu^étant donnés deux nombres a et 6, on peut toujours déterminer un nombre m, tel que
a = mb -H c, où
oÇc<b.
Si l'on considère les nombres complexes a -f- bi(^i = ^ — i), on peut établir une relation analogue, et de là découle, pour ces nombres, une théorie de la divisibilité parfaitement analogue à celle des nombres ordinaires. Nous aurons à revenir plus tard sur cette question et d'autres de la même nature.
Les propositions les plus essentielles sur la divisibilité des nombres se trouvent déjà dans les Eléments d'Euclide; notamment on y trouve : l'algorithme pour la recherche du plus grand commun diviseur, la proposition qu'un produit ne peut être divisible par un nombre premier, à moins qu'un des facteurs ne le soit, la proposition qu'il y a un nombre infini de nombres premiers.
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