Partie imaginaire de P

Nous avons donc

Pour trouver la valeur (approchée) de i , il faut diviser P, par P' et changer le signe. Pour faire cette division il faut que P et f soient modulés , je veux dire que. la longueur ou module de la ligne et l'angle d'inclinaison soient séparés.

Pour avoir le module nous savons qu'il faut quarrer les deux parties , les ajouter et extraire la racine ; et pour avoir l'inclinaison , il faut diviser la partie imaginaire par la partie réelle et passer delatagente au cosinus. En faisant cela nous trouvons d'abord P 1 ,342279(cQ^388,9966 +m388, 9966,1/^1) • P'~ 26,1151(co5l51,0015 + 5m151,0015l/:=î)'

Divisant les modules et soustrayant tes arcs ,

=0,051 39857(co*237,9951 + m237,9951 l/Zï).

En ôtant 200 degrés à Tare pour changer le signe , nous trouvons enfin

i =. — Ç/= 0,051 39857(co537,9951+ ar^7,995iy:=î).

Cette valeur opprochée de i , que pour abréger j'ap-

pellerai q , en nommant son module b et son inclinaiso» p doit être ajoutée (mécaniquement^ à

Les doux grandeurs à ajouter , ou composer sont modulées au lieu de les démoduler , pour ajouter ensemble les parties réelles et les parties imaginaires, nous les composerons par le parallélogramme des forces. C'est un triangle à résoudre dont nous avons deux côtés a et ft et nous pouvons avoir Fangle compris C. Il est le supplément de la différence des deux inclinaisons , c'est-àdire que C= 200— a+/3= 4 98,7951 . Nous pouvons calculer c par la formule trigonomètrique connue

c = l/a»+6»— 2a6coic.

Ou bien, si nous voulons employer les logarithmes, par la formule

(a—b)eos'r

. / (a—b]cot'^C\ smy arc tang -r—r — I

et nous trouverons c=2,45139, en conservant cinq décimales.

C'est là la longueur ou le module de la valeur approchée de X. Pour avoir son inclinaison , il faut chercher Fangle B. Par les formules connues on trouve 8=0,025262. Il faut retrancher cet angle de a=39,2 ce qui donne 39,1747pour l'inclinaison cherchée, en ne conservant que les secondes. Par conséquent la valeur approchée de a? , dans sa longueur et son inclinaison est

a?=2,451 39(co539,i 747 + m39,4 747 1/15 ) .

Nous avons conservé plus de décimales qu'il n'y en a peut-être de bonnes , puisqu'en général comme l'our

sait cette première opération de la méthode de Newto» n'est exacte qu'à un centième près. Cependant il est possible et même probable qu'en conservant plu§ de chiffres décimaux on est plus près de la vraie valeur qu'en les abandonnant tout à fait. Et cette plus grande proximité favorise l'approximation de l'opération suivante.

Pour opérer une seconde approximation, la valeur approchée que nous venons de trouver pour x , devra être substituée ou remise en calcul comme p l'avait été. Il n'y aura pour cela qu'à l'appeler elle-même p , son module a, etc., c'est-à-dire^ à conserver dans ce nouveau calcul les mêmes lettres aux grandeurs correspondantesà celles du premier , et en partant de

p=za(cosot + sinay^] = 2,451 39(^0^39,1747 + m39,1 7471/=!), et suivant la même marche que dans la première substitution nous trouverons pour la valeur approchée de x ; après cette seconde substitution,

a?= 2,449492(co539,1 8265 + sinS^J 8265 l/:iî) .

Pour opérer une troisième approximation, on ferait la substitution de cette valeur de x en l'appelant p , son module a , son inclinaison a^ ainsi de suite.

Cette valeur doit en général approcher à moins d'un dix-milième d'erreur , attendu qu'il y a eu deux substitutions. Mais elle approche encore d'avantage car elle diffère de la vraie valeur de moins de quatre milUonièmes , pour la longueur ; et pour l'inclinaison elle ne diffère pas aux dixièmes de seconde ou cent-milièmes de degré. On sent que l'approximation doit être plus rapide

que pour les grandeurs réelles , car la diversité des inclinaisons des lignes ou forces combinées, est favorable à leur destruction.

Pour juger facilement de Fapproximation du résultat j*ai pris une équation du quatrième degré composée de deux du second qui sont :

a?'+a?— 3=0. c'est une des racines de la première que nous avons cherchée , savoir :

=\/6\cosarctang^^^ sin arc tang^y^j .

95. Nous remarquerons en passant que dans une équation du second degré dont les racines sont imaginaires la longueur de la racine est toujours donnée par la racine quarrée du terme constant et la tangente de son inclinaison par la racine (quarrée) de l'excès du terme constant sur le quarré de la moitié du coefficient , divisé par la moitié du coefficient pris en signe contraires algébriquement

y;i[cosarctang y^^sinarctang ^ ^ V^ )

réquation étant x^-\'p a? -|- 5^=0.

On voit facilement (par Tune ou Fautre de ces expressions] que sij5 varie , Fextrémité de la racine décrit une circonférence. Si q varie , l'extrémité de la racine décrit

une perpendiculaire à Vaxe , le coupant à — ^ de l'origine

"Si QUANTITÉS IMAGINAIRES.

Sig«*abaisse au-dessous de^ , la partie Y4îrticale

de la racine change d'axe et l'extrémité se meut alors sur Taxe horisontal. De sorte que pour une variation complette réelle de 5' , ou pendant que q décrit l'axe des x , une des racines de l'équation décrit les côtés d'un angle droit (une équerre), ayant son sommet à l'extrémité de — -. Et les deux racines ensemble décrivent deux angles opposées au sommet, qui (ormeni deux perpendiculaires se coupant au point — -.

