Je dis maintenant que p ’ sera divisible par le produit

(x-f-7 )(/4-z) (z-|-x),de sortequ’on pourra faire p*=(x-f-/) (/+z) (z-f-x)P, P étant un polynôme en x,/, z, homogène' et du degré n — ■ 3. Car n étant un nombre impair - quelconque, p m — z*' est toujours divisible par p z ou X + y, de même x" -4-/* est divisible par x -f-/; donc />* — x * — z’ — f. ou simplement p’ est divisible par x-f-J. Par une semblable raison p*est divisible par / -f- z et par z + x. Donc n étant un nombre impair quelconque, p’ sera divisible par le produit (x+j) (/ + *) (* + •*)•

5. Si l’on suppose qu’aucun des nombres x,y, z n’est divisible par n y

il faudra aussi qu’aucune des sommes x -J-/ > / 4* z > z + •*, ne soit divisible par n-, car si, par exemple , x -f-/ était divisible par n, la différence p (x -f- /) ou s serait aussi divisible , ce qui est contre la supposition.

6. Si l’un des nombres x, /, z est divisible par rt, soft x ee nombre;

alors y -J- z sera divisible non-seulement par n, mais par n*~ En effet puiqu’on a x* +y* + z* = 0, il faut que/* -f- z* soit divisible par n’ ; mais /*+z*est le produit dej-J-z par le polynôme z* -1 — z'y— 1 — etc.

et si on fait dans ce polynôme/ + * = ©•, ou z = — y , il se réduit à «/*"•; donc comme/ ne peut être divisible par n, puisque x et/ sont premiers entre eux, le polynôme sera divisible par n simplement et non par une puissance plus élevée de n. Donc / -(- 3 sera divisible par n'~ *.

En général si x était divisible par /»*,/-+- z le serait par et P sim-

plement par n.

7. Il résulte de ce qui précède que si on fait/* 4- z* = (/-f-z) <p (y,z) , les deux facteurs / +• z et <p (/, z) auront n pour commun diviseur ou n’en auront aucun , selon que x sera ou ne sera pas divisible par n.

La fonction ip (/,z) =/*“’ — z/’~*+z^/*~ 5 .. . -f-z* -1 dont nous ferons beaucoup d’usage, est remarquable par plusieurs propriétés. Comme les nombres y et z doivent être en général ou tous deux impairs , ou l’un pair et l’autre impair , la fonction <p (y, z), dont le nombre des termes est

zi, sera toujonrs un nombre impair. De plus ce nombre sera positif ; car ia fonction <p est de degré pair et elle a tou* ses facteurs imaginaires. On sait d’ailleurs que n étant, comme nous le supposons, un nombre premier, la fonction 4?. peut toujours se mettre sous la forme 4?— Y*db«Z*, savoir V-f-«Z*, *i « est de 1° forme 4 A' — 1 , et Y • — t»Z*, si n est de la forme 4 Æ -4- « • {V oyez Th. des N. n° 4,6. )

Maintenant si on peut satisfaire à l’ équation x‘ -h y’ -(- a* = o, voici les conséquences qui résultent de cette supposition.

8 . Considérons d’abord le cas où l’un des trois nombres x,y, z, serait divisible par n, et soit x ce nombre; alors en faisant^* -f - a* = (^ + z) 0 (y, a), le produit des deux facteurs y z et 0 (y, 2 ) sera égal à la puissance ( — x)"; et comme ces deux facteurs ne peuvent avoir que

n pour commun diviseur, il faudra que n(y z), et i <p ( y , a) soient l’un et l’autre des puissances 71 """ dont le produit sera égal à ( — x )" ; c’est pourquoi nous ferons en général^ -f- a = ~ a" , a désignant un nombre divisible par n ou par une puissance de tj , et ç (y, z) — net * , ce qui suppose xz= — aa,, et de plus * premier à na.

On a également a" -f- x’ = (a -f- x) 0 (a, x) — ( — y) m ; mais clans ce cas y n’étant pas divisible par n, il faudra que z -f- x et 0 (z, x) soient l’un et l’autre des puissances n"~"; on fera donc z -f- x = b m , et 0 (s, x) = €’ , ce qui suppose^ = — bZ.

Pareillement de l’équation x* -j-y‘ = (x-hy) 0 (x,y) = — a* , on déduira jc -j-y = c", 0(x,y) = — ce qui suppose s = — cy.

On aura donc à la fois les neuf équations :

y-+-z='-a', 0(y,z) = ntf, x = — «<*,

x~hy=c', p(x,y)==y, z — — cy.

Appelons comme ci-dessus p la somme x -j-y -4- a, nous aurons -

ip = - n* -f- b" - 4 - c* , et les valeurs (le x, y, z seront exprimées en fonctions de a, b, c, comme il suit :

Z = P C* = ; f fl" -f- — C*y .

g. 11 existe aussi une relation entre a, b, c, laquelle se déduira de l'équation s p — - a" + b‘ -j- c* , combinée avec l’équation

On sait d’ailleurs que p" est divisible par n (/ -f- s) (z + x) (x +/) , ou par a'b'd'i on peut donc supposer p = abcM , ce qui donnera

aoAcD = - a* -f- A" + c*.

Et par le de’veloppement de l’équation précédente, on obtiendra dans chaque cas particulier une autre équation entre a, b, c, D. Dans le cas de n= 3 , on a simplement D =s 1,

10. Nous remarquetons encore que tout diviseur premier 8 de l’un des

facteurs a, S , y, doit être de la forme akn -f- 1. Car les nombres 8 sont diviseurs d’un nombre de la forme p * q* sans l’être de p + q ; soit

p = qt + ü «, il faudra que 6 soit diviseur de <" — f— 1 sans l’élre de t -J- 1 ; d’où il suit que 8 est de la forme a kn ■+■ 1. ( Th. des N ., art. 157.)

Celte propriété est commune ans trois facteurs impairs a, S, y ; mais le premier a, qui entre dans la composition de l’indéterminée x déjà divisible par n, a de plus la propriété que tous ses facteurs premiers sont de la forme 3/01*+ 1.

1 1. En cfTet soit 8 = zkn + 1 un des facteurs premiers de *; on déduira des équations précédentes, en omettant les multiples de 8 , <z=o, x = 0, / = c", s = A", <p (/, s) = o. Soit /> une racine, autre qne — 1 , de l’équation /"-f- 1 =0; puisqu’on a/* -f- z" ~{y -f-3) <p (/, s), l’équation Ç> (/, z)= o , aura pour l’une de ses racines / = fz; donc c" = fb' , donc / doit être un résidu rï"~ de Q ; représentons ces résidus par la suite db ( t , p,p‘. . .p k ~ ’), où p doit satisfaire à la condition p k -f- 1 = o (sans qu’on puisse avoir p k 1=0, h étant un diviseur de k), on pourra faire f — p‘ et l’équation 1=0, deviendra p* -f- 1=0.

Plusieurs valeurs de i peuvent satisfaire à cette équation ; car si h est la moindre de ces valeurs , on pourra faire i= h , 3 A, 5 A, etc. , c’est-à-dire i égal à un multiple impair de A, et alors lu valeur f = p 1 , renfermera les valeurs f = p k f p ,k , p* 1 , etc., lesquelles satisferont également à l’équation f- f- 1=0.

Cela posé l’équation p km -f- 1=0 dans laquelle l’exposant de p est le moindre possible, devra coïncider avec l’équation p k -f- 1 = o , où A est

a&sujéti « la même condition , de sorte qu’on aura k = hn , et par conséquent 9 = a fin' ■+■ 1. Donc tous les diviseurs premiers de a sont de Ja forme a hn* + i ; ce qui établit une différence notable entre ces diviseurs et ceux des deux autres nombres € et y , lesquels sont simplement de 1a forme a kn -+- i .

ia. Nous avons supposé dans l’art. 8, qne l’un des nombres x, y, z, est divisible par n ; il reste maintenant à considérer le cas où aucun de ces nombres ne serait divisible par n. Alors le seul changement à faire dans

les neuf équations de l’art. 8, serait de mettre a" à la place de ~o*, et a* à la place de «a". Mais on verra que ce cas ne peut jamais avoir lieu.

i3. Au moyen de la forme générale que nous venons de donner aux valeurs de Xj y, 3 , on peut démontrer que si uue de ces indéterminées est divisible par n, elle le sera nécessairement par n* , et qu’il en sera de même de la quantité p.

En effet nous avons appelé x dans l’art. 8 l’indéterminée qui est divisible par n ; or d’après l’équation ap = 2a*-f- è* -f-.c*, où ap et ^ a* sont divisibles par n, il faut que b' -f- c* soit divisible par t«. D’un autre côté h * — h et c* — c étant toujours divisibles par n , leur somme b’ + c* — (ù -f- c) est divisible par n ; donc b -f- c est aussi divisible. Soit b -f- c s= tjA, on

aura b’= (— c+nA)*, et b*+c’=ru?—. nk~ a ~ 2 c — ./i*A*-f-etc.;

d’où l’on voit que ù"-f- c" est toujours divisible par»*; mais la partie^ a'

est aussi divisible par n' dans le cas de n = 3 , et par une puissance plus élevée de n, lorsque n est > 3. Donc p sera toujours divisible par n*; donc

p — 2 a* ou * sera divisible par n*.

