Soit par exemple n = i ■ , on aura m == 5 , et

X= a (x~i~y) s = aor* -f- 1 o x*jr -f- aoj^y * ïox'j* -f- * o xj* - 1 - a y* ;

réduisant comme il vient d’être dit, les coediciens au-dessous de jn, un aura la vraie valeur de X , savoir «

X — xc s — x*jr — 2 X*J* — a x'jr* — xy* -j- jy*. .

Si on prend ensuite le quarré de X et qu’on le retranche de 4P , on aura la valeur de i lY* d’où résulte

Y = xj (x 3 — y*).

Cette seconde opération s’exécute par les régies ordinaires de l’analyse, sans faire aucune omission daus les codficiens.

Soit encore «= 17 , on aura m = 8 , ce qui donne

X — — f (?**.+. ,(ir ’/-f-5üry+ naxy-t- ,4ox*y*

J [ 4-37* -4- i&ry’ -f- 5dE^’+ 1 1 ix*y*

et en supprimant les multiples de 17 ,

X =X ax’ — xy+Sx'j' — 7 jfy* + 4 a tÿ* — 7 or s j 5 5 x'j 1 — xy'+jy*-.

ensuite on trouve

Y =zxj (x' — x b jr -f x*y‘ — 2 x^ s + x‘y* — xy> +y‘)

59 . Théorème 11. « Soit n un nombre premier 4m + 1 , si l’on lait » (f-\-gy'n)‘ = F -f G»/n, ensuite F =/P, G= ngQ, ce qui donne

Q=/- +eu-,

» Je dis que les polyuomes I* et Q peuvent en général se mettre sous lu » forme X* — nY‘, de sorte qu’on pourra faire

vw..

•Xfr-- ‘

P = A* — nB‘, Q = C* — nD* ,

» A, B, C, D, étant des polynômes en f cl g du degré am = j(n — i). - En effet si on fait p = /"+ g^n , q = f — g[/n , ou aura P =

mais d’après cette formai ion ou sait que la fonction 4P peut être mise sous la forme X* — nY*, dans laquelle on aura

r a/»*"— />— ' ? - 4 -(w+ ■ )p*VÿV+- ctc.l M (-+*37“ — (m-f- 1 )q'"~'p % -\- etc.J

q+ap"

*7* -|-elc 'p' -f- etc

j +IVf .

Et comme eu général pq est rationnel ainsi que p 1 +7*, k étant un entier quelconque, il s’ensuit que X et Y sont des polynômes en Je t g , lio- •uiogènes et du degré a m; ces polynômes divisés par a seront les valeurs de A et B dans l’équation P = A* — nB\

On aura semblablement Q = ~ mai» en faisant p‘ — 7*=(p— 7)!!,

on aura

x- { V" +^'"-<7 + ("' + OP*~V + etc.l

' l + a 7 , “ + 7 , " '/' + ('» 4 ->) 7 , " , p* 4 -elc.i' 1 " 1 1 » 6

Y'‘ = { p "-' q ~ + eU H + N'c”t*.

4+7 "— p — «7*— p* + elc.f~ v .

Les valeurs de X' et Y' sout donc pareillement des fonctions entières de

f cl g ; et comme X' doit être divisible par n en vertu de l’équation. . . .

4nQ=X'* — «Y'*, il faudra faircX'=/rZ', ce qui donnera 4 Q = nZ'* — Y'*.

Donc la fonction Q peut être ntisc sous la forme n (jZ 1 ) 1 — (;Y')‘; or

puisque n est de la forme 4"i + 1, et qu’ainsi l’équation t* — nu m = — r est

toujours possible , la même fonction Q jarurra être mise aussi sous la forme

C* — «D*; il suffit pour cela defaireC-f- Di/n=(jY'+-;Z / t/n) (tzhuy'n),

ce qui donnera C = £ tY' ± j nuZ 1 , D = j /Z' db 7 «Y'. • V

60. Théorème 111 . a Soit n un nombre premier de la forme \ m + 3 , » si on fait (f+ gÿ — n)*=F+G ^/ — n , ensuite F = /P, G == ngQ, r> ce qui donne

n ë H m f S .«V*— etc. ,

n — l.n — a .n — 3 .» — 4 /•.— 5 «-a \n'g*— etc.,

» je dis que les polynômes P et Q pourront être partagés en «leux facteurs » rationnels , de sorte qu’on aura