On verra facilement aussi que si p décrit tout l'axe des X , l'extrémité d'une racine aura la marche suivante.

Pendant que p ou plutôt ^ va de zéro à Vg, l'extrémité d'une racine part de l'axe des y , d'une hauteur égale À YTy décrit un quart de circonférence à gauche et arrive à Taxe des x, à une distance=: — yq. Pendant que - à

partir de là , décrit Taxe des x , jusqu'à l'infini positif , l'extrémité de la racine que nous considérons , décrit le rayon gauche du cercle, et arrive au centre quand -

arrive à l'infini. Quand- va de zéro à — y^T ou décrit le rayon gauche , l'extrémité de la racine part encore du même point de l'axe des y que la première fois décrit le <ïuadrant supérieur à droite et arrive à yq en même temps

que - à — Vg. Pendant que - va à l'infini négatif, ou

décrit l'axe à gauche , hors du cercle , la racine le décrit à droite , aussi à partir du cercle. On peut donc dire que

pendant que - va de V infini positif à f infini négatif , une des racines part du centre du cercle, décrit le rayon gauche , la demi-circonférence supérieure , et taxe à droite hors du cercle.

QUilKTITÉS IHAGINA1BÉ9. 73

L'autre racine décrit wn lieu symétrique à celui-là. On voit que leur réuni(Hi forme l'axe 'entier avec une airconférence. II y aurait beaucoup de coifêidétaâôûs à feîre là-dessus , mais revenons à notre objet.

Première approximmikm e$ Hmiks.

96. On prescrit pour les racines réelles , afin d'avoir une première approximation (93) à un dixième près, quand deux nombres substitués ont fait changer le sigAe du polynôme , de substituer un nombre intermédiaire entre les deux nombres substitués , qui devra donner un résultat intermédiaire entre les deux premiers résultats , et par conséquent resserrer zéro de plus près avec un des premiers résultats. Le nombre intermédiaire peut être pris à égale distance des deux premiers nombres substitués ; mais il est mieux de le prendre de manière qu'i7 divise rintervalle des nombres substitués , comme zéro divise rintervalle des deux résultats correspondants du polynôme. Lors même que les deux premiers résultats ne comprendraient pas zéro , s'ils étaient dans le voisinage , ils pourraient encore servir pouï déterminer à peu près le troisième nombre à substituer en établis^ sant la proportion convenablement. Après une troisième substitution on en fait une quatrième^ une cinquième, etc, s'il le faut.

La marche à suivre pour les racines imaginaires est analogue à cela. Mais comme nous opérons sur un plan et non sur une ligne, c'est trois substitutions qu'il faut d'abord au lieu de deux. Supposons que trois grandeurs ou lignes (en général inclinées ) dont les extrémités forment sur le plan un triangle ABC , substituées

?4 QUANTITÉS IMAGmAIRES.

pour X donnent trois résultats correspondants formant un triangle A^'C qui renferme le point zéro , ou f origine. La valeur de x qui doit amener Textrémité du polynôme à Forigine, doit avoir son extrémité dans le triangle ABC. Pour en approcher, d*un des sommets A', par exemple , du triangle A'B'C^ tirons une droite à Forigine , voyons comment cette droite divise à peu près Fangle A'. Si elle le divise aux trois cinquièmes , tirons aussi dans le triangle ABC , du sommet A , une droite divisant cet angle aux trois cinquièmes. Elle devra passer près du point cherche'. Pour avoir sa longueur faisons pour un autre angle B^ ce que nous avons fait pour A', et [intersection des droites nous donnera le point cherché. Ou bien faisons que la longueur de la droite qui divise A , soit à la droite qui divise A' et arrive à Forigine , comme la somme des côtés AB-j-AC: A'B'-j-B'C.

Nous trouverons donc de cette manière un nouveau point que j'appelle D. La valeur qui s'y termine substituée à la place de a?, donnera un résultat qui se terminera en un point D'. Ce point avec deux des trois A',B^C', formera un triangle renfermant t origine de plus près que le premier triangle. On pourra partir de nouveau de celui-ci pour insérer, ainsi de suite.

Si le triangle des résultats ne renferme pas Forigine , sans en être pourtant très éloigné , on peut tout de même s'en servir. La droite qui divisait Fangle A' pour aller de A' a Forigine, ne sera pas dans Fangle, elle fera extérieurement avec un côté de Fangle A^ un angle qui sera , par exemple , le quart de cet angle , on fera faire k la droite qui partira du point A, un angle extérieurement qui soit le quart de Fangle A.

97. Mais pour opérer ces substitutions et ne pas se perdre dans des essais inutiles en cherchant où les racines ne sont pas , comme aussi pour ne pas laisser des racines ; il faudrait, comme pour les racines réelles , déterminer des limites hors desquelles Une faille pas chercher. Pour les racines réelles c'est sur Taxe des x qu'ont lieu les limites ; ici ce doit être sur le plan. Nos limites doivent enfermer une partie de ce plan hors de laquelle il ny ait plus de racines.

On peut même remarquer que, si nous arrivons là , nous serons un peu plus avancés que pour les racines réelles , parce que nous connaissons toujours , par le degré de Téquation , le nombre de racines que nous devons trouver dans nos limites.

Je suppose que l'équation soit à coefficients réels. Il existe une valeur de x qui rend le premier terme d'un polynôme plus grand que la sonmie de tous les autres^ il est la limite supérieure des racines réelles ; c'est comme l'on sait , le plus grand coefficient augmenté de l'unité. Je dis qu'une circonférence décrite avec cette limite , enferme toutes les racints [réelles et imaginaires]. En effet, faisons tourner cette limite en lui conservant sa longueur ; tous les termes de l'équation tournent plus ou moins vite , en conservant leurs longueurs respectives ou modules. Les termes secondaires (les termes à l'exception du premier) , ne pourraient pas détruire le premier , lors même qu'ils seraient dans le cas le plus favorable , c'està-dire, tous en opposition avec lui ou tous négatifs. Mais dans le mouvement leur résultante perd de sa longueur , parce que les composantes se séparent. Donc elle ne peut faire équiUbre au premier terme.