11 est donc démontré en général que a l’une des inconnues x, y, s, est divisible par n, elle le sera nécessairement par n‘, et qu’il en est de même de la somme * ~hy -f- 3 =p.

1 4- Nous nous proposons maintenant de démontrer que l’une des iuconnues x, y, z , est nécessairement divisible par n.

Ayant déjà fait p — x + y -f- * , soit encore tf = xy -f- yz -f- zx t r = xyz , de manière que les indéterminées x , y , z, soient les racines de l’équation V* — pY* -+- qV — r = o ; si on appelle en général S» la somme des puissances de degré m de ces racines, savoir S„ = x" +y"«4*.s" , on aura d’après les formules connues :

S s =/> 3 + 3 (r—m), et en général

S, =?p m — mqp*-' 4- mrp'

+ etc.,

celle suite devant être prolongée jusqu’aux puissances négatives de// exclusivement.

i5. Soit n = 3 , on aura S 5 = o, ce qui donne

P 3 — 3 (P<7— r) = 3(x+jr) Cr + s) (=-f-x); donc p csl divisible par 3 et en outre un des facteurs x~{-y, y+z, z+x est divisible par 9. Soft cë facteur y -+• alors/? — (j r ~h 2 ) ou x sera divisible par 3; on peut de plus conclure, suivant l’art- «3, que x devra être divisible par g , ainsi que p.

16. Soit n = 5, on aura S 5 = 0, ce qui donne p s = 5 ( pq — /•)(/>* — ij) ou

Si aucun des nombres x + J',J r ~h s> a-}- x, n’est divisible par 5 , il faudra que le facteur p‘ -J-x*-f- y' -f- 2*, ou simplement sa partie x*-\-y‘ -f-3» soit divisible. Mais tout nombre non divisible par 5 est représenté par 5/n ± 1, ou par 5m d ha, et son quarré l’est par 5/n ± 1 ; or trois nombres étant de la forme 5/n=fc 1., leur somme ne peut être que de l’une des quatre formes 5/nd= 1 , 5 ni ab 3 ; il est donc impossible que x* -\-j' -f-s* soit divisible pur 5, si aucun des nombres X, jr, 2 n’est divisible. Donc dans le cas de n = 5 , il y a nécessairement une des indéterminées divisible par 5; elle l’est donc en même temps par a5, ainsi que la somme x +y-f ~z = p.

17. Ces deux premiers cas peuvent être démontrés d’une mauiore beaucoup plus simple comme il suit.

i*. Un cube quelconque non divisible par 3 est nécessairement de l’une des deux formes gm 1. Or trois des restes =fc 1 ne peuvent faire ni la somme zéro , ni la somme g ; donc si l’on peut satisfaire à l’équation x 1

-{-j 3 -f- = o, un des trois nombres x,y, s, sera nécessairement divi-

sible par 3 .

3°. La cinquième puissance de tout nombre non divisible par 5 est nécessairement de l’une des quatre formes a 5 m ±(1,7), ce que l’on peut vérifier sur les cinquièmes puissances des nombres 1, a, 3 , 4 , lesquelles divisées par a5, ont les mêmes restes que donneraient les cinquièmes puissances des nombres 5 x -f- i , 5 x+a , 5 x+ 3 , — f— Or trois des quatre

restes db 1 , ± 7, ne peuvent faire ni la somme o ni la somme a 5 . Donc si l’équation ad + / 5 z 5 = o est satisfaite, il t?udra que l’un des nombres

x, y, s, soit divisible par 5 .

Le même movtn ne réussit pas pour le cas de n = 7 ; car on trouve ig 7 — 18 7 — 1 = 7'. 18. 19. Ainsi trois nombres non divisibles par 7 tels que X = 19, r = — 18, s = — 1 , ou plus généralement x = 19 -t- ^*n, y — — 18 -f- 7 ‘b, z == — 1 -f- 7*e, donneraient la somme x 7 -h y -fdivisible par 7’. Mais voici deux autres cas qui réussissent, ce sont ceux de n — 1 1 et n = 17.

- En effet, 1”. la puissance 1 1'~ de tout nombre non divisible par 1 1 est toujours de l’une de ces dix formes iaim±(i, 3 , 9, 37, 4 o)» Or dans les cinq nombres 1, 3 , 9, 37, 40 ) il n’y en a pas deux qui se suivent immédiatement ou dont la différence soit l’unité. Donc trois de ces nombres ne peuvent faire ni la somme O ni la somme rai. Donc l’équation x" -\-y" ■+• z” = o étant supposée possible, un des nombres x, y, s, sera divisible par 11.

a*. La puissance 17*“ de tout nombre non divisible par 17 est de l’une des iG formes a8g m rfc(r, 38 , 4 °> 65 , " 5 , no, 1 3 1, » 34 ) j or parmi ces restes on n’en trouve pas deux qui se suivent à une unité de différence ; donc dans l’équation x’ 7 -\-y" -j- 3 l! = o, un des nombres x, y, s, sera divisible par 17. • .

1 8. Le principe 'dont nous venons de faire usage se démontre ainsi :

Supposons qu’on ait x“ + y" -f- z" =0, et soit 6 un nombre premier non diviseur de xyz , puisque x et 6* sont premiers entre eux, on peut supposer y — jx -f- Oy, z — gx -f- 6 J z', et en faisant la substitution un verra que 1 -f-/" + g* est divisible par S 4 , ou qu’en supprimant les multiples de 0 % ou a ( — g)' — J' -j- 1 , donc parmi les restes des puissances ri”“' divisées par 6* , il y en aura toujours un , provenant de ( 9 — g )“ ou de ( ■— -g)" qui sera plus grand d’une unité que le reste provenant de f". .Si cette condition ne se trouve pas remplie dans la série des restes , on doit

en conclure qu’il y a nécessairement un de» nombres æ, y, z. divisible PW 8-

ir). Revenons au cas de n = 7 et faisons S, = o dans les formules du n° 14, nous aurons ■

— - — ~ —J — - si

donc aucune des indéterminées or, j', -z, n’était divisible par.7, i) faudrait que x* ~ty‘ -f- z* fût divisible ; mais cette condition ne présente aucun signe d’impossibilité, car le quarré de tout nombre non divisible par 7 est de l’une des trois formes 7m-!- 1 , a, 4, et la somme des trois restes 1, a, (\ , est divisible par 7. Celte considération est doue insuffisante pour notre objet, et il faut recourir' à d’autres moyens.

ao. Étant prçposc l’équation x 7 -f- y 1 + s T = o, où l’on suppose xyz non divisible par 7, on pourra faire d’abord comme ci-dessus

a. étant premier à 7 a. Mais on sait que 4 # Os s) peut se mettre sous la forme Y* -+- -/IS , où l’on a Y = a y 3 — y'z — yz* -f- az 3 et Z ==yz {y — -z). Un aura donc 4 **’ = Y* -f- 7Z*, ou simplement a 7 = (JY)* -f- 7(4 Z)*; car Y et Z seront toujours des nombres pairs. CeUe équation fait voir que a. diviseur deda formule l' *f- 7U*, doit être de cette même forme, et qu’ainsi on peut supposer *== faisant ensuite (f-hg \/ — 7) 7 :s*F«+-G 1/ — 7 , ce qui dunue

F =/ (/' - 3.7 TV + 5 . 7 */v - :V) ,

g = 7 £■</' -5.7/v + 3.7TV - 7 V),

on aura l’équation (; Y)* +7(7 Z)* = F* + 7G* à laquelle on satisfait généralement par les valeurs ' •

ly*(y— s ) = g .

Mais puisque G est divisible par 7 , il faudra que yz (y — z) le soit aussi ; et comme dans notre hypothèse ys est non divisible , il faudra que 7' — z soit divisible.

On prouvera de même par l’équation <p (z, x) = 6 7 , que x — ■ s doit être divisible pqr 7; donc la somme de ces .deux quantités, savoir x -f-y — az serait divisible. D’un autre côté, x -j-y -f- z est toujours divisible par 7.;

n THÉORIE DES NOMBRES.

donc il faudrait que 3 z et par conséquent s fût divisible par 7, ce qui est contre l'hypothèse. Donc enfin dans le cas de n — 7 , l’une des indéterminées est nécessairement divisible par 7 et meme par 7*.

Le meme mode de démonstration pourrait s’appliquer aux valeurs q= 1 1, n = 19, mais il ne réussirait pas pour la valeur n =ss i 3 . C’est pourquoi nous allons exposer une autre démonstration fort simple et d’une généralité presque absolue.

al . Si l’équation x* +y* -f- z* = o est possible, avec la condition qu’aucun des nombres x, y, z, n’est divible.par n, il faudra conformément à l’art. 12, qu’ou puisse satisfaire aux équations suivantes où aSy n’a aucun diviseur commun avec nabc.

x+y = c", <p(x,y)=>", 5 = — cy=i(a'+ £* — c*).

Or nous allons faire voir que ces équations ne peuvent avoir lieu.

Pour cela supposons, ce qui sera prouvé ultérieurement, qu’il existe, pour chaque valeur de », un nombre premier fi ="ikn -f- t , tel qu’on ne peut pas satisfaire à l’équation r* — r - f- 1 , /• et / étant deux résidus de puissances T»"’"" divisées par fi, et tel en même temps que n ne soit pas un de ces résidus. Voici les conséquences qui résultent de l’hypothèse que n u’est pas diviseur de xys.

