OTE V

Iiilrijral'wn d'une quelconque des cqunlioni; (lô) (page 4-1; sous la forme: entre les limites n z= — 1 cl ii ^z \ (page 4S;.

L'intéijration de la partie [V, -|- Y, ' .i -|- V, " /r)f/« n'a aucune difiîculté , cl l'on Irouvc surie-cbamp pour l'inléjjrale totale :

Quanl à l'autre parlie — '-^ — '■ ^1^ — '- — , elle dépend de la quadialure de l'hvpcrbole

(R, -j R,'n4-r.."n=}ïï ou di: cercle, suivant que II," est une quantité positive ou négative. Tour en trouver l'inlégrale, on supposera celte dilTérentielIc égilc i

, K 4-L'i . Mdii d — -, J .

[,/Il, -f. R, ' H-f R. " ,t» ^R, |. R/ „ ^ R, ■' n'

ou il faut que

Or rinlctjiale Je la première partie est évidemment

K + Lre

n 1 I ] . f . u • ivr l/R. +R, '« + R,"«' • eue de la seconde est, en laisaiil pour abréger Di r= — ! !

jR.' + R/'n

M i-i-ni^/rT"

si R, " est positif ; mais si R, " est ne'jjatif , celte intégrale devient

arc. tang. N [/' — R, ".

Un fera maintenant dans ces formules n = 1 oA n ^= — 1 , et on retranchera la seconde valeur de la première pour avoir l'intégrale complète. Or en faisant h ^ 1 , la quantité sous le radical devient R. + R, ' + R. "= R„ et en faisant « = — 1 , elle devient R, — R. '+ R, " =z Ro . Donc la v alcur Cfimpléle de 1 intégrale de la diiïérentielle donnée sera représentée , en faisant , si R, " est positif ,

p^i^ jji.'+R," + [/RrR7^ ^ iR,'4-R," + ^iu;7^

et si R, " est négatif, . ' ,■

^r,r7' i/— RoR,"

r zrz arc. tanj;. arc. lanfr. — : ,

" ^R, 4-R." - , " U.+R." par

l/R. |/Ro 21/+R,"

On aura donc enfin , aux ijuantités près des ordres de pi-y' et u3' , ) ■ ■

— Ii2 —

Il n'y a que deux cas où celle formule ne peut pas servir, l'un est celui où R, " zr: o , et l'aulie

relui où r„ii,"— ' r».'^ = o.

Soit l** : R, " = o. On aura alors à intégrer, comme seconde partie de i/a , la dillërenlielle

SI un suppose sou inKVraie de la foimo

K-\-Ln-]-Mir

on liou\ora, pai la JUlOrenlialiou cl la comparaison des ternies ,

^^=^ — lîTT -\ ]rr. 3-p-/. .

lu' àli,'' '

(^oropielanl donc cette inlegrale de la manière indiquée, on aura h la place de lequalion précédente :

Soil 2": R, R,"— ' R,'"— 0. Dans ce cas la quantité R, -)- R, ' « j R, " n' de\lcndr;,

'■ et on aura a inli'!;rer celle dillerenlielle rationnelle ' i/n,

qu On supposera égale à

l (;r,+;r,',0' CR. + U.'") i

ce qui donnera, en réduisant au même dénominateur et comparant les termes ,

. JL 2U, R, 12U."'R,

Intégrant donc, et complétant duemcnt 1 inlégrale , on trouvera pour le cas dont il s'agit

équation :

Al — Ao

iS i „ /K + L K — L\— MR. 2 R, )

aiOTE VI.

Manière d'oblmir les deux équations différentielles ipage 5s :

«1/ inuijrn des trois équations du mouvement troublé d un corjis céleslr

d'x ax . dK —7— ■+- -^r- + —f— = o etc.

dl^ ' r" ' dx

L'équation des forces vives, tiice des équations du mouvement elliptique, oùll^iro, donne (noie II]: dx'^dj'J^dz'- f 2 11

dT^ -MT"^}'

îi représentant (1 J^ni). D autre part , si je muiliplic respeclivement par x.y et : les trois mêmes équations et que j'additionne , j'obtiens

xd\v-\-ydy-\-zd'z « . ...

dt' 7~ r ' . ,

Or remarquons que

d{rdi') — dx'-\-dj-'-\-dz^.\-xd'x-\-jdy-[-zd'z;

donc, additionnant ces deux relations,

. ; . . d{rdr-) /-l 1

dl' ' \ r a

et différentiarl ' '

d'{rdr) ^rdr d'[rdr) fx(r(/r)

dl' r' dl' ' r' °'

La quantité (/y/r) joue dans cette équation le même rôle que x dans celle du mouvcniont ellipti

dl* ' 1^

Uapprochons donc ces deux équations, multiplions la première par .r . la seconde par ("/') et soustrayons , nous aurons

xd' (^rdr) (rdr^ d'X

dl' dl'

Intégrant :

xdÇrdr) — [rdr^dx

di* —-''

/ elaiil une coiislniilc arbitraire. Remplaçons (r^r) et sa diiîe'renlielle par leurs \alears , rcltc rcialinn devient

1 1 \ xdx' yiiydx zdzdx

dt ' de ' de'

( fji , d)'--^dz°- ) jdydx zdzdx

•^ j ~ 7 + d? <) d? di' —^-

1^11 coniltinant la même équation avec les Jeux dernières du mouvement elliptique , on oLtiendra deux relations semblables enj-et en z ; si nous désirjnons par /' e\. f" les deux constantes arbitraires correspondantes , les trois équations formeront le système suivant d inteVralcs premières du lucnnement elliptique:

,. I S ^ é'--\-d-J ] jdjdx zdzdx

/ I-^JV- ^^^ \+~dc^-+~d?-=^°'

' p. dx'--\-dz- ) xdxdj' zdzdy

•^'+^'\'7-—lF~\^~^ïF~^~dF'-"'

( fi dx--\-dy- i xdxdz ydydz^

J +^j- ^^i j+ dc^ -r d,. -»•

Si on rapporte les po-.itions du mobile à un système de plans coordonne's dont lun , celui des xj , coïncide avec le plan de la trajectoire, l'ordonnée z sera nulle, la troisième équation disparaîtra et les deux autres se sinipliCeront. Les conslantesy et /' seront égales aux quantités / el h de la page 58 (voy. Mec. Ce'L. liv. II, p. 167 cl 327), et si, après avoir différenlie' ces deux équations, en n'y faisant varier que les paramètres h el / et les diiïérences tlx, dy, dz, on y subsli-

lue fibid., liv. II, n" 63 cl 64), au lieu de —r:r > — , \,^ el -— - , les quantités — ( — — ^ dl- dl- dl- ^ \ dx

f/R \ / dK \ . . . , , , ,

— ; — 1 et — -7— 1, qui sont les parties de leurs valeurs dues aux lorces perlurbatnccs,

dj J \ dz y

on aura les deux relations cberchées :

dh = dxY — -y-^\\ i^dy -yd^) -^ ;

, \ dK dV. ) dK

dl = dy j y ^-x—^J^iydx-xdy)-j^.

aroTE VII.

Expression de la différence r "" de la fonction ;/„ en fonction des différences dur ordre supérieur, des fonctions y.;r-, , y^-r-". ■ »//— ,-3, etc. fpage 82 .

Si 1(111 rcmeiso I orjro d'-'s (.■(|ii;ilions (Z?) de la page 79, ci qu'on les metlc sous la forme : la somme de ces cquallons donne après réduclion :

J., —Xn-i + 4n<-: + Av„-3 + + ^'""■y- + i"->o + A"j-..

Lorsqu'on veut se borner aux différences de l'ordre m , en supposant m <^ n , on fjit A"'-+-y =: o , etc. , d'où il suit A'"^ = A'"/, r= ^•"y, , etc. , et il vient alors :

y. =Jn-< + Aj-.,o + A7-„„3 + + A™-'j-„„ -f A'"^-.

Si l'on prend la différence première de cette équation , il viendra

(^) ^fn = Aj)-„, 4- AV-,; + A'j',,^3 + etc.

Soumettant ce résultat à de nouvelles dlffèrentialions, en diminuant chaque fuis les indices d'une unité , on aura

A=j«-i = A=^„, 4- A'^-,.3 -|- aV,,-* 4" ^b'n-i + etc. Ay„o = A'j-„3 -f aV„-( + Atr„-, -I- etc.

Ai>'«-3 = A4r„4 4- A 5j'„, -fol,-.

Ay„4= A>„,-felc.

etc.;

et prenant la somme de ces équations, en observant que celle de leurs premiers membres est prccisémcnl la \aleurde A",r,, , qu'on tirerait de l'équation (d) , on ol. tiendra

(8) AV-„ = ^Y,-'. 4- 2A'r.-3 + 3a4j-„4 + 4a5j„:, + etc.

DilTérenliant encore cette dernière, en diminuant chaque fois les indices d'une unilé, il vlendia :

A>„, = i^j„3 -f '2Aij-„^ -f 3Ax.,-3 + 4a V„-6 4- etc.

AV«-: = A4j ,.,, 4- 2AX,-:, 4" 3A^y„e 4" '^'t-.

^b-n-3 = A:>-.,5 4- --i ">•.-:. 4- etc.

^'i>'«-*= AV„c-i-etc.

etc.

AjoLiloiil el oLseivant >|iic la somme des premiers membres est la \alein Je y'j , (]irun llrer.ill do I équation (:<) , on Iroiivcra

(y) Ky-u = ilr„-; + 3ii)-,., + Gû:r,+ 10i^-„.. + ele.

Les coefiicicnts numériques des équations (a), (Ç) cl (5.) sont les mêmes que ceux des cle'vc-

loppemenls de (1 — 'ï)~'i (1 — ^)~" ^^ (' — rt)"-* et la cause de cette identité est aisée à trou^cr

dans lanalopie de leur formation. ]"n ellel , on passe d'aliord du dévclopjiemenl de

(\ —û)-'=z\ ^,7 -{-<!- -\-,r -\-u^-\-cU:., à celui de

(1 — </)-■■' - (1— „)-'(l — «')-' — (14-0 -frt^ + <;"■+«'• -felc.) (l-j-„4-,i'-)-«- ^clc.)

= i -\- ti -\- a- -^ a' -\- elc .

-j-rt -|-(ï'^ -j-rt^ -|- etc.

-^-a' -\- "'' -\- ele.

-\- a'' -j- etc.

-\- etc.

lésullat d une loinie scmLlahle ii la somme des équations qui ont donné l'équation (Ç): il en sera de même dos autres cas.

Les coefllcienls numéri(|ues de l'espression de i'j„ seront donc les mêmes que reu\ du développement de ( 1 — a')~' et l'on posera en conséquence :

,(,.+ l)(. + 2) H ,-^73; i'-t-:>„,, -f etc.:

txpicssion demandé