7Ç QCAirrrrfis iHAGiNAiirES.

S'il j a[des coefficients imaginaires dans l'éqaation , iF faut entendre'qu'ils sont modulés , et les conclusions cidessus demeurent.

Nous pouvons donc par là , avoir la limite supérieure [ou extérieure] des racine^. Nous pouvons également avoir la limite inférieure [eu intérieure). Elle est l^unité divisée par la limite extérieure. En décrivant deux circonférences , Fune avec la limite extérieure et l'autre avec la limite intérieure , on a une espèce de zone , dans^ laquelle se trouveront les extrémités de toutes les racines d$ l'équation.

98. On détermine pour les racines réefles, une longueur moindre que la plus petite différence entre les racines, ou la limite inférieure des différences des racines. On peut feire la môme chose pour les raein^es imaginaires : on peut former réquatiop aux différences (wi au quarré des différenices j > en n'ayant égard qu'aux modules , si l'équation a de^ coefficients imaginaires ; pr^indre la limite inférieure des racines de cette équation , et l'on aura une longueur moindre çue la distance des extrémités de 4euif: racines quelconques. Donc dans la zone renfonnant le^ extrémités des r^icines , on sera dispensé de faire de» subçtiiwtions plus rapprochées que ne l'indique la limite des différences.

Eocponenlielles et logarithmes,

99. Deux grandeurs réelles ou imaginaires peuvent être unies , par addition (ou soustraction) , par multiplication (ou division). Nous avons considéré les fonctions que forment ces deux sortes d'unions et nous avons Irouvé l'état de la fonction en grandeur et en direction sur le

QUANTITÉS IHAOINAIRKS. 77

plan de variation. Deui grandeurs peuvent encore être unies par le signe des puissances , c'est-à-dire , que Tune est base (ou racine) et l'autre exposant. Nous avons encore trouvé l'état de cette espèce de fonction mais non dans tous les eas. La base peut être seule imaginaire et Texposant réel / ou bien la base réelle et l'exposant imaginaire , ou bien l'un et l'autre peuvent être imaginaires, ce qui fait trois oas. C'est le premier cas que nou$ avons considéré. Il reste à considérer les deux autres.

Dans l'addition et la multiplication cette différence de cas ne se présentait pas , parce que l'on peut intervertir l'ordre des éléments (ou grandeurs unies ) , ce qui ae peut pas se faire dans les puissances. La base et l'exposant ne peuvent pas changer de place entre eux.

100. Considérons le cas où la base est réelle eiXexposfmt imaginaire (ou réel mais comme cas particulier). Soit a^. Mais pour plus de commodité ne prenons même pas tout de suite a pour base , mais e : soit donc e^.

Dans le cas où x tourne, ou devient imaginaire, noui^ ne voyons pas sur cette forme, ce que devient la fonction. Nous le verrions mieux , si la fonction pouvait se mettre sous la forme de polynôme, parce que nous avons considéré les polynômes. Or on sait que

Si X devient imaginaire , savoir x Y^ ou perpendiculaire, une partie seulement des termes de la série devient perpendiculaire ; ce sont les termes de degré impair. II faudrait alors pour connaître l'état de la fonction en grandeur et en position , trouver la résultante de ces termes.

Mais ou sait que rensemble des termes horisoutaux a pour somme le cosinus de l'angle dont x est Varc , et les termes verticaux le sinus du même angle ; c'est-àdire que

= co^ + ^*^^ V^ • c'est-à-dire , que la résultante est l'unité ayant pour inclinaison f angle mesuré par x.

Ainsi un exposant perpendiculaire ou imaginaire ( avec la base e ) en ne variant que de longueur, fait varier la fonction non de longueur mais d'inclinaison. Pendant

la variation de x la fonction e ^ ^^^ est donc une unité tournante (comme Faiguille d'une montre), qui, partant de Taxe à droite ou positif, se jette périodiquement dans l'axe, à gauche, à droite; à gauche, à droite; etc., àmesure que la longueur x devient l**, 2«f, 3«', i^f, etc.

101 . Cette expression composée d'une base réelle e ou horisontale , et d'un exposant vertical fait le même effet qu'une base imaginaire ou inclinée, égale à l'unité affectée d'un exposant réel (38).

1 02. Supposons que l'exposant de e soit une imaginaire complète . ou une droite inclinée , c'est-à-dire , que

nous ayons e^ r^V— i; et voyons ce que devient la fonction quand l'exposant prend toutes les valeurs possibles.

Cette expression revient à e Xe '^■~*. Un de ces facteurs est l'unité tournante , l'autre peut être considéré comme le module. La partie imaginaire de l'exposant

QtJANTITËS IMAGINAIRES. 79

donne donc la direction de la fonction et la partie réelle , la longueur.

La partie imaginaire variant depuis zéro jûsques à la longueur d'une circonférence, Tunité fait un tour. La partie réelle ou exposant du module, variant depuis Finfini négatif jusqu'à l'infini positif, la grandeur du module va de zéro à l'infini positif. Ces deux variations combinées font parcourir à l'extrémité de l'exponentielle tout le plan des xy. L'extrémité de l'exposant , dans le même temps parcourt la surface d'une bande horisontale ayant une base infinie à droite et à gauche , et pour hauteur la longueur d'une circonférence ou ^^.