11 faut d’abord que l’un des nomiires x, y, », soit divisible par fi, car dans le eas contraire, on serait conduit comme dans le n’ 18 à l’équation /•' = /•- f- 1 qui n’a pas lieu. Soit ce nombre x, alors b" -f- c" — a' sera aussi divisible par fi , de sorte qu’en omettant les multiples de 8 on aura b" -f- c* — o* = o. Je conclus de cette dernière équation que l’un des nombres a, b , c est divisible par fi, sans quoi ou serait conduit (le nouveau à réquation r* = r-f- 1 qui n’a pas lieu. Ce nombre divisible ne peut être ni b ni c , car si cela était , x aurait un commun diviseur avec l’un des nombres y et z exprimés par — bC et — cy. Donc le nombre divisible par 8 ne peut être que a.

Cela posé, en omettant toujours les multiples de fi on aura les équations conditionnelles (*) x = o, a — o, fi*-f-c" = o, z = b" ,j — c", z— — y.

(’) Ces équations entre des restes provenant de la division de plusieurs nombres par un même nombre premier I, se traitent comme les équations ordinaires, sans qu’il suit Siesoin des signes nouveaux d’égalité ni des dénominations nouvelles assez iuccugrutt „ dont quelques géomètres font usage.

ensuite les valeurs x = o, z = — y étant substituées clans les équation» P (.T. *) = <*\ P (*i ±) = £’, P (x,y)=y, il en résulté ny—‘ = a", z* -1 = C ' , y’ - ' = y". Donc ny m = a*.

Mais puisqu’on a 0 = ikn +- r , si on appelle /• un résidu quelconque de la puissance x", non divisible par 8, on sait par les propriétés de ces résidus (Th. des 2V. art. 336) que les a k valeurs de r qui satisfont à l’équation ju** = i, sont représentées par la suite i , f x, ft‘. . . /u** — 1 , formée des puissances successives d’un même nombre ft, dont la propriété est telle que M* — “ ' > et qu’aucune autre puissance de fl dont le degré serait inférieur à k , ne peut donner le reste — i. 11 en résulte donc qu’on pourra faire a* = fjé et y’ — ft', et alors l’équation ny m = a" donnerait n = *, donc

n serait un résidu de puissance ce qui est contre la supposition.

23. Tout se réduit par conséquent à prouver qu’il existe pour chaque valeur de n un nombre premier 8 qui satisfait aux deux conditions mentionnées. Voici un tableau dresse à cet eOct pour toutes les valeurs de a moindres que ioo.

fi.

r±( 1 .SaSo, 22-, 252,35c ,4 o3^î3o) ;

2 aà+i

îoà=

On voit dans ce tableau que Péquation r' — r — î n’est satisfaite dans aucun cas, c’est-à-dire qn’il n’y a pas deux restes dont la différence soit égale à l’unité. On voit de même que l’exposant. n n’est pas compris parmi les valeurs de r. Ainsi la proposition est démontrée, en quelque sorte d’un trait de plnme, pour toutes les valeurs de n moindres que ioo (*).

(*) Cette démonstration qu’on trouvera sans doute très ingénieuse , est due à

2 j. Dans lu tableau précédent on peut remarquer que la valeur de t qui sert u former le nombre auxiliaire 0 = ank -f- t , est un tenue de Lu série i , a, 4 > 5 , 7, 8, où l’on ne trouve ni 3 ni G. Cette suite s’étentjfait plus loin si le tableau lui-même était prolongé au-delà de la limite « = 97 ; mais nn n’y trouverait aucun nombre divisible par 3 . En eflet si k était divisible par 3 , il serait toujours possible de satisfaire à l’équation r' = r-f- 1, et l’une des conditions exigées n’aurait pas lieu. Car en luisant k = 3 i, le nombre fx qui par ses puissances successives forme les 2k valeurs du résidu r, devra satisfaire à l’équation (x k =1 — 1 ou /w. s * — t = o. Rejettent dans le premier membre le facteur /a’ + 1 qui u.e peut pas être zéro par la pâture du nombre jx (art. ai ) on aura fx“ — y.' -fr I = O ; ainsi en faisant /x‘ = r, fx‘‘ = r, ou aurait r* = r-jr 1.

24. Si l’on remarque que la valeur 0 = 2» + 1 s’applique à. 9 des 24 cas contenus dans le tableau, on pourra présumer que la loi est générale; c’est-à-dire que toutes les fois que an -1- 1 est un noprbre premier enmême temps que n, ce nombre an + 1 ou 0 satisfera aux deux conditions prescrites, savoir que l’équation / = r -f- 1 entre deux résidus n‘ ,m " n’a pas lieu, et que n n’est pas un de ces résidus. En clTet dans ce cas il n’y a que deux résidus-+- 1 et — 1 , qui ne satisfont point à l’équation r* — r- f- 1 , et n n’est pas un de ces résidus.

a 5 . Ou peut prouver de même que lorsqu’on a 9 = 4 « 4 - 1 , ces deux conditions sont encore satisfaites. Dans ce cas il y aura 4 résidus r à déduire de l’équation r 4 — 1 =0, laquelle se divise en deux autres r* — 1 = o, 1*4-1= o. La seconde d’où il faut déduire le nombre fi est facile à résoudre; car on sait que dans le cas dont il s’agit 6 j>eut être mis sous la forme a* -f- i* , il sullira donc de déterminer fx par la condition que a -f- bfx soit divisible par 0, et fx‘ -j- 1 sera divisible par 0; de sorte qu’en omettant les multiples de 0, on pourra faite y.'— — i , et les quatre valeurs de r seront /-=dh(i, fx).

De là on voit que la condition /■* = /• -f- 1 ne pourrait être satisfaite que dans le cas de /* = 2, alors on aurait 0 = 5 et n = 1 , cas exclu. La seconde condition qui exigerait que fx = n,' donne en omettant les mulli-

M u * Sophie Germain j qui cultive avec succès les sciences physiques et mathématiques, comme le prouve le prix qu’elle a remporté à l’Académie sur les vibrations des lames élastiques. On lui doit encore la proposition de l'art. i 3 et celle qui concerne la forme particulière des diviseurs premiers de *, donnée dans Tart. 11.

SECOND SUPPLÉMENT. i 5

pies de 0, n* = — ! , mais par la mime omission on a i -f- \n = o, et i = i6n*; donc n* = — iG«*, ou 17=0, c’est-à-dire que 17 serait le nombre 0 ; mais alors on aurait » = 4 qui 11’est pas un nombre premier.

Donc toutes les fois que » et 4 » -f- i seront l’un et l’autre des nombres premiers, le nombre 0 = 4» 4 - 1 satisfera aux deux conditions requises.

26. L’analogie porte à croire qu’il en sera de même dans le cas de 0 = 8» + 1 ; c’est ce qu’il .faut examiner. D’abord la valeur de fi devra être déterminée par l’équation fi* -f- 1 = o qui peut être résolue sans tâtonnement de la manière suivante.

Le premier membre peut se mettre sous la forme (fi ' — ^ ^ C [

comme 0 nombre premier 8 n -f- 1, doit être de la forme a' -f- ai*, on pourra faire fi' — 1 = 2 tic , en prenant pour c la plus petite valeur de/- qui satisfait à l’équation a — 3 bj — 0 c.

Ponr résoudre enstiite l’équation fi' — ajtc — 1 = 0, ou

(fi — c)* — (c* 4- 1) = o , on multipliera le premier membre par \b', et observant que 4^* (c*4-i) = a'-\-^b'=ab', on auça /\b'(fi — c)' — ai*=o, ou a (f* — c)‘ — i=o. Mais le nombre 0 de forme 8» 4- 1 , peut être représenté par aa* — C* ; donc fi sera déterminé par la condition que € (u — c)rha soit divisible par 0.

Cela pose les boit valeurs de r seront r = ± (s, fi, fi', fi 3 ). Maintenant l’équation / = r + 1, *i elle pouvait avoir lieu , serait représentée par t’une des trois équations suivantes :

fi' = ftdb 1, ^ = ^ 3 =d=/ 4 -f 1;

et comme on a ju 4 = — 1 , la seconde mise sous la forme p? — »* y* et la troisième multi|)liée par fi, se réduisent à la première. Ainsi tout se réduit à prouver qu’on ne peut avoir fi' = fi ± 1 , ou fi' =p 1 = fi. En effet si ou élève chaque membre au quarre , on aura -p ?p* — équation impossible. Donc lorsqu’on aura 0 = 8» 4- 1 , l’équation r 1 = /• 4- 1 sera impossible, ct la première condition sera remplie.

11 reste à prouver que la seconde le sera également, c’est-à-dire que n ne sera pas comprise parmi les valeurs de r. Si elle l’était on aurait = 1 ;

d’un autre côté on a 1 = — 8n + 0 , ou simplement 1 — — 8 », ct par conséquent 1 == 8 4 » 4 , donc n 4 = =b 8 4 » 4 , ou 8 4 d= | = o, ce qui veut dire que 0 ne pourra être qu'un diviseur de 8 4 =fc ij or S 4 — 1 n’a pour diviseur aucun nombre premier de la forme 8» 4- 1 , et 8 4 4 - 1 en a deux savoir 17 et a 4 1 ; mais ceux-ci supposent n = a et » = 3 o, l’un n’étant pas

if, THÉORIE DES NOMBRES.

premier , l'autre n’étant pas impair. Donc nas deux conditions seront remplies sans aucune exception, toutes les fois qu’on aura 0 = 8« -f- 1 .

