V^-1,^VIT

Imaginons qu'on veut composer une équation du second degré dans laquelle manquent les deux premières racines. Le polygone à construire sera un quarré. La diagonale allant au sommet 2 et qui doit faire le coefficient du second terme sera 1 4-V^. la diagonale allant au sommet 3, qui doit être le coefficient constant et qui se réduit à un côté e^t 1/IT. L'équation sera donc

Résolue , elle donne

Il faut voir là dedans les deux racines — 1 et — V^^,

En eifet — - (l -j-l/ZIî) est la demi- diagonale du quarré , prise négativement , c'est-à-dire , ayant une inclinaison de deux droits et demi. De sorte que si Ton imagine autour de l'origine quatre unités à angle droit , détermi-

QUANTITÉS tMAGINATRES. 61

liant quatre quarrés , l'expression ci-dessus est la demidiagonale du troisième quarré. L'expression

est la demi-diagonale du second ou du quatrième quarré, suivant qu'elle est prise avec le signe + ou avec le signe — . En effet-^ V^ est l'unité inclinée dès trois angles droits. Le grand radical qui l'affecte , réduit son inclinaison à la moitié (36), c'est-à-dire, à un droit et demi, Elle est donc dirigée suivant la diagonale du second quarré. - |/i qui l'afiFecte encore lui donne la longueur de

la moitié de cette diagonale du second quarré , et du quatrième si on prend le signe — . Maintenant la demi-diagonale du troisième quarré , que nous avions en premier lieu , composée avec la demi-diagonale du second quarré donne pour résultante la racine — 1 , et con^posée avec la demi-diagonale du quatrième quarré , donne la racine — yjlï : ce qui forme bien les racines que nous voulions. 89. Ci-dessus (87) , les deux racines manquantes étaient g et o , c'est-à-dire qu'elles étaient consécutives. Supposons qu'avec q ce soit b qui manque. Les coefficients seront toujours donnés par des cordes tirées du sommet zéro à tous les autres, dans un polygone , ou plutôt ligne polygonale , à côtés égaux à l'unité , mais inclines du double de ce qu'ils étaient au paravant , c'est-à-dire, que la différence d'inclinaison d'un côté à l'autre , ou chaque

angle extérieur est de -- . Cela donne un polygone régulier de huit côtés ; et la corde fera deux fois le tour pour donner tous les coefficients. On voit cela en pensant que b ayant une inclinaison double de a, fait un effet double, dans la construction, sur l'inclinaison des côtés

Si le nombre des côtés n*est pas pair, ou divisible par deux, chaque tour de la ligne polygonale ne donnera pas un polygone complet , ce ne sera qu'à la fin des deux tours que le polygone se fermera véritablement , c'està-dire , que le dernier sommet tombera sur le premier.

Si c'est (ji et c qui manquent le polygone tournera trois fois plus vite. Et de même il ne serait complet à chaque tour qu'autant que le nombre des côtés serait divisible par trois , etc.

En appliquant au quatrième degré , quand c'est q eib qui manquent , le polygone se réduit à une droite.

90. Au nombre des racines manquantes était toujours q , c'est-à-dire la racine sans inclinaison. Supposons que ce soit a et 6 qui manquent. Avec un peu d'attention, nous découvrirons que les choses se passent comme auparavant excepté que les cordes coefficients ne commencent plus au même sommet , qui était l'origine de la racine sans inclinaison , mais aux sommets consécutifs^ Au reste ce cas et les suivants se lient tous ensemble en disant que les cordes qui doivent faire les coefficient» de l'équation où il manque deux racines { consécutives ou non consécutives], commencent à V origine des coefficients (qui sont aussi des cordes] de l'équation dans le ca^oii il ne manquait encore que la première de ces deux racines. Quand q était la première racine manquante , les cordes commençaient toutes au même point, parce que les coefficients de l'équation sans q y commenceraient. Si c'est a qui manque nous avons vu (86) que les coefficients de l'équation sans a sont tous égaux à l'unité; mais inclinée de 0, 1, 2, 3, etc. arcs, c'est-à-dire ,

qu'ils sont des cordes qui sont les côtés successifs du polygone. Hé bien ! les cordes coefficients de Féquation sans * a et une autre racine commenceront à l'origine des coefficients sans o, c'est-à-dire, au sommet zéro, ensuite au sommet i , au sommet 2 , etc.