Cet exposant est une vraie droite inclinée , puisqu'il a une partie réelle et une partie imaginaire ou verticale. Je dis verticale , et Ton pourrait croire qu'elle est un arc , puisqu'elle mesure ou détermine l'inclinaison de l'unité. Mais non : elle est bien égale de longueur à cet arc , mais elle n'est pas cet arc. Elle est verticale puisqu'elle est imaginaire. Et , combinée ou composée avec la partie réelle ou horisontale de l'exposant , elle constitue bien une droite inclinée pour l'exposant.

Si l'on imagine que l'exposant engendre une seconde bande horisontale au-dessus de la première , l'extrémité de la fonction engendre encore tout le plan des xy. Pour une troisième bande , il en serait de même. Chaque bande donne, pour ainsi dire, une couche de points sur le plan des x y.

103. On peut remarquer que quand l'extrémité de l'exposant engendre la partie droite de la bande, l'extrémité de l'exponentielle engendre l'extérieur du cercle dont le

rayon est 1 , et quand rextrémité de l'exposant engendre l?L partie gauche de la bande, l'extrémité de l'exponentielle engendre ^intérieur de ce cercle. Parce que dans le premier cas l'exposant du module étant positif, le module est joto grand que l* unité y et dans le second cet exposant étant négatif, le module est plus petit que l'unité.

104. On peut remarquer encore que si l'extrémité de Y exfossjit décrit une droite horisontale, l'extrémité de l'exponentielle décrit une droite dont l'inclinaison est marquée par la hauteur de l'horisontale. Et si l'extrémité de l'exposant décrit une verticale l'extrémité de la fonction décrit une circonférence qui fera un tour , deux tours, etc., suivant que la verticale traverse une bande , deux bandes, etc. La circonférence est extérieure ou intérieur esiu cercle à rayon i , suivant que la verticale décrite est à droite ou à gauche de l'axe des y.

105. Supposons que la base ne soit plus e , mais une grandeur quelconque positive o. Il faut imaginer que a est lui-même déjà une exponentielle obtenue avec la base e. De sorte que si l'on met un exposant à a, c'est comme si on le mettait k e en ayant déjà un. Ainsi l'exposant imposé à a peut être censé imposé à c , si l'on imagine qu'il est multiplié par celui qu il faut à e pour égaler a: c'est-à-dire , le logarithme (népérien) de a.

Pour avoir les variations de la fonction a^'»"^»''^^*, il suffit donc de considérer celles de la fonction gW-t-a? |/— i^ gj de multiplier l'inclinaison obtenue avec e par la , et d'élever le module obtenu à une puissance marquée par la.

QUANTITÉS laiAGlNAIRES^ 81

106. Nous pouvons donc dire pour une base quelconque (positive) (i 02) que rextréraité de la fonction décrit le plan , lorsque Textrémité de l'exposant décrit une bande dont la hauteur est 2t«' dimsé par ^exposant qu'il faut à e pour égaler la base proposée , ou par le logarithme de cette base. On voit facilement les modifications à faire aux articles (103) et (104).

107. On peut dire que la variation d'une base (toujours positive) , sous un exposant imaginaire incomplet modifie la rotation, la fait aller plus vite que l'exposant, quand la base s'élève au-dessus de e, et plus lentement que l'exposant quand la base s'abaisse au-dessous de e. C'est quand la base est e, que l'exposant mesurelo. rotation ou l'inclinaison. Si l'exposant est complet la longueur de la fonction est aussi modifiée.

Logarithmes des grandeurs négatives et inuiginaires,' multiplicité

des résultats.

1 08. On appelle , comme Ton sait , logarithme d'une grandeur l'exposant qu'il faut mettre à une base ou racine, à e , par exemple , pour avoir la grandeur proposée. D'après cela , toute grandeur , négative ou imaginaire a-t-elle un logarithme ? Oui. En effet l'extrémité de l'exposant parcourant une seule bande (102), l'exponentielle parcourt tout le plan. Il n'y a donc pas de grandeur proposée que l'exponentielle ne puisse devenir. Et quand l'exponentielle sera la grandeur proposée , le logarithme sera l'exposant qui lui correspond , et qui se trouve même sans sortir d'une seule bande. Une grandeur a donc toujours \m logarithme, même elle en a plusieurs,

car elle en a un dans chaque bande.

82 QUÀNIITÉS IMAGINAIRES.

109. En rappelant ce qui pFécède , il est facile de voir que les grandeurs positives seules ont des logarithmes réels , encore n'eu ont-elles qu'un , tandis qu'elles en ont une infinité ^imaginaires. Les grandeurs non positives, c'est-à-dire, négatives ou imaginaires n'ont que des logarithmes imaginaires. En effet (104), l'extrémité de l'exposant ou du logarithme décrivant un6 horisontale , l'extrémité de l'exponentielle ou de la grandeur dont on considère le logariUime, décrit un rayon indéfini dont l'inclinaison est marquée par Za hauteur de rhorisontale, qui est la partie imaginaire de l'exposant. L'exposant fera trouver l'extrémité de la fonction dans Taxe positif premièrement quand la sienne y sera, c'est-à-dire, quand cet exposant n'aura pas de partie imaginaire ; ensuite quand

l'extrémité de cet exposant sera sur une horisontale à g**, à 4*, à 6*, etc. de hauteur , parce que la fonction sera dans l'axe positif , ou pour n'avoir pas bougé , ou pour avoir fait un tour, deux tours , trois tours , etc. Ces hauteurs â^*, 4* etc. , qui sont imaginaires et qui s'ajoutent successivement au logarithme réel , nous donnent donc avec le logarithme réel , une suite indéfinie de logarithmes imaginaires , pour une fonction réelle ou dans Taxe positif.