27. Soit encore 0 = lGn-f- 1 , 011 pourra toujours trouver une valenr de fi telle qu’en omettant les multiples de 0 on ait ytt 1 = — 1 , et les 16 valeurs du résidu r seront ainsi représentées r = rfc /u*. .. #*')• Maintenant si l’équation r' — r- f- 1 entre deux résidus pouvait avoir lieu, elle se réduirait toujours à l’une des quatre équations

/i’ = fi± i, /* s = =fc ju + 1 , fi* = fid= 1, ^ = ±^±1.

Or de la première on déduit (/u* i)* —fi‘, ou fi* -f- 1 = /*' ( 1 =h a),

et le quarré de celle-ci est 3 fi* = fi 1 ( 1 =p: a)* , ou (1 ± a)* = a , équation impossible.

La seconde équation donne fi‘ ( 1 )* = 1 , ou fi* rp a fi x -f- 1 = -i;

donc fi* •+■ 1 = zfc 3 fi' -f- — t ; le quarré de celle-ci est 2fi* = /\fi* dfc 4 -1- -5 » i** M

ou parce que ^ , m 4 = =p 4 ; donc — 1 = 16, c’est-n-dire 0= 17,

valeur qui supposerait n — 1.

La troisième équation fi*=pi=fi étant élevée au quarré, donne zp 2fi*—fi‘, lcquarrcdecclle-ciesl— 4=A t< > d’où résulte encore 16 = — 1, 006 = 17.

Enfin la quatrième fi*zp 1 = dbu' élevée au quarré, donneqp 2fi* =M 4 , ou 1 = x 3 , équation impossible.

Donc la première condition est satisfaite. Quant à la seconde on trouve également qu’elle l’est , à moins que 0 ne soit diviseur de 16* =fc 1 ou de a u db 1. Or on a vu ( Th. des N., art. iGa) que le nombre a 3 * — 1 n'a d’autres diviseurs premiers iGn -f- 1 que 17,357 et 65537 qui supposent n = 1,16,4096» valeurs exclues; on a vu également dans l’art. 157 , que le nombre a 3 ' -f- 1 n’a que les diviseurs premiers 64 1 et 67004 1 7 , qui supposent 11 = 4o et n = 4 1 8776, or ceux.-ci ne sont pas des nombres premia s. Donc il n’y n aucune exception et les deux conditions seront toujours remplies lorsqu’on aura 0 =± i6n-f- 1.

28. On peut vérifier de la même manière que les deux conditions sont encore remplies pdur les cas de 0 = ion -f- 1 , et 0 = i 4 « + 1. Dans le dernier cas la seconde condition ne souffrirait d’exception que pour les diviseurs premiers 1 4 « -f- 1 de i 4 ’± 1. Or i 4 ’+ «-est le produit i'c i 5 par le nombre 7037567 qui est premier, mais pour lequel 011 aurait n = 50196;) qui n’est pu 3 premier; et i 4 T — 1 est le produit de i 3 par 8108731 qui e*t

encore an nombre premier 1 1 4» H- r , mais pour lequel n n’est pas premier. Ainsi la proposition démontrée par la table pour tous les nombres premiers n moindres que ioo', s’étend généralemeot à tous les nombres premiers n tel» que dans les six formules an -f- 1 , 4 « + 1 > 8 n 4- ' , 1 on -f- 1 , 1 4* -f- 1 , iGn -f- 1 , il y ait au moins un nombre premier , ce qui permet d’étendre la table à toutes les valeurs de n moindres que. aoo, à l’exception de 197 qui dépend du nombre premier -9 = 38 n-f- r = 7487.

‘ ap. Dans le cas de n sa 5 , ces six formules donnent les trois nombres premiers 11 , 4 r, 71, qui remplissent par conséquent les conditions exigées dans la table ; la formule 0 = 10k -f- f donne encore le nombre 101 qui satisfait aux deux mêmes conditions. Mais depuis 101 jusqu’à 1000 on 11e trouve aucun nombre 1 ok-\-î, ou plutôt 3 oÀ' -f- 11 (car 3 oP+i est exclu par le n* a 3 ), qui ne satisfasse à l’cquation r' = r+ t , ce qui doit faire présumer que 101 est le dernieç 1 des nombres qui remplissent les Reux conditions de la tal^e. Nous ne connaissons donc que les quatre nombres 11 , 4* , 71 , 101 qui divisent nécessairement xyz dans l’équation . .

-f- z s ss o. Voiciles résidus cinquièmes qui répondent à cerf quatre valeurs de 0.-

Résidus cinquièmes.

rfc 1 ,

(1, ao, a3, a6, 3o, 3a, 34),

IOI

=fc ( 1 , 6, ro, i4, ry, 3a, 36, 39 , 4i, 44).

D’où l’on voit que, non-seulement l’équation ri = r ■+• 1 n’est pas satisfaite , mais que 5 n’est pas compris parmi le» résidus. Cette dernière circonstance permet de démontrer que Tes trois nombres 11, 71 , 101 divisent la même indéterminée x déjà divisible par 5*, et de plus que cefte propriété n’appartient qu’au plus petit a des deux facteurs a, a., dont la valeur de x est composée. Voici les moyens de parvenir à cette démonstration , d’où l’on déduira quelques conséquences importantes pour les attirés cas du théorème

de Fermât. •* •

3o. Reprenons pour cet effet les équation^ de l’art. 8. savoir :

. il • THÉORIE DES NOTRES.

e 4 -ar=i*, 1 ,yz= — b€ «= + £ «* — *■), <p (*, ar) =s Ç* ,

**hr— «% -3 = — <7 = i(io*+i* — c*), f(ej)=ÿ>. v ..

et supposons que le nombre 8 (le la forme ikn -f- i. réunit les deux -conditions exigées dans l’art, ai. On peut prouver en généralque 9 n’cst point diviseur de b ; car supposons, s’il est possible, que 8 divise b , il divisera On même temps?- et, en supprimant les multiples de b , on aura b = io et y seo.

De là on déduit z = - a*, xÊ=t*. k-4- x s= o, donc - a’ -f- tf — o. Re-

présentons par f*‘ et fi' , les résidus des puissances 0 * et c* , divisées par 8 , nous aurons fi 1 -f- tifi' = o, ou n = — fi '~' ; donç n serait un des résidus r compris dans 4» fuite =4= ( 1 , fi, fi*. . . /4* -1 )-, ce qui est contre la supposition. On prouvera de même que. S ne divise point c? donc 6 ne divisé pointée.

3i'. En second dieu, supposons que 8 divise* l’un des nombres désignés par a, C , y; puisque etGy n’a aucun diviseur commun avfcc nabc , il faudra que 9 ne divise aucun des nombres 0 , b, c f cependant comme il doit être diviseur de l’un des nombres x,jr, s, on voit par lès valeurs de ces

nombres données ci -dessus, que l’une des quantités fi" -f- c" — ^ 0 " ,

e* + ^ a" — b" , i 0 * b" — c*, doit être zéro, en réjctàttt les multiples

•de 9; et comme dans le même cas ~ = — ik , cette condition exige que

parmi les résidus r, r, r", etc.? il y en ait deux r et •r' qui satisfassent à l’équation / — r.= a k. C’est ce qu’on vérifiera aisément en ajoutant %k à tous les termes de )a suite de ( 1 , fi, fi*.. et voyant si la seconde

suite ainsi formée a Un ou plusieurs termes communs avec la première suite. Si elle n’en a point, l’équation r 1 — ra=at est impossible» donc 8 ne saurait diviser et puisque d'ailleurs il ne divise pas bc , il divisera nécessairement le facteur 0 , l’un des deux dont x est composé.

Cette vérification , si elle réussi^, dispensera des deux Suivantes.

3». En général on peut par deux opérations assez simples déterminer si 6 peut être diviseur de Gy et s’il peut Tétrade 0 .

Supposons i* que 8 divise G, alors en omettant les multiples de 8, cm

aura 6 = o , == ' 0 , 5 = ska*, x=xo* , z+X=b*, p (z, .r)=o.

Et d’abord pour résoudre celte dfernière équation il faut remonter à la valeur de la fonction f (z, x) = c - ainsi ’d fandra résoudre l’étjliation

jr'.-f-s’sFO, c’est-à-dire= un multiple de,A, et omettre la raîftiex-f- 2=0. Or on sait {Th. des N. art. 337) S ue 1 ® solution générale de cette équaüou est dqnnée par la formule x = — -a./", f* étant une puissance quclcon^ que du nombre-/ qui satisfait à l’équation /* — 1 — 0, c’esl-à-dire f" -1- < *= à un multiple de ô- • .

Cela posé si on exclut la valeur X — — s, les n~ 1 racines de l’équation

<p (x, a) = o , seront , en omettaht toujours les multiple» de S

x = — z (/, /*, f . ./■-■), et parce qu®x s= e" etas= — a luf, on aura les » — 1 valeurs * ,

c* = a*(a£/, a A/*, skt*,. .2kfT~'\.

