Essai sur la théorie des nombres, second supplément

Sur quelques objets d‘ analyse indéterminée et particulièrement sur le théorème de Fermât. '

Quoique la théorie des nombres soit beaucoup plus avancée maintenant qu’elle ne l’était du temps de Fermât, cependant il reste encore à démontrer une proposition découverte parce savant illustre (*), savoir que, passé le second degré, il n’existe aucune puissance qui puisse être partagée en deux autres puissances du même degré. Le cas des troisièmes puissances a été démontré par Euler, et celui des quatrièmes l’a été également par une méthode que Fermât lui-même avait suiïïsamment indiquée, mais ou n’est pas allé au-delà ; et quoique l’Académie des Sciences , dans la vue d’honorer la mémoire de Fermât, eût proposé pour sujet d’un de ses prix de mathématiques , la démonstration du théorème dont nous parlons , le concours, prorogé même au-delà du terme ordinaire, n’a produit aucun résultat.

(*) « Cubum autem in duos cubas , oui quadrato-quadratum in duos quadrata-quan dmtos t et generalitsr nulUim in infinitum ultra quadratum 3 poteslatem in Huas ejus- » dem nominis fat S»t dUùders , eu) ut rei demonstrationcm mirabilem sani de le n . » Hanc marginis exiguitas non caperet. » Fermât, Notes sur Diophante, pag. O I ■

Les dernières paroles de cette note autorisent à croire que la démonstration dont parle Fermât , n'aurait occupé qu’un petit nombre de pages, s’il les avait eue» à sa disposition. Cette démonstration était donc beaucoup plus simple qoe celle dont nous nous serrons dans cet écrit pour prouver seulement que la solution, s’il y en assit une dans quelque cas, ne pourrait être donnée que par des nombres d’une grandeur prodigieuse. Mais ne poussons pas trop loin des observations qui nous induiraient à penser que Fermât a pu se méprendre sur l’exactitude ou la généralité de sa démonstration.

Il semble donc qu’une difficulté particulière est attachée à cette ques^ tion et -que nous manquons encore du principe spécial qui serait nécessaire pour la résoudre. En attendant qu’un hasard heureux fasse retrouver ce principe , tel que Fermât l’avait conçu , les Amateurs de la Théorie des Nombres verront peut-être avec plaisir que le cas des cinquièmes puissances peut être démontré rigoureusement.

Nous allons exposer cette démonstration en la faisant précéder «le quelques considérations générales sur les conditions auxquelles devraient satisfaire les trois indéterminées, si la solution était possible. L’une de ces conditions est que l’exposant de la puissance, ou même son quarré, soit diviseur de l’une des indéterminées ; et l’on remarquera que celte simple condition , facile à démontrer pour de petites valeurs de l’exposant, devient elle-même un problème difficile et non résolu,, lorsqu’on veut l’étendre à un exposant quelconque.

I. L’équation à résoudre étant représentée en général par x" :£ j'* — t " , on peut d’abord exclure le cas où l’exposant n serait divisible par 4» car celte équation ne serait qu’un. eas particulier de l’équation t* ch a 4 a= v*-. Or celle-ci est démontrée impossible ; il faut donc que la première le soit à plus forte raison , puisqu’il ne suffirait pas de satisfaire à cette dernière par des valeurs de t, u, v, et qu’il faudrait encore que ces valeurs fussent des puissances de l’ordre £ n.

On peut de même làire abstraction du cas où l’exposant n serait simplement divisible par a; car en faisant n= a m, l’équation proposée serait un cas particulier de l’équation t“ ch u m = v m où l’exposant m est un nombre impair.

On peut prouver de plus qu’il suffit de considérer le cas où n est un nombre premier; en effet si n était un nombre impair quelconque,, soit s le plus petit nombre premier qui divise n, il est clair que l'équation proposée serait un cas particulier de l’équation t’ ch u’ = t>’ , de sorte que si cette dernière est démontrée impossible, l’autre devra l’étre à plus forte raison. ' -*

a. Cela posé il s’agit en général de démontrer que l’equalion x* -f- a* 3 = 0 , où n est un nombre premier plus grand que a, est impossible, sauf le cas évident où l’ira des nombres x, jr, s, serait xéro. Nous supposerons d’ailleurs «pie les nombres x, jr, a, dont les valeurs et les signes sont indéterminés, n’ont aucun commun diviseur; car si un même nombre premier * di-' visait deux des nombres x,/, a, il «liviserait nécessairement le troisième, et

l’équation pourrait être divisée par «*. Il faudra, en vertu de celte supposition , que deux de» trois nombres x,/, z, soient impairs et le troisième pair.

3. Soit X •+•/ -f- z = p , je dis que p sera toujours divisible par n. Eu effet on sait que n étant un nombre premier , la quantité x* — x est toujours divisible par n ; il en est de même de /* — y et de z* — z , donc la somme de ces quantités, savoir x' -f- /“ ■+• s’ — p ou simplement p est divisible par n.