Si l'extrémité de la fonction est ailleurs que sur l'axe positif, l'extrémité de l'exposant ne peut plus être non plus sur cet axe. Si l'extrémité de la fonction est par exemple sur J'axe négatif., celle de l'exposant sera sur une horisontale à la hauteur d'une demi-circonférence ou de *. Si elle est sur une droite ayant une inclinaison d'un quinzième de la circonférence , l'extrémité du logarithme sera sur une horisontale à un quinzième de 2^ de

hauteur etc. Dowcil n'y a de logarithmes réels que pour les grandeurs qui sont sur Vaxe des x positifs , et encore qui y sont sans avoir tourné.

HO. On voit par là également que les grandeurs non positives ont non seulement un logarithme imaginaire , mais qu'elles en ont une infinité. Elles en ont un dans chaque bande, que l'on obtient en ajoutant, comme pour les grandeurs positives , 2^yiII\ une fois, deux fois etc., au premier logarithme trouvé.

m. Il faut ici répondre à un raisonneitient spécieux qui pourrait se présentera l'esprit. J'appelle R la grandeur positive que j'obtiens en élevant e à la puissance - ^

Le logarithme de + R est donc .. Mais -peut aussi ser-

vir de logarithme à — R , car — R peut égalemeût être

considéré comme le résultat de e^. Donc ■^- R , qui est un nombre négatif, a un logarithme réel. Non !

Le logarithme est l'exposant qu'il faut mettre à e pour obtenir la grandeur proposée. On entend que e est un nombre po^irt/, unique, et sans équivoque , ni ambiguïté. Mais pour avoir e sans équivoque , nous sommes obligéis par la nature des choses d'entrer dans des distinctions. Il ne suffit pas de dire de e , qu'il est dans l'axe positif. Nous sommes comme celui qui ne pensant qu'à la géométrie plane , croirait avoir défini une droite en la donnant sur un plan par une équation ou une projection. Mais il est possible que notre géomètre soit conduit , pour ainsi dire , par la science elle-même , à la géométrie à trois dimensions. Et alors il est obligé d'établir des distinctions là où il ne lui semblait pas qu'il y en eût à

faire. Toutes les droites situées dans un même plan vertical ne faisaient pour lui qu'une droite sur le plan horisontal : il faut maintenant qu'il distingue ces droites , si la nature des combinaisons géométriques qu'il a faites conduisent à la considération des trois dimensions ; sans quoi il serait dans la plus grande confusion , en prenant comme grandeur unique , k cause de l'unité de son existence sur le plan borisontal , un résultat qui peut signifier une infinité de lignes pour les trois dimensions. De même une droite positive ri est pas uniquejipouv être dans une position unique, savoir dans l'axe positif. Elle peut y être pour n'avoir pas bougé , ou bien pour avoir fait un tour, deux tours etc. La nature des calculs que nous faisons exige cette distinction puisqu'elle conduit k considérer la rotation. Il peut donc y avoir pour une ligne, unité de position sans qu'il y ait unité de venue dans cette position. Nous devons donc distinguer deux sortes de positif, l'un qui est l'état d'une droite venue dans l'axe d'v/ne manière quelconque , et ne déterminant pas une ligne unique , et un autre positif , que nous appellerons absolu , convenant k une droite qui est dans Taxe sans avoir tourné , et qui détermine l'unité ou indentité de cette droite (surunplan).

Quand nous prenons e pour base d'un système de

logarithme , nous entendons que e est un nombre positif

et unique , c'est-k-dire , positif absolu. Ce n'est pas la

série indéfinie e ayant fait zéro tours, e ayant fait un tour,

e ayant fait deux tours, etc., que nous entendons prendre

pour base, mais seulement le premier terme de cette

suite. Hé bien, l'exposant fractionnaire - ne donne un

résultat négatif — R , qu'autant qu'il est censé affecter e

ayant fait un tour , ( ou un nombre impair de tours ] ;

parceque dans l'extraction de la racine quarrée on prend

la moitié de l'inclinaison, et c'est la moitié d'une ou d'un

nombre impair de circonférences , qui nous mène au

négatif. Mais avec la base absolument positive et unique

e , il n'y a plus de résultat négatif pour l'exposant- , ni

pour aucun autre exposant fractionnaire quelconque.

Donc - ne sert pas d'exposant ou de logarithme pour

le nombre négatif — R.

112. Ce n'est pas la nature de l'exposant fractionnaire qui rend la puissance multiple, mais c'est la multiplicité de la base. L'exposant fractionnaire ne fait que faire ressortir cette multiplicité qui était dissimulée par l'unité de position. Une base positive ordinaire élevée à une puissance entière, sixième par exemple, donne également un résultat multiple : ce sera un résultat ayant fait zéro tours , un autre ayant fait 6 tours , un autre ayant fait 1 2 tours , un autre 18, etc Mais cette multiplicité qui existe , eu égard à la rotation ou inclinaison n'est pas apparente par la position , qui est unique. Une fraction - , par exemple , est déterminée tout aussi bien qu'un nombre entier , quand elle est prise sur une grandeur déterminée et unique: mais elle cesse de l'être, du moins

son résultat , si la chose dont il faut prendre les -r est indéterminée.