Dans eette équation peut être considéré comme un résida dune il faudra que dans la suite

B = a*/, akf*\ akf 1 .

il se trouve un ou plusieurs terrais communs avec, la suite des résidus*

M = =fc(i,/*, g», ft\. (*'—). - , *. •

S’il ne se trouvait aucun terme commun entre ces deux suites, on en conclurait que fl n’est point diviseur de C 1 , ni par conséquent de y, car l’épreuve est Ja même .pour Pun et pour Fautre. x 1 I

S’il y a un ou plusieurs termes communs entre ces deux suites, il faudra encore qu’ils satisfassent à la condition i-f- x = b“ ; et |>arce que j; doit encore être un résidu n“~, il faudra que dans la suite- ...

! B' = « 1 » 2 *(/ J — fU..- 3 *(f— ' ■— i),

il y ait encore un ou plusieurs termes qui appartiennent à la suite M ; mais il faut de plus que les termes des suites B et B' communs avec M , soient placés au même rang, c’esl-à-dirç que le terme a kf de la suite B et le terme correspondant 2 A /' — 2k de la suite B*, soient compris l’un et l’autre dans la suite M des résidus Si cette- double condition n’est pas rem-

plie, on en conclura que 0 n’çst point diviseur de Gy.

33. Supposons 3 * que* fl est dijifeur de «, oh trouvera semblablement, que dans les deux suites ,

il devra se trouver deux termes correspottdans , n (f 1 — t), qui soient compris I’ud et l’autre dans la suite M. • . • . > . * ' »

Mais cette épreuve ne sera nécessaire que lorsque 8 sera de la forme 3 An* -f- i ; car on sait h priori fart, io) que si le nombre premier 8. est simplement de la forme ikn i , dans laquelle k n’est point divisible par n, ce nombre ne peut être diviseur.de ».

Au moyen de cesalcux épreuves on décidera aisément dans chaque cas..particulier, si 8 peut être diviseur de Gy ou de a; s’il ne divise ni l’un ni» l’autre , on sera assuré qu’il doit être diviseur de a.

34- Soit par exemple « = 5 , nous aurons à examiner successivement les quatre diviseurs 8 = il, 4«, 7«» ioi , dont nous avons donné les résidus 5 ,w , art. -ag. . •

Soit i°. 8= ii , oiwBra aA = a, et,M = =fc i. L’équation (>* — t = o, où l’op néglige les multiples de 1 1 , n pour nne de ses racines f =5, ce qui donne les autres f* = 3, f 3 =*i4> f* — — 3 i d’après ces valeurs voici les quatre suites A, A', B, B', où nous conservons l’ordre des puissance*

'de/;

on voit que B' u’a aucun terme commun avec M = rfc i , et qu’il en est de même de A ; donc i i ne divise gi Gy ni a , donc il divise le facteur de x désigné par a.

Soit a®. 8 = 4* j on flura 3 * — 8-et M = db (i , 3, g, i l) ; on satisfait à l’équation’ f * — r =o, c’est-ù-dire à l’équation f* — i = c^t ( 4 1 ), 'J»ar 1» valeur / = — 4 j de là ces quatre suites :

A = — 4, + 16 , + 18 , -j- io, B = + g, +5, — ao, — a, .

A' = +i 6 , — 7, -f- 3, + 4, B' = V'. -3, 4-i3,— io. *

Les termes correspondons g et i pris dans B et dans B' f sont compris dans la suite M ; donc il n’y a pas d’iApos|ibiIité à ce que 4i divise Gy.

Il était inutile dans ces deux premiers cas de former les séries A et A', parce que *les nombres 1 1 et 4 • > ne sont pas de la forme a Art* -f- i ou 5oA — f— i ; il et» sera de même dans le cas suivant, mais elles deviendront nécessaire» dans le cas 4 *”» relativement au diviseur ioi.

Soit 3*. 8 = 71 , on aura a k= 14 et M = ( 1 , ao, a3, a 6 , 3o, 3a,'34) ;

l’équation f 1 — isoi pour racine f = 5 , d'où résultent les valeurs suivantes : , * * .. - .. *

SECQfiD ’ SLPBIJÉMEflT. ' >i

La suite B a le terme — 1 et la suite B' le terme" 3 a , communs avec M ; mais ces deur termes ne sont pas placés au même rang cl ri ri s les deux suites, donc 7f ne divise pas 6 y j* il ne peut pas non plus diviser *, puisqu’il n’est pas de la forme 5 oh- 1 - 1 ; donc 71 est un diviseur de a.

Soit 4 *- 8 = 101 , on aura aA=2o, M=±(i,Ç,io,t 4 ,« 7 , 3 a, 36 , 39 , 4 i, 44 )>

et l’cqualion f l — 1=0, a pour racine f = — 6 , ce qui donue les valeurs suivantes :* 1

A =— 6, + 36 ,, — 14, — 17, B = — 19, +.i 3 , 4 -a 3 , —37, A'== — 35 , — 37, -+- aG, -f- 11, B' = — 3 g, — 7 > + ?> 4 - 44 -

La suite B n’a aucun terme commun avec M, donc. 101 ne divise pdS Gy ; il ne divise pas non plus a. parce que la suite n’a aucun terme commun avec M. Dope 10 s est diviseur de a. •

35 . Il résulte de tout ce qui vient d’çlre démontre qu’on doit faire 0= 5 *. 11. 71 . loin', et par suite/ -f- a.= -j ( 5 *.n .71 . ions')®; ainsi abstraction faite du facteur a ' qui pourrait être plus graud que tous les autres, la valeur <Je/-f- z a pour logarithme 30.775590; d’où l’on voit que l’une des indéterminées/ et z serait un nombre composé de 3 i chiffres au moins, si l’équation x 3 -f- / 5 -+-*.* = o était possible. Alors le plus grand des trois termes de cette équation aurait au moins i 53 chiffres , et le plus petit en aurait au moins 122.

36 . Considérons maintenant le cas des septièmes puissances, si on cherche d’après l’art. a 5 , les nombres premiers contenus dans les formules an-}- 1 , 4 « + « ) 8n-f- 1 , iGn + 1 , ron-f- 1 , « 4 » -+■ 1 , où n = 7 , on trouvera les trois nombres 39, 71, n 3 ,.qui doivent satisfaire aux deux conditions exigées* n*. ai ; voici les résidus septièmes de ces trois nombres :

Résidus septièmes.

>*» upBijpn i

=fc (1, ia),

=fc (., i5, 18, 35, 40, 4a, 44, 48), "

où l’on voit qu’en effet les résidu* ne satisfont point i l’équation r* = r*+-i,

m THÉORIE DES NOMBRES- '

et ne contiennent pas kr nombre 7. Crin posé on pourra démontrer que deux de ces nombre*, savoir ai) et 71 , ne peuvent diviser que le fac^ur a dans les formqics de l’art. 8. a, ; . . 4 \

En effet soit 1*. ô = 29 , ce qui donne ik— 4 > comme dans ce cas lit» résidus •fT? sont db 1 ± 13, 011 voit que l’équation r 1 sn r +> ik n’est pas satisfaite ; car en ajoutant 4 » ces résidus, on aurait les quatre nombres 3 , 5 , — .8, + 16, dont aucuu n’est compris parmi les résidus. Donc suivant l'art. 3.1 , il faut que 39 soit diviseur de a. Soit q*. 0 71, an aura

a k= 10 , Mx=±(i, Sq 14, 17, 25 ) et l’cqnation f -*• t =0 , où l’on néglige les multiples de 71 , aura pour racine f = 20. De là résultent les valeurs de B et IV comme il suit : • - '

La première ‘suite B contient le seul terme — 17. commun aveç la suite M, mais le terme correspondant — 37 dans la suite 'B' ne se trouve pas dans la suite M. Donc 71 ne divise pas Gy.

Nous n’avons pas formé les suites A et A', parce que 71 n'étant pas de la forme aèn* - f- 1 nu 98Ù-+- 1 , orf sait par l’art. 10 qufe 71 ne peut diviser a. Donc 71 est diviseur de a. ' ,

Soit 3 *. 9 = 11 3 , on aura 3 k= 16, M==fc(i, iS, 18, 35 , 40, 4 *» 44 > 4 ®)»

et l'équation — 1 = 0 aura Jvour racine / = — 4 > ce qui donne

B' 33 , 14, —33, ils, — i 5 r — 2o.

Ou voit que les deux nombres 1 et — t 5 , situés au même rang dans les deux suites B et B', sont comprâ.dans la suite M. Donc ) i 3 peut diviser Gy , et ne doit pas être compris parmi les diviseurs de a.

Nous conclurons de là qu’on doit faire a = 49 -29. 71.0' , ce qui donne y 4 - 2 = 7,(49 -29. 71 a')'. Faisant abstraclfcn du faoteur a', on auca.. log (/-f- 2) = 34 . 18 1-864; dîne l’un des nombres^ - et z n’aura.pas moins de 34 chiffres. » - t

37. Dans l’équation du n*"* degré on trouvera semblablement que la même indéterminée x divisible par u*, doit l’être encore par 23 et par 89, ce qui donnera 7' + * =» rr (i-t*.33.89a')", et en frisant abstraction du facteur a', log CT + *) = 58.391540. Donc l’un des nombres jr et z aura au moins 58 chiffres, et l’équation x" -t-jr" a ll =o, ne pourra être vérifiée qu’avec des nombres de plus de chiffres. .

