AH . . . K A

BGD...Laa' ACD...L?p'

ABD...LYY'

(mod A), (modB), (mod G),

( inodL),

-+- ABG. . .KXX' (modM = ABG. . .L)-

On vérifie, en effet, immédiatement que cette valeur de a^ satisfait aux congruences proposées, et il est facile de s'apercevoir que cette méthode revient à résoudre la question successivement dans les cas particuliers où Tun des résidus a, p, .. ., X est I et 011 tous les autres sont o. On compose ensuite la solution générale avec ces solutions particulières. Il est clair que cette méthode sera surtout avantageuse lorsqu'on aura à résoudre le même système pour diverses valeurs des résidus a, J3, ..., X, les modules A, B, ..., L restant les mêmes. Les mêmes nombres a', ^', . . ., )/ servent alors pour les diverses solutions.

14. Revenons maintenant au cas général où les modules A, B, ..., L ne sont pas premiers entre eux. On peut d'abord poser comme tout à l'heure

et la seconde congruence deviendra

A^ = p — a ( mod Fi ).

Il faudra donc que jâ — a soit divisible par (A, B) = d. Si cette condition n'est pas satisfaite, le système n'admet aucune solution. Mais, si elle est satisfaite, on aura

{t =0, ihi, zt 2, ...)

et, par conséquent,

iF ^ a -h A^t

(^mod-^j

SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 3l

et celte congruence remplace maintenant les deux premières j^^a(inodA), X ^ P (modB). On remarquera que le module — est bien le p. p. c. m. de A et B. On pourra combiner maintenant la congruence

^ = a H- A jo ( ^od '—r \

avec la troisième

X =^^[ (modC),

et ainsi de suite. Il est clair qu'on arrivera de cette façon toujours, soit à s'assurer <|ue le j)roblème est impossible, soit à trouver la solution sous la forme

X ^^ a ( mo(J M ) si elle existe.

Cette méthode, toutefois, a Tinconvénient de ne faire souvent connaître Finipossibilité du problème qu'après de longs calculs qui ont été inutiles alors. On ne peut remédier à cet inconvénient qu'en donnant le moyen de reconnaître a priori \^ possibilité ou l'impossibilité du problème. C'est là l'objet du théorème suivant :

Ïhkorème III. — Pour que le système des congruences

x^=0L (modA), j" F= p (modB), ..., x ^^\ (modL) admette des solutions, il faut et il suffit que les différences

a — p, a — Yî ? — Y' •••> ^ — ^ soient divisibles respectivement par

Que ces conditions sont nécessaires, cela est clair d'après ce qui précède. Pour montrer qu'elles sont suffisantes, nous supposerons que la proposition est exacle dans le cas de n — i congruences, et ferons voir qu'elle est alors exacte aussi dans le cas de n congruences. Puisqu'on sait que, dans le cas /i = 2, le ihéorème est vrai, il sera ainsi démontré généralement.

En effet, la proposition étant vraie pour n — i congruences, on pourra remplacer les n — i premières congruences par celle-ci

x^t (modiVr) et le système complet par

(i) x^t (modM'), x^l (modL).

32 T.-J. STIELTJES.

Ici M'= I A, B, C, . . ., R|. Or, d'après notre hypothèse,

X — a, X — p, ..., X — X sont divisibles par

respectivement, et il est clair que

sont divisibles par A, B, C, ..., K respectivement, donc aussi par (L, A), (L, B"), . . ., (L, K) respectivement. On voit par là que la différence

est divisible par (L, A), par (L, B), . . ., par (L, R) et, par conséquent, aussi par le p. p. c. m. de ces nombres qui est (L, M') (Chap, 1, n** H). Mais cette divisibilité de X — / par (L, M') est précisément la condition nécessaire et suffîsante pour que les congruences (i) et par là aussi les congruences proposées admettent une solution.

On peut démontrer ce théorème aussi en faisant voir qu'il y a exactement M systèmes de résidus a, [î, . . ., X qui satisfont aux conditions exigées.

15. On peut réduire le cas général au cas où A, B, . . ., L sont premiers entre eux. Pour cela, mettons le p. p. c. m. M des modules sous la forme

où A', B', C, ..., L' sont premiers entre eux et divisent respectivement A, B, C, ..., L(Chap. I, n«M8, 19).

11 est clair que les solutions du problème proposé satisferont aussi aux congruences

ar = a (modA'), a? = ^ (modB'), ..., x eu A (modL'),

mais ce dernier système admet, nous le savons, toujours des solutions renfermées

dans la formule

X ^ a (modM).

Si donc on s'est assuré préalablement que le problème proposé admet des solutions, ces solutions sont encore renfermées dans la formule précédente. Mais, si l'on ne savait pas si oui ou non le système proposé admet des solutions, cette valeur x^a (modM) pourrait ne pas satisfaire aux conditions imposées, qui seraient alors incompatibles.

Considérons, par exemple, le système

a:^ 3i (mod 72 = 23.8'),

a: == 22 (mod io5 = 3.5.7),

a?^ 5o (mod 77 = 7.11),

37 = 337 (mod399 = 3,7.19).

On a ici M = a'. 32. 5.7, 1 1 . 19 = 526680 et ABCD : M = 44'- Donc, si les résidus 3i, 22, 5o, 387 avaient été pris au hasard, il n'y aurait qu'une chance sur 44' que le problème soit possible. Il convient donc de s'assurer d'abord si le problème est possible ou non. Or, les nombres

étant divisibles respectivement par

3, I, 3, 7, 21, 7, le problème est possible. La décomposition de M

M = 72 X 35x11 X 19 permet maintenant de remplacer les congruences données par celles-ci

iF= 3i (mod72),

x^ 22 (mod 35),

ar = 5o ^ 6 (mod 11),

X = 337 = 14 (mod 19).

En appliquant maintenant la méthode de Gauss, les nombres auxiliaires a', ^', y', 0' se déterminent par les congruences

35uii.i9a'— 43a'=i

(mod72),

(mod 35),

(mod II),

(mod 19),

d'où

et, finalement,

x^ — 5.35. II. 19.31