Supposons qu^on ait

ma ^ mb ( mod M ),

ce qui signifie que m{a — b) est divisible par M ; soit

(m, M) = rf,

^(a — 0) sera divisible par -^, et, puisque -7 et -j sont premiers entre eux, a — h sera divisible par -, : donc

(mod 5)

On peut donc diviser les deux membres d'une congruence par un nombre /;i, à condition de diviser en môme temps le module par le p. g. c. d. de m et M. On aura à appliquer cette proposition le plus souvent dans les cas particuliers suivants : i" m est premier avec M, alors d = i\ 2° m divise M, alors d = m. Supposons encore qu'on ait

aa'^bb' (mod M), a^b (mod M).

En multipliant la seconde congruence par a', il vient, en faisant attention à la

première,

ba'=bb' (mod M),

donc

(mod^),

où rf= (6, M) = (a, M), car il est clair que des nombres congrus ont même p. g. c. d. avec le module.

Si deux nombres sont congrus suivant le module M, ils seront congrus encore en prenant pour module un diviseur de M. Si deux nombres sont congrus suivant plusieurs modules A, B, C, . . ., L, ils seront congrus encore en prenant pour module le p. p. c. m. de ces nombres

20 T.-J. STIELTIES.

1^ cas particulier le plas intéressant est celui où les modules A, B, C, . . ., L sont premiers entre eux, alors M = ABC .L.

4. On peut distribuer Tensemble des nombres entiers en M classes, en considérant deux nombres comme appartenant à la même classe ou non, selon qu^ils sont congrus ou non suivant le module M. En prenant dans chaque classe un nombre, on obtient un groupe de M nombres, qu'on appelle un système complet de résidus. Un tel système jouit évidemment de la propriété qu'un nombre quelconque est congru à un et à un seul de ses nombres. Un nombre quelconque a pris dans une classe peut être considéré comme représentant la classe entière qui se compose des nombres a H- M x, x = o, zt i , ± 2, ±3, .... On désigne ainsi souvent la classe par un quelconque des nombres qu'il renferme, et Ton peut ainsi remplacer un nombre par un nombre congru.

Tous les nombres d'une classe ont le même p. g. c. d. avec le module M, et ce p. g. c. d. peut être un diviseur quelconque d de M.

On peut, d'après cela, distribuer les classes en familles, en considérant diverses classes comme appartenant à une même famille, si elles ont le même p. g. c. d. avec le module M.

Combien de classes j a-t-il qui sont premières avec M? Il est clair qu'il y en a autant qu'on trouve parmi les nombres

des nombres qui sont premiers avec M. Nous désignerons ce nombre par î5(M), en sorte que

Le nombre des classes qui ont avec M le p. g. c. d. rfest évidemment le même que celui des nombres du groupe (A) qui ont d pour p. g. c. d. avec M. Il faudra donc les chercher parmi les nombres

rf, id, 3 rf, . . . , k d, .... —jd,

Or, pour que (Xy/, M) = rf, il faut et il suffit que k soit premier avec ~ • Le nombre cherché indique donc combien, parmi les nombres

•> 2, Oy • ' ' 1 j y

il y en a qui sont premiers avec ^> c'est-à-dire ce nombre est ?( ^)'

11 y a ainsi f ( -^j classes qui ont d pour p. g. c. d. avec M, le nombre total des classes ëlant M, on a

6f parcourant tous les diviseurs de M. Il est clair qu^on peut écrire cette relation plus simplement ainsi

Il est facile de déduire de là la valeur de ®(M).

5. Supposons plus généralement que deux fonctions numériques y et. F soient liées par la relation

d parcourant tous les diviseurs de M. Nous allons exprimer réciproquement la fonction y au moyen de F.

Soit

la décomposition de M en facteurs premiers. On obtient Tensemble des diviseurs d de M en développant le produit

et nous pouvons écrire d'une manière symbolique

F(M) =/M(i-h - -h. ..-4- \] (i-f- - -f-...-+- AV--(n- - -+-...-»- -t)

On doit développer le produit du second membre et remplacer ensuite chaque terme d pdir/(d). En remplaçant M par Mlp (donc a par a — i), on aura

En retranchant, il vient, si l'on fait usage dans le premier membre de la même notation symbolique

22, T.-J. STIELTJES.

En remplaçant M par — et retranchant, il vient ensuite En continuant ainsi, on obtient finalement

c'est l'expression cherchée; on peut l'écrire plus explicitement

,.■> /,M,.F,M,-2p(ïï)^2''C")-2''Cvr)

On rencontre souvent des fonctions numériques qui jouissent de la propriété

(3) Aab)=f{a)xf{b)

lorsque a cl b sont premiers entre eux (voir Chap. I, n® 14). 11 est clair qu'une telle fonction est parfaitement déterminée lorsqu'on connaît sa valeur pour les puissances des nombres premiers, mais ces valeurs-là peuvent être prises arbitrairement.

On voit facilement que, si la fonction y qui figure dans la relation (i) jouit de celle propriété (3), on aura aussi, a et b étant premiers entre eux,

( i) F(aù) = F(a) X F(6),

et l'on reconnaît maintenant par les formules (2) ou ('/) que, réciproquement, si deux fonctions y et F sont liées par la relation (1), et si la fonction F satisfait à la relation (4), la fonction / satisfera à la relation analogue (3).

Le théorème, souvent utile, de ce numéro est dû à M. Dedekind (Journal de C relie, t. 5t, p. 21). On l'établit ordinairement par une simple vérification. En exprimant au second membre de (2') partout la fonction F par la fonction /, on constate qu'il ne reste que le termey(M) : tous les autres termes se détruisent.

Ayant 'o(ab) = 'f (r/) 'f (6) lorsque a el b sont premiers entre eux, on peut remar-

qiier que, a élanl impair, on a, à cause de cp(2)= i ,

A rexceplion de îp(i) = 'f (2) = i, 'f{ci) est toujours pair.

7. Dans la théorie des nombres, on se propose, sur les congruences, des problèmes analogues à ceux qu'on traite en Algèbre sur les équations.

Ainsi on pose la question de trouver les nombres x qui satisfont à une congruence, telle que

/{x) = o (modiVI ),

où le premier membre est un poljnôme à coefficients entiers en x.

Si Ton satisfait à cette congruence en faisant x-=ûro^ Xq est une racine de la congruencc. Il est clair que tout nombre congru à .r^ suivant le module M satisfera alors aussi à la congruence, mais on a Thabitude de ne pas considérer comme diflérentes ces solutions. Aussi, si Fou dit qu'une congruence admet k racines, cela veut dire k racines incongrues, ou encore, ce qui revient au même, l'ensemble des nombres qui satisfont à la congruence se répartit en k classes. 11 est clair, d'après cela, qu'on obtient toutes les racines d'une congruence, en essayant successivement tous les nombres d'un système complet de résidus, par exemple les nombres

mais ce moyen devient impraticable dès que M est un peu grand.

Si tous les coefficienls du polynôme f{x) sont divisibles par M, la congruence est identique, un nombre quelconque y satisfait. La congruence est impossible évidemment lorsque tous les coefficients de/(x) sont divisibles par M, à l'exception du terme indépendant Aex,

Il est clair, du reste, qu'il est permis de remplacer un coefficient quelconque de f{x) par un nombre congru suivant le module M.