SÈCOHD SL'PPLÉMEKT. - x3

Dans l’équation du ï3*“"(dqgré tta trouvera immédiatement j- -f- a..., ss (i3*.53fl , ) , ’ ) ce qui dbnnctu moins 5a chiffres à l’un des nombres y et s, et 676 aux puissances i3*“" qui forment l’équation.

Dans l’équation du 17 *“ degré on aura y -f- z == ( 17 *. 137 a')*’,

log (y -f- z) = 77- 9 5 9t>7 4 4- 17 log Z* 7 ;' donc l’one des indéterminées aurait au moins 78 chiffres.

Ces exemples suffisent pour donner" une idée de la grandeur des nombres qui satisferaient à l’équation de Fermât /s’il y avait des cas où celte équation fût possible; ce qui est déjà fort peu probable. Procédons maintenant à la démonstration de l’impossibilité dans le cas du 5*“* degré.

De t Equation x -h y* z' = o.

38. Puisque l’une des indéterminées doit être' divisible J>ar 5 , et même par a5, soit x cette indéternfinée , on trouvera comme au ri*.*8, que J’éqnalion y* + z* s=s — ** se partage nécessairement en deux autres de cett» manière : «

ce qui suppose pc = — 5tr , r étant un nombre impair , positif et premier à 5 t.

Cela posé, il y a deux cas à distingues selon que-* sera pAir ou impair.

■ Premier cas , où ton supposa x pair. • . .

3g. Alors t est pair,/ 1 et z sont impairs «t la seconde des équations (a) pourra se mettre sous la forme • . . ,

; s — (~~ a ï ±:hm y = ' 5r> - ■

.Divisant par 5 et mettant au lien.de 7 *+ aya-f- x* sa valeur 5*f**, on aura

Dans notre hypothèse les nombres j (y*-f-z*) et |.'5V* sont des entiers, d’ailleurs puisque le premier. membre est de la ferme p'*— 5q‘ , son diviseur r devra être de la même forme , de sorte qu’on pourra supposer r=-f‘ — $g‘, puis gisant ,(J -b^t/5/a*=F Gy/ 5, oe qui donne

on aura r* = F* — 5G â , et par conséquent

Vl i.-

Pour avoir une solution generale de cette équation , H faut prendre deux nombres mctn, 4els qu’on ait (9 rfc 4 1/ 5)‘ = m -f- nj/ 5 , Ji étant un entier quelconque ; ces nombres satisferont en général à l’équation m*— 5/t* = i , et on pourra supposer

^ + ~ i/5 = (F + Gj/5) (m-j-ny'ê),

ce qui donnera , ■ : .

î (/* -f- a*} = mF 4- 5nG ,

. i.5'P*ssmG+nF >

4o. Ces formules contiennent une infinité%le solutions , puisqu’on peut prendre pour k un entier quelconque ; mais ces solutions en nombre infini , ne sonl susceptibles que de cinq formes différentes. » . t

En effet, quel que soit l’exposant k , il sera toujours de l’une des cinq formes 5i, 5i d: i , 5i db a. Mais j’observe que la partie indéterminée 5t peut être supprimée comme Ütant comprise dans l’expression de r*. Car on peut faire (/-f-gt'' 5) (9 ± 4 l/5)* — f -+-g'v''> , et on aura de nouveau rz= /'* — 5g'*, de sorte qu’il suffira de mettre f et g' à la place def et g dans les valeurs de F -et G. il ne reste donc à considérer que les cinq valeurs déterminées k — o , i 1 , ± 2 , auxquelles répondent les valeurs de m et n , comme il suit :

... , rn= 1 , 9, 161, .

4i. Nous observerons encore que dans l’équation j ,5’l" — mG -f- nF , où G est toujours divisible par 5, le tcrnih nF-ne peut être divisible par 5 qu’autant que n le sera : car r étant premier à 5t, et sa valeur étant/* — 5g% /"ne peut être divisible par 5, ni par SouscqueutF. Donc des cinq valeurs de n 00 .ne peut admettre que la valeur n = o qui répond ù m = 1 , ce qui donnera pour seule solution admissible

. . - 4 . 5'f • œ G = 5g (/< -4- iq/V-Mg 4 )»

ou + - v

Dans cette équation lés deux facteurs du second membre sont premiers

SECOND SUPPLÉMENT. a5

entre eux et il faut supposer g pair; car si g était impair ^devrait être pair, et le second membre de notre équation serait impair, tandis que le premier est divisible par a’, puisque t est pair. On en conclura que l’équation précédente ne peut se partager en deux autres que de la manière suivante qui suppose l — 3ur',

g = S*.a,*u“ , f* + 1 °f‘g‘ 4- 5g 4 = ri 1 *.

Dans la seconde équation le premier membre peut se mettre sous la forme (/* -I- 5g*)* — - 5 (ag*)* ; donc son diviseur ri doit être de la forme p % — 5g* ; il en est de même de ri*, et on pourra par conséquent faire ri* = f* — 5 g 7 *, ce qui donnera ri 10 = F^ — 5G'* , F' et G' étant des fonctions semblables à F et G ; on aura donc l’équation

(/* + 5g*)* - 5 (ag*)* = F'* - 5G'* ,

dans laquelle ag* = 5‘*.a’ 9 Ji**, et on trouvera comme ci-dessus que la seule solution admissible est •

Faisant encore u — u'ri', r" étant premier à iou', cette équation ne pourra se partager en deux autres que de celte manière

g' = 5 ,, .a ,9 tt'*°,

4a. Nous retombons ainsi sur des équations qui sont toujours de même forme et dont la série peut se continuer à l’infini.

Or ayant fait successivement x = — - 5tr, t = auri, u = «V', u' — u'V", etc., il s’ensuit que t = a «ri — = a «Vri'ri", etc. ; de sorte que le

nombre des facteurs r augmente continuellement dans l’expression de t.

Chacun de ces facteurs déterminé par une équation de la forme

r*** =/* -j- io f‘g'~b 5g * , où et g sont des nombres toujours croissons , puisqu’on ag'=; (ag*)* ,f' > 5g'*, est certainement plus grand que i , et ne peut comme nombre entier, être moindre que a. Donc en supposant même que la suite u, a', u'*, etc., eût pour limite i, la valeur de t composée d’un nombre indéfini de facteur» a, ri, r" , ri", etc , qui ne peuvent être moindres que a , surpassera bientôt toute quantité donnée , ce qui ne peut s’accorder avec la supposition faite que les valeurs primitives de x , y , z , sont données en nombres finis. Donc l’équation proposée est

impossible, dans le premier oas où l’on suppose que Truie de* indéterminées est divisible à la (bis par 3 et par 5 (*).

Second cas , - où l’on suppose x impair.

43. Alors les deux indéterminée* 7 et 2 seront Tune paire, l’autre impaire, et la seconde des équations (a) pourra se mettre sous la forme

{y - rj* 4- «*'/ - 5 (W = oV ,

où Ton voit que îjz sera toujours un nombre entier et que 7* — ^72 -(-i* doit être divisible par 5, en effet en ~ 7 £ 4 -z*=( 7 - 1 - 5 )*— * 5 (j 7 s)

s= 5V“ — 5 ( 772 ). L’équation précédente peut donc s’écrire ainsi :

(ir*)* — 5 ('

et puisque le nomLre impair r est diviseur d’un nombre de la forme p‘ — 5q‘, où p et q sont premiers entre eux, il sera lui-même de cette forme; il en est de même de — /■ ; car on sait que tout nombre de la forme p' — > est en même temps de la forme 5a' — b' • nous pouvons donc supposer — r=y* — 5g “ , et faisant comme oi-dessus = F + G\/5 ,

nous aurons — r 8 = F* — 5G*, et l’équation à résoudre sera

Supposant de nouveau m -f- ny/5 = (g=b 4^/5)*, la résolution générale de cette équation s’obtiendra en frisant

i:r3+ y=ip±J.‘ = (F -f-Gi/5) (m + ny/ 5),

ce qui doqpe

ijz = mF -f- 5nG ,

4 ( 7 * — ijz 4 - **) = mG + «F.

On tire de ces deux équations j (j -\-z) m F 4 - (m + 5n) G, ou

44- Puisque G est toujours divisible par 5 et que F ne Test pas , cette

(*) Par une analyse semblable à celle dont nous venons de faire usage, on pourrait démontrer l’impossibilité de l’éqqption x* -+* y 5 = A a 5 , pour un assez grand nombre de valeurs do A; c’est ce qn’a fait M. I rejeune Dieterich dans un Mémoire présenté récemment à l’Académie, et qui a obtenu son approbation.

équation ne peut subsister à moins que m + n rie sdit divisible par 5. Or d’après les cinq valeurs de m et n rapportées ci-dessus, on trouve que cette condition ne peut être remplie qu’en supposant m = g , n = — 4 > . ce qui donnera

ou en divisant par 5 et substituant les valeurs de F et de G,

On voit par cette équation que f — g doit être divisible par 5 ; Soit donc f — g-\-h, A cfant un nombre divisible par 5 , et on aura f g /5 = A -\-g (1 -f* /5) , de sorte qu’on pourri faire directement

F -f- 0/5 — [A4-g(i 4~ /5)] s es A 5 +5h*g (1 4-/5)4-abA J £*(34-'/5)

+ Soh’g 3 ( a 4- /5)4-4o/i^74-3 /5) 4- .6g* (..4-5/5).

