Ce n'est pas la nalure de l'exposant fractionnaire

([ui rend la puissance multiide, mais c'est /^< muUipUcité

dr la hase. L'exposant fractionnaire ne fait ipie faire

rc5507V<r cette multiplicité qui était dissimulée par l'anité

de position. Une base positive ordinaire élevée à une

puissance entière, sixième par exenqtle, donn<; également

un résultat multiple : ce sera un résultat ayant fait zéro

tours , un autre ayant fait 0 tours , un autre ayant fait

12 tours, un autre 18, etc Mais cette multiplicit»' <[ui

existe , eu égard à la rotation ou inclinaison n'est pas

apparente par la position , (pii est uniiiue. Une fraclion

- , par exemple, est déterminée tout aussi bien cpiun

nombre entier, (piand elle est |trise sur unt,' grandeur

déterminée et uniipie: mais elle cesse de l'être, du moins

son résultat , si la chose dont il faut prendre les - est

indéterminée.

113. Est-il bon de faire attention ;i celte cori'cspondance d'unité entre la base et la puissanc»' ? Si le calnd e.-^t Itl |)ar >a nature (|u"il ne le |)rrnirttr pas, loreenn'nt

86 giAMin-s iMA(;iN.\ini:s

on s't'ii (lis|»i'iiS('r;i : il sera (Micdi'c mioux d'aviur (|iiiiizo ri'sullals , |iai' l'M'inplt' , itaniii l('S(|iU'ls on |)(tuna poutr-tiv, par <|U('l(|iu' inoycii , disccnicr celui (jui ('(tiivienl au cas (]in' r(»ii a en vue; (juc si ce <|U(' l'on cherche restait sans aucune (Icicrniinatioii , c'est-ii-dire , absolument inccinnu. Mais c'est une ini|»erfecti(tn (jue cette contusion ni^'uie i)arlielle; et on doit la faire disparaître si on le peut, si on a a sa disposition d(îs caractères distinctifs pour établir et entretenir la correspondance. Or ici on les a. c'est n}iclinai.son. Autrement on ferait comme celui qui confondrait volontairement ensiMnble tous les logarithmes ([ui sont les mêmes [lar la |>artie df'cimale , sans avoir t-gard à la caractérisli([ue. Ses résultats seraient déterminés jusques à un certain point: car il trouverait ( dans certains cas), les chiffres qui doivent les représenter , mais il ne saurait pas qu'elle puissance de \0 doit les multiplier, ou comment doit être placée la virgule.

1 1 i. La multiplicité des logarithmes d'un même nombre dont nous avons parlé (1 08), n'a lieu aussi que conditionnellement , et par une indétermination circulaire sous-entendue , du noml>re dont onveutlel ogarithme. Si le nombre, ou en général la grandeur dont on demande le logarithme, était bien déterminée d'inclinaison comme de longueur, le logarithme serait unique. Il faudrait dire je veux le logarithme du nombre A, qui a son extrémité dans l'axe positif pour n'avoir pas tourné , ou bien pour avoir fait un tour , deux tours, etc., et la partie hnaginaire du logarithme serait alors déterminée. ÎMais c'est parce que l'on se borne à dire que A est positif, ce qui signifie qu'il H son extrémité dans l'axe ( positif) , sans expliquer par

yiANTITÊS IM\«;iNAIRES. H'i

combien de tours elle y est venue. Mrme raisonnement si A avait son e\trémit«} ailleurs (jue sur l'axe . c'est -iidire , s'il était imaginaire ou incliné, (1 10).

1 li>. Nous pouvons d(»n(^ dire (pie imilrs les foix qu'on opère sur des (/raiuleurs entièrement déterminées, on obtient un résultat déterminé et unique.

116. Mais on comprend que pour opérer sur deN }j;i;iiideurs déterminées , il faut les bien savoir déterminer. Pour cela il faut avoir égard aux éléments de variation des grandeurs sur lesquelles on opère ; et faire paraître ces éléments d'une manière régulière dans le calcul. Une grandeur peut avoir plusieurs éléments de variation, c'està-dire, plusieurs manières de croître ou de diminuer. Des corps que l'on calcule, qui peuvent déjà ditVérer ou varier de trois manières par leurs trois dimensions , pourraient encore varier par leurs poids , leurs valeurs, leurs couleurs et par d'autres propriétés. Si l'on ne fait aucune mention d'un élément de variation d'une grandeur (jue l'on soumet au calcul , le calcul lui-même n'en fait aucune non plus, et le résultat est indéterminé relativement à la propriété qu'on a passé sous silence; mais on peut cependant le considérer comme déterminé, parce qu'il n'est pas plus indéterminé que les données. Il ne faut pas exiger qu'un résultat nous offre la couleur de pièces de monnaies que nous avons calculées , si dans les données nous n'avons rien fait entrer (pii ail trait ii cet élément.

Mais il peut arriver que sans le savoir on introduise dans le calcul des cas particuliers d'un éh-ment de variation. .Alors le calcul , peut donner des rt''snlt;il'> dans ce

SS Ql'VNTITfiS IMAC.lNVlItl'S.

