Pour appliquer ces relations à la solution de l'équation

ax — My = I,

on prendra i\ = M, N«^^t/. Comme ces nombres sont premiers entre eux, on finira par trouver Na= 1 , N^^i =: o, de manière qu'on ait

M = [ai, aj, . .., aji], a = [as, . . ., ak]y (--i)^= [««,^3, . ..,a^.i] X M — [ai, a,, ...,a/c-i] x a.

On peut donc prendre

37 = ( — i)A-i[ai, ai, ...,aA i],

Si Ton fait le calcul de la manière ordinaire, le dernier quotient a^ est au moins égal à 2, et l'on peut le remplacer par les deux quotients a^ — 1 et i, de manière que le nombre total des quotients est à volonté pair ou impair. Il est à peine besoin de dire que

M [ai, aj, . . .,a^l i — = = ai -+-

On voit sans peine que, Xo^yo étant une solution particulière de

ax—My = i, la solution la plus générale sera renfermée dans les formules

y=zyo-^at )

Il est clair aussi que l'équation indéterminée

ax -h by = c

28 T.-J. STIELTJES.

sera impossible si c n'esl pas divisible par d = {a^ b). Mais, si celle condilion est salisfaile, il y a loojours one infiDÎlé de solutions. Soit Xo^j^'o une solution particulière, la solution la plus générale sera

^ (/ = o, ri=i, zba, . ..).

11. Nous allons considérer maintenant le problème suivant, qui se rencontre très souvent :

Trouver tous les nombres x qui satisfont au système suivant' de n congrue nces

x = a (modA), «2^—? CmodB), x = y (modC), ..., j: = X (modL).

Soit M le p. p. c. m. des modules A, B, C, . . ., L, il est clair que, si la valeur X =. Xq satisfait aux conditions, il en sera de même de toutes celles comprises dans la formule

a:o -+- M / ( / = o, =b I , rt 2, . . . ) .

Réciproquement, si l'on a deux solutions x^ et x^^ la différence x© — x^ doit être

divisible par M, puisqu'elle est divisible par A, par B, .... par L. Il résulte de là

que, parmi les nombres

formant un système complet de résidus pour le module M, il y en aura tout au plus un qui satisfait aux conditions, et nous pouvons dire :

Si le problème proposé admet des solutions, ces solutions seront toutes renfermées dans la formule

x^a (modM),

où a est un nombre déterminé de la série o, i , . . ., M — i.

Mais, si aucun des nombres o, i, . . ., M — i ne satisfait au problème, on sera assuré que le problème est impossible et n'admet aucune solution.

Supposons maintenant d'abord que A, B, C, .. ., L soient premiers enti'e eux, alors M = ABC. . .L. Si l'on divise maintenant chacun des nombres

par A, par B, ..., par L, on obtiendra en tout M systèmes de résidus qui seront tous différents. Mais, d'autre part, on ne peut donner à a que A valeurs, à ^ B valeurs, etc., en sorte que le nombre total des systèmes de résidus possibles est M.

En divisant donc les nombres

par A, B, C, . . ., L, on obtiendra effectivement tous les systèmes possibles de résidus, et chaque système une seule fois.

Th^.orème II. — Les modules h., B, C, ..., L étant premiers entre eux, le système des congruences

j? E= a (modA), a? = p (modB), .... T==.'k (modL)

admet toujours des solutions, renfermées toutes dans la formule

57 = a (modM), où

M == ABG...L.

12. Lorsque les modules A, B, C, . . ., L ne sont pas premiers entre eux, M est plus jietit que le produit ABC. . . L.

Or il y a toujours A, B, C, . . ., L systèmes de résidus possibles (si Ton prend

a, j3, Y, . . ., X arbitrairement). Mais le problème ne sera possible que si le système

a, p, y, . . ., X se trouve parmi les M systèmes de résidus qu'on obtient en divisant

les nombres

par A, B, C, . . ., L. On voit donc que, dans ce cas, le problème ne sera pas possible toujours : il faudra, pour cela, que a, p, . . ., A satisfassent à certaines conditions que nous énoncerons plus bas. Mais toujours, lorsque le problème est possible, la solution est donnée par une formule

x^=a (modM).

13. Revenons au cas où A, B, C, . . ., L sont premiers entre eux pour voir comment on obtiendra la solution x ^ a (modM).

Puisqu'on doit avoir x^t. (modA), on posera

et il viendra

A^ = P — a (modB),

Xy^^ — a (modC). La première congruence donnera

y=yo-hBz,

on substituera cette valeur dans les autres congruences, etc.

T.-J. STIELTJES.

On remplacera cette méthode souvent avec avantage par la suivante indiquée par Gauss.

liaires a', ^', . . ., )/ par les congruences

Déterminons d'abord les nombres aux

BGD...La'E- AGD...Lp'i-- ABD...Ly'.^=

alors on aura