113. Est-il bon de faire attention à cette correspondance d'unité entre la base et la puissance ? Si le calcul est tel par sa nature qu'il ne le permette pas, forcément

on s'en dispensera : il sera encore mieux d'avoir quinze résultats , par exemple , parmi lesquels on pourra peutêtre, par quelque moyen , discerner celui qui convient au cas que Ton a en vue ; que si ce que Von cherche restait sans aucune détermination , c'est-à-dire , absolument inconnu. Mais c'est une imperfection que cette confusion même partielle ; et on doit la faire disparaître si on le peut, si on a à sa disposition des caractères (listinctifs pour étabhr et entretenir la correspondance. Or ici on les a, c'est inclinaison. Autrement on ferait comme celui qui confondrait volontairement ensemble tous les logarithmes qui sont les mêmes par la partie décimale , sans avoir égard à la caractéristique. Ses résultats seraient déterminés jusques à un certain point : car il trouverait ( dans certains cas), les cliiiires qui doivent les représenter^ mais il ne saurait pas qu'elle puissance de i doit les multiplier , ou comment doit être placée la virgule.

1 1 4. La multiplicité des logarithmes d'un même nombre dont nous avons parlé (1 08) , n'a lieu aussi que conditionnellement , et par une indétermination circulaire sous-entendue , du nombre dont onveutlel ogarithme. Si le nombre, ou en général la grandeur dont on demande le logarithme, était bien déterminée d'inclinaison comme de longueur , le logarithme serait unique. Il faudrait dire je veux le logarithme du nombre A, qui a son extrémité dans l'axe positif pour n'avoir pas tourné , ou bien pour avoir fait un tour , deux tours, etc., et la partie imaginaire du logarithme serait alors déterminée. Mais c'est parce que l'on se borne à dire que A est positif, ce qui signifie qu'il a son extrémité dans l'axe ( positif) , sans expliquer par

QUANTITÉS lUAGINAIREl^. 87

combien de tours elle y est venue. Même raisonnement si A avait son extrémité ailleurs que sur l'axe , c'est-àdire , s'il était imaginaire ou incliné, (110).

115. Nous pouvons donc dire que toutes les fois qu'on opère sur des grandeurs entièrement déterminées, on obtient un résultat déterminé et unique.

1 1 6. Mais on comprend que pour opérer sur des grandeurs déterminées , il faut les bien savoir déterminer. Pour cela il faut avoir égard aux-éléments de variation des grandeurs sur lesquelles on opère ; et faire paraître ces éléments d'une manière régulière dans le calcul. Une grandeur peut avoir plusieurs éléments de variation, c'està-dire, plusieurs manières de croître ou de diminuer. Des corps que l'on calcule, qui peuvent déjà différer ou varier de trois manières par leurs trois dimensions , pourraient encore varier par leurs poids , leurs valeurs, leurs couleurs et par d'autres propriétés. Si l'on ne fait aucune mention d'un élément de variation d'une grandeur que l'on soumet au calcul , le calcul lui-même n'en fait aucune non plus, et le résultat est indéterminé relativement à la propriété qu'on a passé sous silence ; mais on peut cependant le considérer comme déterminé, parce qu'il n'est pas plus indéterminé que les données. Il ne faut pas exiger qu'un résultat nous offre la couleur de pièces de monnaies que nous avons calculées , si dans les données nous n'avons rien fait entrer qui ait trait à cet élément.

Mais il peut arriver que sans le savoir on introduise dans le calcul des cas particuliers d'un élément de variation. Alors le calcul , peut donner des résultats dans ce

■que j'appellerai , toute la ligne de variation , à laquelle appartiennent les cas particuliers que Ton a introduits. Je dis des cas particuliers au pluriel , car il en faut plus d'un pour déterminer la ligne de variation , comme il faut plus d'un point ou d'un jalon pour déterminer une droite. C'est ainsi qu'arrivent les fractions , lors même qu'on n'engage dans le calcul que des nombres entiers , qui sont des cas particuliers d'une grandeur variant d'une manière continue. On peut dire alors que le calcul étend les conceptions de l'esprit.

Les imaginaires sont venues de ce qu'on avait introduit des cas particuliers de direction ou d'inclinaison, savoir, le positif etle négatif. Cela fait deux cas pris sur la ligne de variation et même davantage ; parce que, comme nous savons , une droite peut être au positif ou au négatif pour avoir tourné plus ou moins. Mais le négatif qui n'est qu'un signe de soustraction introduit-il nécessairement la direction à gauche? Oui, s'il y reste, si on ne le fait pas disparaître par une soustraction effectuée. C'est la statique surtout qui nous le montre. La grandeur négative €St alors là comme une force non composée et dirigée à gauche, et se composant naturellement d'elle-même. Ces cas particuliers introduits, l'analyse a révélé toute la suite continue des inclinaisons, en offrant des résultats extraordinaires, qui ne paraissaient pas de même nature que les données. Ils l'étaient cependant, puisqu'ils étaient sur une échelle de variation dont les données étaient des cas particuliers ; mais ils étaient dans des intervalles qu'on n'avait pas prévus , et ces résultats étaient multiples ou indéterminés parce que les cas particuliers introduits Tétaient aussi. Si l'on a un moyen régulier de

caractériser les données , c'est-à-dire , de mesurer leur variation sous le point de vue en question, il n'y aura plus ni multiplicité ni indétermination. Or ce moyen se trouve dans l'angle des expressiojis modulées , ou dans l'exposant des exponentielles imaginaires , puisque l'inclinaison y est caractérisée et mesurée. Donc avec de pareilles expressions comme éléments du calcul , on doit avoir des résultats uniques et déterminés. C'est ce que nous avons voulu annoncer dans l'article (42).

Suite des eccponenlielles et logarithmes^

i\l. Vient maintenant le troisième cas . celui où la ba^e et l'exposant sont tous les deux imaginaires ou en général non positifs. Nous connaissons le résultat d'une base positive e avec un exposant quelconque. Si la base est imaginaire ou en général non positive , il y a moyen de faire passer son imaginarité à l'exposant , et alors on retombe dans le cas de Texposant seul imaginaire. En effet: si cette base est une imaginaire avec la forme «+iV--ï» on pourra d'abord la moduler , et elle prendra la forme /?(co5a-(-.smay-Iï); et cette expression

peut se traduire par l'exponentielle ^^+^V— i^ g^ entendant par m l'exposant qu'il faudrait mettre à e pour faire p ou le module , c'est-k-dire que m est le logarithme du module.