«|ii(' i';i|tii(>!lcrai , (oiiicht li(/iic de rafialion, ii I;i(]iip11(' wppartipiiiKMil les cas particulicM's (juo l'on a iiitrcMliiils. Je (lis (les cas pîîi'ticiilicrs au pluriel , cai' il eu faut plus d'un pour (It'tcrniincr la lij;n(' de variation, comme il faut idusd'un point ou d'un jalon pour dcHerminer une dioite. ('.'(>st ain^i (prarrivent les fractions , lors même qu'on n'engage dans le calcul que des nondires entiers , qui sont des cas particuliers d'une grandeur variant d'une manière cfinlinue. On peut dire alors que le calcul étend les concej)li(ius de l'esjiril.

Les imaginaires sont venues de ce qu'on avait introduit des cas particuliers de direction ou d'inclinaison, savoir, le positif et le négatif. Cela fait deux cas pris sur la ligne de variation et même davantage ; parce que, comme nous savons , une droite peut être au positif ou au négatif pour avoir tourné plus ou moins. .Mais le négatif qui n'est qu'un signe de soustraction introduit-il nécessairement la direction à gauche? Oui. s'il y reste, si on ne le fait pas disparaître par une soustraction elfectuée. C'est la statique surtout qui nous le montre. La grandeur négative €St alors là comme une force non composée et dirigée à gauche , et se composant naturellement d'elle-même. Ces cas particuliers introduits, l'analyse a révélé toute la suite continue des inchnaisons, en offrant des résultats extraordinaires, qui ne paraissaient pas de môme nature que les données. Ils l'étaient cependant, puisqu'ils étaient sur une échelle de variation dont les données étaient des cas particuliers ; mais ils étaient dans des intervalles qu'on n'avait pas prévus , et ces résultats étaient multiples ou indéterminés parce que les cas particuliers introduits Tétaient aussi. Si l'on a \\n nioven régulier de

QUANTITÉS IMAr.INAlRKS. H*.)

caractériser les donut'cs , c'est-à-(lin> , de mesiircr leur variation sous le point de vue en question, il n'y aurajilus ni multiplicité ni indétermination. Or ee moyen se irou\f dans l'iUKjle des expressions niodult'es , on dans l'e.rptisant- dci exponentielles imai^inaires , j)iiis(pie rinclinaison y est caractérisée et //(('.s-//râ'. Donc avec dt- pareilles expressions comme éléments du calcul , on doit aroir des résultats uniques 1 1 déterminés. C'est ce (pie nous avons voulu annoncer dans l'article (42).

Suite des cxpoiwnlicHes cl logarithmes.

117. Vient maintenant le troisième cas , celui ou la base et l'exposant sont tous les deux imaginaires ou en général ?ioïi positifs. Mous connaissons le résultat d'une base positive e avec un exposant quelconque. Si la base est imaginaire ou en général non positive , il y a moyen de faire passer son imaginarité à l'exposant, et itlors on retombe dans le cas de l'exposant seul imaginaire. En efl'et: si cette base est une imaginaire avec la l'orme a-\-b\/~i, on pourra d'abord la moduler , et elle prendra la ïorme p{cosv.-\- s in v.y^i); et cette expression

peut se traduire par l'exponentielle /■"^'T'^V—^ ,^.,1 intendant par //? l'exposant qu'A laudrait mettre à e pour faire p ou le module , c'est-ii-dire que m est le loijarithme du, module.

Maintenant il est facile di' voir l'effet d'un exposant

<]uelconque sur cette expression 6' "^ *^ ' C(»nnnel)ase. Le nouvel ex[)osant devra multiplier l'exposant «pia déjà ('. Pour faciliter cette multiplication on pourra tnoduler l'exposant (pie r il dt'ia . ainsi (pie celui (pii doil le iiiul-

90 glAMllflS IMA(;iN\lUKS.

lijilicr. On |uiiinail aussi lui (loiiiici' la fnriuc v.iponenlicllc. Lv |»i()(Init (If CCS i\t'u\ c\|»(isaiils , sera un exposant iiiia^iiiiaii»' allcctaiil r, (lonl nous connaissons l'cllcl.

IIS. Mais nous |ion\H)ns aussi considt'ifr le nouvel e\|)osanl seul , cl tl('cou\ lir rell'el de ses vai-ialit)ns sur 1 exponentielle . comnie lions avons fait poui' la Itase positive (I02j. (let olVet est reniar(|uablo et a beaucoup de rapport avec relui du cas de la base positive c. Avec la base c, rexponenlielle engendrait le plan, quand l'exposant entendrait une bande horisontale dont la largeur était i-K. Avec un exposant imaginaire la fonction engendrera le jilan.cpiand l'c.rirr'iiiilr'de l'ciponanl ('ii(je>i(lrera litie bande dont la lurjjeur est eelle de l'ancienne ou iif , divisée par le module de l'exposant de la base ; et cette bande ne sera pas horisontale, mais elle aura une inclinaison (jui sera celte de ce même exposant, prise en sens contraire.

