P=AB, Q = CD
» A, B,C, D, étant des polynômes en /et# du degré 3/7»+ 1 ==£(« — i). n En effet soit p=f -f- g\/ — n,q =f — gÿ — n, on aura P=^t^-; et d’après cette forme on peut faire 4 P = X* + «Y*, ce qui donnera
jr f 2 p ,m *‘ — p' m q — mp' m ~'q' -f- de. »
1 + 2 q tm *' — q' m p — mq' m ~'p* + etc.
y f P""q + Gp ,m -‘q • + etc. ,
Or j’observe que la valeur de X est réelle et rationnelle, puisqu’elle ne dépend que de la valeur de pq et de celle de p k q k qui sont réelles et rationnelles. Quant à la valeur de Y, elle est égale au produit d e p — q par
le polynôme Z = pq. - — — — ^ f -€p‘q* . - — p — ^ P etc. > dont la
valeur est réelle et rationnelle comme celle de X ; donc puisque p — q — — n, on aura 4 P = X* — ^n'g‘Z‘ ; donc P est égal au produit
des deux polynômes jX-j- ngZ , j X — ngZ . lesquels seront les valeurs
* de A et B.
61. On aura scmblublcmenl Q = - . - 2 - ; on pourra donc supposer
4«Q = X'* + «Y'* ,~et on aura
y,. f + p"q — mp ,m ~'q' -f-' etc. ,
^ — ai j‘ m *' — q‘ m p + mq tm ~'p' — etc.
* ffi y/ [ P "<1 — ëp'—'q' 4 - etc. ,
l + q' m p — Sq' m ~’p* + etc.
La valeur de Y' sc réduira , comme on voit, à une quantité réelle et rationnelle, c’est-à-dire, à un simple polynotne en y et g du degré 2/n-f- r*:' Quant à la fonction X', elle est le produit de p — q ou 2£j/ — n par le polynôme
Z' = a. - p pq p - mp , q ‘.~ — — ? 1- etc. ,
dont la valeur est réelle et rationnelle ; donc on aura X' = agZ't/ — «, et X'* = — /\ng'Z'‘, ce qui donne 4 Q = Y' 1 — \ donc Q se décompose en «leux facteurs rationnels ; Y' -f- gll , ~ Y' —gZ 1 , qui seront les valeurs de C et D.
6a. Voici des exemples de ces décoin positions pour les cas de n 7 et » sa 1 1.
P =/* — 3 n*/ 4 g* -4- $ n> f‘g* — n'gf
B =/> — «/‘^ — «ÿg* — n*g 5 ,
Q =/' — Sn/*g‘ -H 3«W — n'gf c — / 3 — n f'g + n fg‘ + ng' ,
P ==/'* — 5n'f‘g‘ ■+■ 3on 5 /'g 4 — 4 2W< /V+ 1 $ n> f , g l — /i*g'*,
A se/* H- 3 nf'g + m'f*g' -+■ aa’/'g* — »!/g* — n’g* ,
B=/* — 3*/ 4 g-(- m'f*g' — in'f'g 3 — «ÿg 4 -f-n’g®,
Q=/ # — «5«/V+4 an yV “ 3on*/»g‘ 4. 5n 4 /*g* — n 4 g">,
C =/ 5 +n/ 4 g — an/>g* — m'f'g* — 3n'Jg 4 — n'g 5 ,
\)=3f s ~nf*g — mf*g' + m'f'g*-~3n'Jg* r fn'g i .
Au reste la similitude qu’il y a entre les fonctions P et Q permettrait de trouver aisément les facteurs de Q en les déduisant des facteurs de P , ou * réciproquement. Il faudrait pour cela mettre ng et f h la place de y et g ' respectivement.
63. Le tlicorème précédent peut être appliqué aux sections angulaires ; car si on fait f= cos p etg y/n = sin <p, on aura f-\-gV — «= oos^-f-j/ — isimp; d’où résulte F = cosnip, G y' — n = j/ — 1 sin n$ , et par conséquent
p cos nf q sin n$
~ cos f *■ *""" n sin p*
Ainsi toutes les fois que n sera un nombre premier de la forme + 3, les expressions de et » pourront être décomposées en deux facteurs
rationnels du degré im -+- t .