En effet , pour passer d'un coefficient à l'autre quand c'est q et une autre racine qui manquent, a par exemple , (87) nous disons : multiplions par aie coefficient obtenu, qui est une corde, ou bien plusieurs côtés consécutifs du polygone , ou bien plusieurs racines consécutives du système. Cette multiplication fait tourner cette somme , d'un arc. Si elle était les racines dont l'inclinaison est 0, 4, 2, 3, par exemple , elle devient les racines dont l'inclinaison est 1, 2, 3, 4. Pour produire le coefficient de l'état précédent ou plutôt la colonne des combinaisons , qui est le coefficient avant le changement de signe , il faut y ajouter — 1 , c'est-k-dire , la racine marquée 8, parce que le coefficient de l'état précédent était — 1, ensuite les racines marquées 9, 10, il , 12 pour neutraliser 1 , 2, 3, 4. Maintenant , si a est la première racine manquante et é la seconde, en multipliant par 6 nous ferons tourner de deux arcs; mais le coefficient de l'état précédent tourne d'un, parce que cet a qui y manque, pour le produire , il faudra donc d'abord neutraliser le résulta de la multiplication, et ensuite produire la force opposée au coefficient de l'état précédent, ce qui donne une racine voisine du groupe neutralisant le produit qui a tourné , c'est-à-dire, que la racine qui faisait le coefficient (au signe près) ou la colonne de l'état précédent, vient toujours s'ajuster au groupe qui a tourné par la multiplication , et par conséquent fait commencer le résultat ou l«i corde , avec elle

64 QUANTITlÊS IMAGINAIRES.

Ces conclusions existent pour a et c y pour a et d •etc.

De même elles existent pour é et c , 6 et d etc. En effet la nmltiplication par c ferait tourner de trois arcs , le coefficient de l'état précédent aurait tourné de deux , il ^'ajusterait encore comme ci-dessus , et commencerait le résultat ou la corde.

91 . Quand nous disons que les cordes donnent les coefficients , il faut entendre en longueur et en direction; mais non en position , quand elles ne partent pas de Forigine. Il faut toujours imaginer qu'elles doivent être transportées parallèlement de manière à ce que le^ir origine ( ou point (T application] soit à l'origine générale avant d'être appelées coefficients. Il en est ainsi, parce qu'il y a eu un déplacement artificiel des racines , elles avaient toutes naturellement la même origine, et formaient des rayons de cercle , tandis que pour la construction nous les avons regardées comme faisant des côtés de polygone

92. Supposons qu'il manque trois racines q, a, b. La loi des coefficients se complique , cependant ils s'obtiennent aves des cordes ou combinaisons de cordes.

Le coefficient du second terme serait une corde ou diagonale à trois arcs partant du point zéro.

Le coefficient du troisième terme une corde à cinq arcs , partant du point zéro , plus une corde à un arc, partant

du points.

Le coefficient du troisième terme serait une corde à sept arcs , partant du point zéro , plus une corde à deux arcs partant du point 2, plus une corde à un arc partant du point 4.

Le coefficient du quatrième terme une corde à neuf arcs partant du point zéro , plus une corde à trois arcs partant du point 2 , plus une corde à deux arcs partant du point 4 , plus une corde à un arc partant du point 6.

Etc.

On trouvera la démonstration en suivant une marche analogue à ce qui précède. Nous ne la donnons pas par la crainte de devenir trop long , comme aussi nous ne considérerons pas les cas suivants où la loi serait encore plus composée.