Maintenant il est facile de voir Teffet d'un exposant

quelconque sur cette expression e^+'^V—* comme base» Le nouvel exposant devra multiplier l'exposant qu'a déjà e. Pour faciliter cette multiplication on pourra moduler l'exposant que e a déjà , ainsi que celui qui doit le mul*

tiplier. On pourrait aussi lui donner la forme exportent tielle. Le produit de ces deux exposants , sera un exposant imaginaire affectant e , dont nous connaissons Teffet.

118. Mais nous pouvons aussi considérer le nouvel exposant seul , et découvrir Teffet de ses variations sur Fexponentielle , comme nous avons fait pour la base positive (102). Cet effet est remarquable et a beaucoup de rapport avec celui du cas de la base positive e. Avec la base Cy l'exponentielle engendrait le plan , quand l'exposant engendrait une bande horisontale dont la largeur ^tait â^f. Avec un exposant imaginaire la fonction engendrera le plan, quand r extrémité de r exposant engendrera une bande dont la largewr est celle de l'ancienne ou 2«' , divisée par le module de l* exposant de la base ,• et cette bande ne sera pas horisontale, mais elle aura une inclinaison qui sera celle de ce même exposant, prise en sens contraire.

En effet , l'exposant de la base doit multiplier le nouvel exposant. On peut imaginer que l'exposant de la base est modulé et que l'autre ne l'est pas , et la multiplication peut également se faire. Le second exposant garde donc sa partie réelle et sa partie imaginaire en forme de coordonnées ou composantes rectangulaires. Le module de l'exposant de la base multiplie ces coordonnées et leur fait engendrer une bande dont la largeur est celle qu'elles auraient engendrée sans multiplication , multipliée par ce module. Or nous savons que (102) si l'exposant total engendre une bande large de 2 «» , la fonction engendre le plan. Mais pour que l'exposant engendre une bande large de 2-"' avec la multiplication du module , il faut que sans multiplication il en engendre une dont la largeur soit 2* divisé par le module.

Secondement, comme Tunité imaginaire de l'exposant, labase, par sajnultiplication, fait tourner de son inclinaison les coordonnées du second exposant; pour qu'après cette action, la bande engendrée soithorisontale, elle doit avoir avant la multiplication , une inclinaison égale à celle de Tunité de l'exposant (immédiat) prise en sens contraire , pour qu'elle puisse être détruite.

Ce que nous avons vu (105) est un cas particulier de ceci. La base e n'était affectée que d'un exposant positif, ou sans inclinaison , qui modifiait seulement la largeur de la bande en la laissant horisontale.

119. Les conclusions des articles (102), (103), (104) sont donc modifiées ou généralisées : c'est-à-dire , que les bandes n'ont plus une position , une largeur particulières. Mais la largeur et la direction des bandes sont réglées par l'exposant de la base , de l'exposant immédiat qu'a la base avant de recevoir le nouvel exposant ou exposant proposé.

Si Textrémilé de l'exposant proposé décrit deux bandes ^ trois bandes , etc, : la fonction décrira le plan entier , une fois , deux fois , etc.

Ce n'est plus une verticale qui partage les bandes en deux parties répondant l'une à l'extérieur du cercle et l'autre à l'intérieur, mais c'est une droite partant de l'origine et perpendiculaire aux bandes.

L'extrémité de l'exposant en décrivant une parallèle aux bases des bandes, fait décrire à la fonction une droite partant de l'origine. L'inclinaison de cette droite est mesurée par la distance à F origine de cette parallèle , en comptant la largeur d'une bande pour un tour.

La fonction décrit une circonférence ou deux ou trois, quand Fextrémité de Texposant marche perpendiculairement aux bandes et qu elle en traverse une , deux , trois , etc. ces rapprochements sont faciles.

120. Considérons l'inclinaison de la bande, relativement à rinclinaison de la base. A mesure que la base tourne , la direction de la bande tourne aussi , mais beaucoup moins vite. Elle ne fait qu'un quart de tour pendantquela base fait une infinité de circonférences. Pour

plus de simplicité supposons que la base soit e -t^k — *• La grandeur « en variant mesure les arcs ou les circonférences décrites par la base; et cette même grandeur, considérée relativement à l'exposant, règle bien Tinclinaison, mais elle la règle en servant de tangente trigonométrique à cette inclinaison. L'angle de cet exposant (H 8) est le même en grandeur que celui de la bande. L'inclinaison de la bande a donc pour tangente trigonoméirique l'arc décrit par la base. Il faut donc que cette base décrive un arc infininient grand à partir de zéro , pour que la bande tourne d'un angle droit, La bande peut donc tourner de deux angles droits , la base tournant jusqu'à l'infini positif, et jusqu'à l'infini négatif.

121. Une base négativCrOn imaginaire, ou en général non positive peut-elle servir de base pour un système de logarithmes (des nombres ordinaires ou positifs) ?

Il s'agit de voir si avec une base inclinée ou e ayant déjà un exposant incliné, on peut, avec un second exposant , que nous appellerions le logarithme , faire engendrer à la fonction la suite des nombres positifs. Or nous savons par ce qui précède , que l'extrémité du second

exposant décrivant les bases des bandes inclinées convenablement , la fonction décrit , une droite positive. Ce chemin , qui est tout aussi régulier que la marche des logarithmes usités , qui d'ailleurs n'en sont qu'un cas particulier , pourrait bien être appelé logarithme. Si Von prenait le chemin fait sur la base de la première bande , ce logarithme serait plus net. Mais si on prenait le chemin fait sur les autres bases , le logarithme serait accompagné d'une partie qui ferait la largeur d'une bande , de deux, etc., suivant la distance à l'origine , de la base que l'on considère. Cette partie serait imaginaire ou à angle droit avec l'autre partie du logarithme. Elle serait analogue aux parties imaginaires connues, 2*, 4*, etc., qui viennent s'adjoindre aux logarithmes usités (109).