Par exemple dans le cas de « = 7 , on aura
co« 7 j> j (cos’f + 7 * coj’p sin f — 7 cos p sin’ f 4..7Î sin 5 f ) x
cos ^ ( (cns’f — 7 * cos*$ sinÿ — 7 cos f sin* f — 7» sin 5 ÿ) (
sin 7? I (cos 3 ? — 7 * cos* ÿ sin $ -f- 00» p sin* p 4 - 7 “ * sin 3 p) X
7$inç ( (cos 1 ? +7 * cos’$ sin ç + cosf sin’p — 7 ~ r sin 5 f).
SECIXND SIMPLEMENT. 3 g
64 - Pour appliquer ces formule»» uu cas parLiculier, suit proposé de diviser le quart de fa circonférence * en 7 parties égales; on fera 0ca ir ,
ce qui donnera cos 7^ = 0, et ou trouvera cot <p par la résolution de l’une ou l’autre des deux équations
col 5 <p + 7 1 cot* $ — 7cot0-f-7*ï=o, *
cot l $ — 7* cot* 0 — 7 cot p — 7* = o,
La première s’applique aux arcs < p
3 » St j3t
—1 , — T , la seconde aux arcs
Qtt 1 isr
T? ’ i4’ Tf > f l u ' *® Tlt * 8S 8upplémens des précédens.
On aurait directement par les formules ordinaires
— eos * 0 — ai cos 4 psin*p-t- 35 ros*ipsrn* ç> — - 7 sin'ip,
ce qui, dans le cas précédent, donnerait à résoudre l’équation
o = cot*ip — ai cot* f 4- 35 cot* 0 — 7 ;
on a donc le choix ou de décomposer cette équation du sixième degré en deux autres du troisième , comme on vient de le faire,, ou d’employer la substitution cot* 0 — x qui donne également à résoudre une équation du troisième degré.
Mais la décomposition que notre théorème fournit, a de plus l’avantage de faire connaître îles propriétés nouvelles des sections angulaires. Car puis-
Jk
que dans notre exemple, les cotangenles des trois arcs ^
fl* s ^ * 4
Cf *?, -
racines d’une
même équation x 3 -f- 7 * x* — 7X -f- 7 * == (
Wii r '
H'ÆÊmjL
w . 3 *’ . St .
001 T4 ~ cot 74 ~ cot 74 = ' / 7 »
cot* —, -f- col* ^7 -f- cot* ^7 s= a 1 ,
cot T? cot 75 cot T 7 = V/71
comme on peut le vérifier par le calcul trigonométrique.
Il resterait à trouver pour une valeur quelconque de n , la loi générale des valeurs de 0 qui servent à composer les racines de chaque équation. On aurait ainsi de nouvelles formules qui s’ajouteraient aux nombreuses formules connues dans In théorie des sections angulaires.
rfp v* ?
'Je
4o . THÉORIE DES NOMBRES.
65. Théorème IV. « Si l’équation X* — px* qx — r = o a scs trois « racines rationnelles , la quantité A = p‘q‘ — 4? 3 + >8 pqr — 4 P* r — 27 r*, » devra être un quarrc. »
En effet soient ce, £, y , les racines rationnelles de l’équation proposée, en sorte qu’on ait p = ce -f- G -f- y , y = a€ 4 - Cy- + ytt , r = affy; si l’ou cherche les valeurs des quantités et z ainsi composées :
z = ec*^ -f- -f" y‘€ = y" at'T',
ces quantités devront être également rationnelles. Or par les formules connues on trouve^ -f- z = pq — 3r, jz — q 3 -f- p l r — Ç>pqr-\- y*, donc (j - — z)* = p‘q t — 4 ?’ 4- 1 Spqr — 4 P * r — 27 r* ; le second membre doit donc être un quarrc parfait. •
' On obtiendrait le même résultat par la considération des deux quantités
f<t>S , fa?y. \ .
Les quatre théorèmes précédens prouvent, comme on l’a déjà dit plusieurs fois, que l’analyse indéterminée n’est pas sans utilité pour le perfectionnement de l’analyse algébrique ; c’est au moins sous ce rapport qu’on peut encourager des recherches qui sont en général très difficiles et souvent infructueuses. *
IMMIMCm DE HClARD-COCEClE».