On déduit de là lés valeurs séparées de F et de G , mais comme nous n’avonS besoin que de la quantité F — -y- G, nous pourrons, dans cette équation , mettre — y 1 à la place de /5 , ce qui donnera

F — -y-G *± A (A 4 — 6â , £4- i GA* g*' — iG% , 4 i * l % 4 ) ,

et par conséquent

= A (h* — 6 h s g 4- i6A*g* — 16 /ig 3 4* 16g 4 }.

45. Sachant déjà que h est divisible par 5 - et que g 1 ne l’est pas, observant de plus que A doit être impair, et qu’ainsi les deux facteurs du second membre sotit premiers entre eux , fa seule manière de satisfaire à cette équation est de la partager en deux autre» , comme il suit : -

h* — 6A 5 g 4- « 6A*g* — 16 hg 3 4* 16g 4 = Y“ ,

ce qui suppose t iiY , Y étant premier à 5«.

La seconde équation peut se mettre sous la forme

>* 0 J= ( A* — 3gh 4- Gg* )* — 5 (gA — ag*}‘ , f • *

d’où l’on voit que Y doit être de la forme p‘ — 5/ ; il en est de même de /*; on pourra donc faire Y \ = /'* — 5g'* , ce qui donnera Y'° =F'* — 5G'*, et ou satisfera généralement à-l’équâtion précédente èu faisant

»• — 3gA 4- 6g* = 4- 5nG' ,

gh — > 7 g' sfc nF' 4" raG' ■>

ce qui donne enfin A* ou

Puisque G' est divisible par 5 et que F' ne l’est pas, cette équation ne peut subsister à moins que m —f- 3« ne soit divisible par 5. Ees seules valeurs de m et n h prendre pour cela, soift m = 161 , b = — 7a, ce qui donnera, en divisant par 5,

ou en substituant les valeurs de F* et G', .

5 "ur=f* (. a 3 g 1 — x ./')+ 1 o/Y‘ (> » V— 55 ’f) + Y 4 (* 3 V — a? 5 /)-

46. Cette équation fait voir que 3 g 1 — - f est divisible par 5 ; soit donc f = 3g'—k', on aura F' + GV5 = [ A' (3 + V/5)]‘, ou en fri-

sant le développement :

F' + G' t/5 = • - A'« + 5 A Y ( 3 + 1/5) — aoA'V ( 7 + 3 v/5 )

• +8oAY , (9 + 4v/5) — 4o*V 4 (4 7 +a«»/5)

-f- 1%' 5 (ia3-t-55v/5).

Multipliant tout par — 11 et mettant au lieu de la valeur fictive

— if* , on aura if 1 G' — 1 iF' , ou

5"«“ = A' ( x 1 h'* — 4aAY+ 64*V ~ 48A'g / * 4* 16g' 4 )- Maintenant A' étant divisible par 5 et g 1 ne l’étant pas, cette équation uc peut se partager en deux autres que de cette manière

A' = 5‘ , ii'*°, «

n A' 4 — 4a*V + 64A y* — 48*y* + i%' 4 = i»* , ce qui suppose n = uV' et premier à 5a'.

Cette dernière équation peut être mise sous la forme '

d’où il suit que /' doit être de la forme — 5 q‘-, il en est de même de /'♦, on peut donc faire — 5g"‘ , ce qui donnera — 5G"*.

Soit maintenant 4 = A — 5s* , et r étant des nodttbres^mpairs , ou pourra supposer

Y* — 1 Y*' ■+■ 7 y* + A'V5ss(F + GY5) 0»-t-’t/5),

ce qui donnera

N* s= fiG!' + »F'.

Mais puisque A' et G" sont divisibles par 5 et que F" ne l’est pas , cette équation ne peut subsister à moins que r ne soit divisible par 5. Et comme

on a en généra! ft -f- » = (3 -f- V'S) (m + »l/5), ce qui donne

ft = 3m -f- 5n , n = m + 3n , on ne pourra admettre que les valeurs m = 161, n = -— 7 3, d’où résultent ;* = ia3, t = — 55, de sorte qu’on aura A'* ou

4 7. Nous retombons ainsi sur une équation semblable à l’équation déjà considérée 5"u“ = ia3G' 55F'; d’où il suit que les mêmes transformations pourront être continuées à l’infini, ce qui supposerait infinies les valeurs primitives des indéterminées.

Car ayant fait successivement x = — 5 tr, t == ur', u — u'r’, u' = uV", etc., on aura < = ud = u'/r" = uVrV", etc., de sorte que le nombre des facteurs r augmente continuellement dans l’expression de t. Ces facteurs sont déterminés par des équations qu’on peut réduire à la même forme, savoir d 10 = r* -f- 5rA* •+- 5 A 4 , r"*° = r' 4 -f- SX* A'* -f- 5A' 4 , etc., d’ailleurs on a h c= 5*u 10 , A' = A" = 5* , i/' 4 °, etc., de sorte que la suite A,

A', A", etc., est rapidement croissante, môme en supposant que les nombres u, u', u", etc. , aient l’unité pour limite.’ Donc les nombres r, r 1 , r", etc., toujours plus grands que 1, ne pourront être moindres que a, ce qui rendra infinie la valeur de t. Donc l’équation x 5 +y* + a 5 = o n’admet aucune solution en nombres entiers.

48. Il est maintenant démontré que l’équation x* -f- j* + s* = o , ne peut avoir lieu toutes les fois que n, qui est supposé impair , sera un multiple de 3 ou de 5. Quant aux autres cas du théorème de Fermât, ils ne semblent pas pouvoir être démontrés par les méthodes employées pour le 3*** et le 5*“ degré ; nous savons seulement que la solution , s’il y en avait une, ne pourrait être donnée que par des nombres d’une- grandeur excessive.

Nous saisirons cette occasion d’ajouter quelques propositions au $. I de la quatrième partie.

De t Équation x 1 -b y = x m z .

4g. Dans cette équation où nous supposons m = ou > \ , les nombres x et/ doivent être impairs, et on pent supposer que t l’est aussi ; d’ailleurs le premier membre est le produit des deux facteurs x x’ — x y~ > rT* t

3o THÉORIE DES NOMBRES.

qui ne peuvent avoir que 3 pour diviseur commun. Ainsi il faudra distinguer deux cas, selon que z est ou n’est pas divisible par 3.

Soit i®. z divisible par 3, l’équation proposée se divisera nécessairement en deux autres comme il suit :

x -\-j = 3-3*0% x>— -xr -+-/*= 3r»,

et l’on aura z = Aar , r étant premier A 3a.

La seconde de ces équations put se mettre sous la forme...... .

c - fy + s c^y = **. - (•-=*)■ + 3 ^ « r-

voit que r, qui est toujours un nombre impair, doit être de la forme/ 1 ■+■ 3g'. Faisant donc r =/ + 3g‘ , puis (f- f- g y' 3) s = F -f Gy/— 3, on

aura r 5 = F* -j- 3G*, et de l’équation précédente on déduira = F,

= G. Mais ou a G = 3g (/*-—£*) ; donc

Dans celle équation g'.doit être divisible par a" - ' , car /‘—.g* est nécessairement uu nombre impair, puisque /* -f- 3g‘ en est un ; d’ailleurs Jes trois facteurs g, f— g, n’ayant aucun diviseur commun, l’équation

précédente se décomposera en trois autres, savoir g = a" -1 * 5 , f g — ,

f — ë = y i j d’où résulte € 5 «— y 3 — a “a 5 , équation semblable à la proposée et composée de nombres beaucoup plus petits.

5o. Soit a®, z non divisible par 3 , alors l’équatiou proposé* se décomposera en ces deux-ci :

x -f -jr — a m a 3 ,

lesquelles supposent z = ar, et r premier à a.

La dernière étant mise sous la forme ~h 3 ~z2y — *•*, on voit

que r devra être de la forme f % -f- 3^*; c’est pourquoi faisant, comme dans le premier cas, r=f‘ + 3g‘, <J + gV — 3) s =F -f G/ — 3 , ou aura

H = F® + 3G*j ce qui donnera la solution F, s= G. Mais

on a F =/(/*— <#•); donc a “~'« 3 ==/(/* — <#*). Lœ trois facteurs du second membre/”, /”-{- 3g, f — 3 g , étant premiers entre eux elf* — qg* étant toujours impair, cette équation ne peut subsister à moins qn’on n’ait-

SECOND SUPPLÉMENT. 3i

/ = a "-’** , f +3g = S\ / — 3g = y* y. ce qui suppose a = uÇy , les trois nombres a, S, y étant premiers entre eus. De là résulte Ç 1 + y 3 = a "a 5 , équation entièrement semblable à la proposée, et dans laquelle « sera, ainsi que a, non divisible par 3.

Puisque dans les deux cas l’équation proposée se réduit à une équation composée de nombres beaucoup plus petits ; il s’ensuit que cette équation est impossible , excepté dans le seul cas x — o.