En bonne règle le logarithme est alors , dans un cas comme dans l'autre , la résultante des deux parties , quoique ordinairement on n'en considère qu'une.

Nous concluons donc qu'on pourrait avec^ une pareille èa^^avoirdes logarithmes. Mais ils ne seraient pas réels; fis seraient inclinés ou imaginaires. Nous avons dit qu'ils seraient réguliers parce que l'on pourrait regarder comme logarithme numérique , seulement le module de cet exposant.

Si l'on met aux logarithmes la condition d'être réels , il est vrai qu'oii ne peut avoir des logarithmes réels des nombres positifs, quavec une base positive.

122. Les gTSLudeuTs négatives y les grandeurs ima^finaires ont-elles des logarithmes? En ont-elles avec toutes les bases ? La réponse à cette question serait la répétition de ce qui précède , sur la marche de l'exposant et de la

fonction. Oui toute grandeur a un logarithme , et eiv a un

avec une base quelconque , en généralisant ridée de logarithme; et même n en a quun^ si Ton se rappelle ce que nous avons dit sur Tunité des résultats. Un nombre semble avoir deux , trois , quatre logarithmes , ainsi que nous l'avons dit; mais ce n'est pas le même nombre, il y a comme l'on sait plusieurs nombres dans un , qui diffèrent par un tour, deux , trois etc. , et ce sont ces différents nombres qui ont les différents logarithmes dont on parle et dont nous avons parlé nous-même (109).

Racines des équations exponentielles,

123. Nous avons démontré (49) que toute équation algébrique a une racine. Nous pouvons également faire voir que toute équation exponentielle en a une. Nous pouvons même généraliser cette équation exponentielle en la prenant de la forme

ax^ + bx^ + ca?^ . . ... .-fa^ -[-/3^ -|- etc. = 0,

c'ést-à-dire, que nous pouvons y supposer des termes algébriques et des termes exponentiels en même temps.

X en variant d'une manière absolue , je veux dire en grandeur et en direction , peut , d'après ce que nous avons vu , faire prendre à la partie algébrique , toute valeur que l'on voudra. Chaque terme exponentiel , peut aussi prendre par la variation de x la valeur que l'on voudra. Il s'agit de savoir si la résultante ( de tous les termes exponentiels) , peut la prendre. Si les termes variaient d'une

manière indépendante, s'ils étaient par exemple» +/3*, la chose serait évidente: avec deux composantes qui

peuvent devenir ce que Ton veut , on peut obtenir la résultante que ïon veut. Mais nous avons

c'est-à-dire , que la variation de tous les termes est entrainée par la même lettre.

Je remarque que Von peut faire varier chaque terme d'une manière continue et pour la longueur et pour l'inclinaison , en faisant varier x d'une manière continue et dans sa partie réelle et dans sa partie imaginaire , et ces variations peuvent avoir lieu séparément. Je fais donc varier x de manière à ce que la longueur de chaque terme croisse d'une manière continue. La résultante des trois termes variera de longueur d'une manière continue ; et son extrémité décrira une ligne continue de zéro à l'infini. Nous n'avons pas besoin d'examiner si elle est droite ou courbe. Je fais maintenant varier x de manière à faire tourner les composantes , mais infiniment peu. La ligne décrite par l'extrémité de la résultante se déplacera infiniment peu ; ainsi de suite. Donc l'extrémité de la résultante ira sur tous les points du plan par la variation de X.

Le raisonnement que nous venons de faire sur les termes qui varient par leur exposant peut se faire sur les termes qui varient par la base , mais il a été fait précédemment. Déplus le même raisonnement convient encore pour la résultante qui lie la partie exponentielle et la partie algébrique (ou à base variable). Donc l'extrémité de la résultante finale peut aller où l'on veut : on peut donc la mettre en opposition avec le terme constant , s'il y en a un , ou bien l'amener à l'origine si le terme cons-

tant est zéro. Donc une pareille équation a une racine et cette racine est de forme imaginaire.

En parlant des racines nous n'exceptons pas Y infini imaginaire ou autre , qui peut bien être racine.

124. Il est facile de voir sans que nous ayons besoin de le développer , que s'il y a des coefficients réels ou imaginaires, ils ne changent rien à cette conclusion. Car ces coefficients modifient les composantes dans leur direction ou dans leur longueur, mais ne détruisent pas la continuité. Les bases «, ]3, y peuvent aussi être imaginaires. Les exposants m , n, p... aussi* L' imaginante ne détruit rien de nos raisonnements , et ne doit rien détruire , puisque l'imaginarité est pour ainsi dire un état naturel des grandeurs considérées géométriquement

Comme Fimaginarité des constantes influe sur le départ des composantes , pour le rendre symétrique ou non symétrique, elle peut influer sur la conjugaison des racines , ainsi que nous l'avons déjà vu. Et il y aurait ici des détails à donner que l'on sentira et dont nous nous dispensons. On voit par exemple que si tous les éléments constants sont réels , les racines doivent être en général conjuguées j parce qu'en tournant d'en bas , on obtiendra ce qu'on a obtenu en tournant d'en haut. Je dis en général car il y aurait des remarques à faire.

125. Nous ne parlons pas du cas où la base et l'exposant varient en même temps. Cela nous conduirait dans des considérations que nous développerons plus tard.