Extension de la méthode de Newton au calcul des racines imaginairesy

ou généralisation de celle méthode,

93. La méthode de Newton, pour calculer avec approximation les racines réelles d'une équation, consiste à substituer à la place de x une grandeur réelle qui approche déjà de la racine cherchée à moins d*un dixième , et à calculer ensuite ce qui manque pour achever cette racine.

Pour cela , attendu qu'un polynôme pour de petites valeurs de sa variable ;, ne varie à peu près que par celui de ses termes qui renferme la plus basse puissance de la variable , c'est-à-dire , la première , on tâche d'obtenir un polynôme ordonné suivant les puissances d'une lettre exprimant ce qui manque à la racine. Ce qui manque étant au-dessous d'un dixième , les termes renfermant les puissances supérieures sont au-dessous d'un centième, à moins qu'il n'y ait de très grands coefficients: on se permet de les négliger comme n'influant pas beaucoup sur l'équation , qui , par là , devient du premier degré , par conséquent facile à résoudre et donne ■ avec approximation ce qui manque à la racine. Pour

66 QUÂNTITta IMAGINAIRES.

avoir un polynôme où ce qui manque à la racine soit représenté par la lettre ordonnatrice /A suffit de substituer x-^-ih la place de a: , et le polynôme ou Téquation

devient x+X'i+Jlif+ =0.

X, X', X", etc., représentant le polynôme en x et ses dérivées. En négligeant les hautes puissances de t, on a une équation du premier degré , qui donne

pour la valeur à ajouter à celle qu'on est censé avoir mise à la place de x dans les polynômes X et X': ( sauf les vérifications connues).

S'il s*agit de la recherche d'une racine imaginaire , c'est-à-dire , d'une droite dont l'extrémité est en un point inconnu du plan , en supposant qu'on ait substitué une droite dont l'extrémité soit éloignée de l'extrémité cherchée de moins d'un dixième , il n'y aura donc plus à trouver qu'une petite ligne inconnue en longueur et en direction. Si elle était connue , nous l'ajouterions (29) à la droite qui est déjà à la place de x et nous aurions la racine cherchée. Or si cette petite droite est réprésentée pari, dans l'équation transformée comme ci-dessus , les termes affectés des puissances supérieures ne modifieront que très peu la valeur du polynôme pour la longueur , comme l'on sait, et que très peu aussi pour la direction, car d'après ce que nous avons remarqué (47) pour les petites valeurs de la variable , le terme affecté de la plus basse puissance donne à peu près sa direction à la résultante. Donc on pourra comme pour les racines réelles, négliger les termes supérieurs, et la ligne à ajouter sera également donnée par la formule

QUANTITÉS IHAGINAtRES. 67

94. Soit réquation ar*— 3a?»-f 5ar"— 6x+18=0. Supposons que par un moyen quelconque on ait découvert qu'une droite que j'appelle p, ayant 2,4 de longueur que j'appellerai a et39*,2 (nouvelle division) d'inclinaison que j^appellerai « approche beaucoup de la racine. Il faut donc substituer p dans X et X^

Puisque p = a(co«a + maV^) = 2,4(co539,Sl -|- 5m39,2 V^) nous aurons pourX, que nous appellerons P après la substitution, les résultats suivants :

— 6aco5a=— 6aco^39,2= — 11 ,75528

+5a«co52a=+ 5aVo^78,4= + 9,5852

— 3a»co53a=— 3a'co^1 1 7,6=+3a'co^82, 4=+1 1 ,31 986

-fa»co54a=+ aVo5l56,8=— aVo543,2=— 25,8275.

Cela nous donnera la partie réelle de P et nous trouverons partie réelle de P = + 1 ,32228.

Pour la partie imaginaire nous aurons :

— 6(wina=— 6(wm39,2= — 8,317047

-|-a*«n4a=+ a*5m156,8=+ a»^in43,2=+20,82529.

En réduisant nous trouvons :