DES CONGRUENCES

1. Si la différence des deux nombres a ei b est divisible par un nombre M, a et b sont dits congrus par rapport à M; le diviseur M est appelé le module; a el b sont résidus l'un de Vautre suivant le module M. Pour exprimer celte relation, on écrit, d'après la notation de Gauss,

rt = 6 ( mod M ) ;

cette formule est une congruence. Il j a avantage, dans cette théorie, à admettre, pour a et &, non seulement les valeurs entières positives, mais aussi les valeurs entières négatives.

Si r est le reste de la division de a par M, on a

a^r (mod M);

le reste r est ordinairement un des nombres

mais on pourrait le prendre aussi entre — — et -h — ; d'où il suit que tout nombre

a un résidu qui ne surpasse pas en valeur absolue la moitié du module. C'est là le résidu minimum.

2. Nous allons indiquer ici les propriétés les plus élémentaires des congruences, il sera à peine nécessaire d'insister sur les démonstrations. Si Ton n'indique pas le module, il sera sous-entendu que ce module est toujours M.

Si Ton a

a~b, a'^b'j a" ^ b\ ..., on aura ainsi

ma ^ mb.

De même, on aura

aa'^ ba'^ bb' et plus généralement

aa'a . . .— bb' b" . . ,,

Ainsi

étant un polynôme à coefficients entiers, on aura