Nous avions déjà démontré dans la Théorie des nombres le cas de m=3j et celui de m — i -f- 3i , i étant uu nombre entier; la démonstration précédente qui s’applique à ccs deux cas , comprend en outre le cas de

* De ï Équation x' -¥• y' — A z\

5i. Nous avons démontré que cette équation est impossible pour les valeurs A = i , a, 4) 8 , 16 , etc.; on peut faire voir qu’elle l’est encore pour les valeurs À = 3, 5, 6 .

Pour cet effet observons d’abord que si A est de la forme cyn rfc (3, 4) > l’indéterminée s devra être divisible par 3 ; car si elle ne l’était pas, on pourrait faire ar = pz -f- pr', y = qz -f- g/', et en rejetant les multiples de g, on aurait A = pi 1 •+• q*. Or un cube quelconque est toujours de l’une des trois formes <yn, i ; donc la somme de deux cubes, divisée par

9 , ne peut laisser pour reste que o , d= i ou± x Donc si A donne pour reste. db 3 ou±4> * sera nécessairement divisible par 3.

5a. Cela posé, considérons l’équation x* "i- y* = 3a* j puisque s doit être divisible par 3 , cette équation ne pourraf se partager en deux autres que de cette manière :

x-f- 7 = (3a)’, x* — xy +/* = 3^ ,

oit l’on suppose z — 3 ar, r étant impair et premier à 3a.

La seconde de ces deux équations pouvant se mettre sous la forme.... (x — y)* *+» 3 ( 9 a 1 )* eu 4 ^ > ü faudra distinguer deux cas , selon que a est pair 01 » impair.

Supposons i*. a impair, x y sera aussi impair; et puisque le premier membre de cette équation est de la forme p‘ -f- 3 q % , son diviseur r sera de la même- forme. Oti pourra donc faire r =s f*-\- 3g *, r 3 = F* -f- 3G*, et pour résoudre l’équation précédente , on fera x — y -f- 9 a 3 \/ — 3

3 a THÉORIE MS NOMBRES.

= (i =b y/ — 3 ) (F-f-Gy/ — » 3 ), ce qui donne

9a 1 = G =fc F.

Mais puisqu’on a G = % {J* — g‘) et F =/(/* — gg'), il est visible que G est divisible par 3 et que F ne l’est pas; donc l’équation précédente ne saurait avoir lieu. *

Supposons a*, a pair et par conséquent x — y pair , on aura

( *T ~) == r*. Faisant toujours r=f‘-\-3g‘ } r s =F , -f- 3 G* ) on

aura = G, ou î‘‘ , =g(f‘ — g t )- Les trois facteurs g, f+g , f — g ,

étant premiers entre eux , cette équation ne petit subsister qu’en faisant g = ia« 3 , f -f- g = 6 s ,f — ë — y* 1 ce q u ‘ suppose a = a* ëy, 6 et y étant premiers à 6*. De là résulte £’ — y. 3 = 2g = 3 (a*)’ , équation semblable à. la proposée et composée de nombres beaucoup plus petits. Donc l’équation je* -J- y 3 = 3 a*, est impossible.

53 . On démontrera semblablement l’impossibilité des équations. ......

x 3 -f- y 3 = 5z 3 , x 3 -j-jr 1 = 6e 3 .

Ainsi la série des valeurs de A depuis A = 1 jusqu’à A =6, auxquelles on peut joindre la valeur A = 8, ne donne que des équations impossibles ; mais en continuant cette série on trouve immédiatement deux valeurs A sa <7, A =9, qui rendent l’équation possible.

On voit en effet que l’équation x 3 y 3 = jz* est satisfaite en faisant x= ij, y — — 1, zzx: 1, et«que l’équation x 3 -h y 3 — 9a 3 l’est également en faisant x= 2 , y= 1 , s — 1,

54 - Il est remarquable au reste que si -l'équation x 3 -f-y* = As 3 admet une solution , sans supposer 2 = 0, elle en admet dès-lors une infinité qui se déduiront facilement de la solution primitive.

En effet supposons qu’on satisfasse à l’équation proposée par les valeurs x — a, y b, z = cj on sait que la somme de deux cnbes donnés a’ + i 3 sera égale à la somme de deux autres cultes p 3 -f- q 3 , si l’on prend . . .

p = “ > 9= — Donc de la solution donnée a, b, c,

on déduira cette seconde solution x = a (ai 3 -f- «*) , y s= — i (au 3 -f- b 3 ), z = c (a 3 — b 3 ) ; les nombres de celle-ci étant désignés par a', b 1 , c 1 , on en déduirait semblablement Une^ troisième solution a", b" , c", au moyen des valeurs

«"=«'(a ' 3 + a*' 3 ), à" = — i'(aa ' 3 4-à' 3 ), c" = c'(a ' 3 — b 13 ), et ainsi à l’infini.

55 . On voit que chaque solution est du quatrième ordre par rapport à . la précédente , c’est-à-dire que le nombre des chiffres devient à peu près quadruple d’une solution à la suivante.

Ainsi la première solution de l'équation a:’ -f -y 3 ~ 7 a 3 étant donnée par les nombres a, — 1 , 1 , la seconde sera 1a, i 5 , 9, on plus simplement 4 , 5 , 3 j de celle-ci on déduit la troisième iaG 5 , — ia 56 , i 83 , etc.

De meme la première solution de l’équation x 3 -f-^ 3 = 9s 1 élaut donnée par les nombres a, 1 , 1 , on en déduit la seconde solution 30, — 17 , 7 î de celle-ci la troisième 188479 > — 3 < 35 ao, go 3 gi , et ainsi à l’infini.

56 . Dans le cas de A = — 1 , on voit que s’il existait une solution de l’éqnation x 3 -{-J ' 3 -f~ s 3 =0, donnée par les nombres a, b, c, on en déduirait une seconde a ' , b' , d , au moyen des valeurs a! = a (b 3 — c 3 ) , J'=ô(c 3 — a 3 ), c' = c(a 3 — £ 3 ); celle-ci en donnerait semblablement une troisième, et ainsi à l’infini.

Si on cherchait à prolonger la série de ces solutions dans le sens inverse, on devrait trouver de même une infinité de solutions, mais elles deviendraient bientôt irrationnelles; car puisque a' est de l’ordre a 4 , si a 0 précède

fl, il faudra que fl° soit de l’ordre y/ a. Voici d’ailleurs la détermination de ces quantités.

Soitfl D =x, b° = 7, c° = *, on aura à résoudre les équations

qu’on peut combiner avec l’équation x 3 + J ' 3 -f- z 3 = o Or si l’on fait 3 x* = u , on trouve pour déterminer u l’équation

équation qui est du nombre de celles qu’on peut résoudre à peu près

aussi simplement que celles du second degré. Soit en filet m= ]/ 4 , et p une auxiliaire dont la valeur est

i‘- p = \/(a ' — bem),' 1 ’ *

on trouvera u ou , v - "*• , . t •»

Des expressions semblables donneront les valeurs de et de 3 x 4 , au moyeu

<!«•* auxiliaires

\.st tO

q — \Z(h‘ — acm) , r = v/(e* — ai/n).

Ainsi à l’exception de la constante m qui tfëpeud d’une racine cnbique, il ne faut que de simples extractions de racines quarrées pour déterminer les nombres x,y, s, et pour prolonger à volonté la série des solutions dans le sens opposé à celui où elles croissent avec beaucoup de rapidité.

Nous pourrions remarquer ici qu’on a entre les auxiliaires p , q , r et les quantités a, .b, c, les trois équations rationnelles :

pqz=ab-\-'-m'c‘,

3 a‘ = p* — ntqr,

3 bc — qr — \ m , p‘ ,

qui chacune en produisent deux autres seipldables^ et d’où résulte l’équation p 3 -f- q 1 r* = o. Mais ces propriétés ne se rapportent qu’à un genre

d’analyse indéterminée différent de celui où l’on se propose seulement d’obtenir des solutions en nombres rationnels.

Théorèmes d'analyse.

5y. Théorème î. «étant un nombre premier, si on fait x‘

1* désignant le polvnorac x"~' — jx'~‘ — etc., on sait qu’il est

toujours possible de satisfaire à l’équation

4P= X* rfc «Y* ,

savoir X' + hT* si n est de la forme 4 h — i , et X* — »Y* si n est de la forme t\k -f- i. Cela posé:

a Je dis que le polynôme X, se déterminera en général par la formule (*) > X = a ( je -\-y) m ,

» où m = " ^ , pourvu qu’après avoir développé cette puissance, on re-

u tranche des coefticicns tous les multiples de n qu’ils peuvent contenir , eu » ne conservant que les restes moindres que Js. »

En effet la quantité A = (a -f- i)* — a m — i est toujours divisible par n, quel que soit l’entier a. Supposons a -f- i non-divisible par n, alors

(*) Cette formule ofl'rc pour déterminer X un moyen beaucoup plus simple que celui que nous avions indiqué dans la Théorie des nombres, arL 4"8.

= (a + l )“ — + i' ) sera P ar n i multipliant par 4 et observant que 4 peut être mis sous la forme B" dt n C* , on aura le

nombre 4 (a-f-i)*" — B'qpnC*, ou seulement sa partie 4 ( a + •)" — B* qui sera divisible par /». Doue a (a + i)"± B sera encore divisible par n; et comme le signe de B est à volonté, on pourra faire B = a (a -j- i )". C’est ce que donnerait la formule énoncée dans le théorème en faisant