En elfet , l'exposant de la base doit multiplier le nouvel exposant. On peut imaginer que l'exposant de labase est modulé et que l'autre ne l'est pas , et la multiplication peut également se faire. Le second exposant garde donc sa partie réelle et sa partie imaginaire en forme de coordonnées ou composantes rectangulaires. Le module de l'exposant de la base nmltiplie ces coordonnées et leur fait engendrer une bande dont la largeur est celle qu'elles auraient engendrée sans multiplication , multipliée par ce module. Or nous savons que (102) si l'exposant total engendre une bande large de 2 * , la fonction engendre le plan. Mais pour que l'exposant engendre une bande large de 2'^ avec la multiplication du module , il faut que sans multiplication il en engendre une dont la largeur soit 2* divisé p;ir le mofinitv

QUANTITÉS IMAliINAlKFS. 9f

.SecoiuIeiiK'iil, cuimimc riiiiil»'' iinai^iiiain' de rcxposanl, la base, parsa multiplication, tait tourner do son inclinaison les coordonnées du second exposant; i)our qu'après cette action, la bande engendrt'O soit horisontalc, cllo doit avoir avant la multiplication , une inclinaison ('j^mIc à ccdle de l'unité de l'exposant innm'diat) prise en sens conlrain- , |)our qu'elle puisse être détruite.

(le ([ue nous avons vu (103) est un cas particulier de ceci. La base e n'était affectée que d'un exposant positif, ou sans inclinaison , <[ui modiliait seulement la largeur de la bande en la laissant horisontale.

119. Les conclusions des articles (102), (103), (104) sont donc modifiées ou généralisées : c'est-à-dire , que les bandes n'ont plus une position , une largeur particulières. Mais la largeur et la direction des bandes sont retjlc'es par l'exposant de la base , de l'exposant immédiat qu'a la base avant de recevoir le nouvel exposant ou exposant proposé.

SiTextrémilé de l'exposant proposé décrit (leur bandes, trois bandes , etc, : la fonction décrira le plan entier , une fois , deux fois , etc.

Ce n'est plus une verticale qui partage les bandes en deux parties répondant l'une à l'extérieur du cercle et l'autre à l'intérieur, mais c'est une droite partant de l'origine et perpendiculaire aur bandes.

L'extrémité de l'exposant en décrivant une parallèle aux bases des bandes, fait décrire ii la fonction n)ie droite partant de l'origine. L'inclinaison de cette droite est mesurée par la distance à loriijine de cette parallèle , en comptant la largeur d'une bande pour un tour.

î>2 (Jl VMITI'S IMvr.lNAlUKS.

L;i loii(li(»ii (lt''( ril une rlnoiifn'oirc tm deux ini t^l)l^, (|ii;iii(l rcxtK'iiiilc (le l'exposant niarclie jx'rpendiculairemcHt aux Imiidos et (lu'elle en travt^rsc une . deux , trois , etc. ces rajiproclieiuenls sont faciles.

120. (-onsidi-rons linclinuison de la bande, relativement à rinelinaison de la base. A mesure que la l)ase tourne , la direction de la bande tourne aussi , mais beaucoup moins vite. Elb; ne fait qu'un quart de tour pendantquela base fait une infinité de circonférences. Pour

plus de simplicité supposons que la base soit c +^V— i. La grandeur « en variant mesure les arcs ou les circonférences décrites par la base; et cette même grandeur, considérée relativement à l'exposant, règle bien l'inclinaison, mais elle la règle en servant de tangente trigonométrique à cette inclinaison. L'angle de cet exposant (1 1 8) est le même en grandeur que celui de la bande. L'inclinaison de la bande a donc pour lamjenlc trigonométrifjue l'arc décrit par la base. 11 faut donc que cette base décrive un arc infiniment grand à partir de zéro , pour que la bande tourne d'un angle droit. La bande peut donc tourner de deux angles droits , la base tournant jusqu'à l'intîni positif, et jusqu'à l'infini négatif.

121. Une base négative, ou imaginaire, ou en général non positive peut-elle servir de base pour un système de logarithmes (des nombres ordinaires ou positifs] ?

Il s'agit de voir si avec une base inclinée ou e ayant déjà un exposant inclini', on peut, avec un second exposant , que'nous appellerions le logarithme , faire engendrer à la fonction la suite des nombres positifs. Or nous savons par ce (pii pnW i'de , (pie l'ext^'uiité du second

QUANTITÉS IMAr.INAIIlES. O-"^

i'\[)()saiU tlt'fi'ivaiil les bases dos baiulcs iiicliiifcs cuiiveiiablemeiit , la fonction décrit, une il roi tr pnsilirr. Ce chemin , qui est tout aussi n''c;ulier (JIK' la niaiclie des logarithmes usités . ([ui d'ailleurs n'en sont (ju'un cas partîcuher , pourrait bien cire appelé' hxjarithme. Si l'on prenait le chemin tint sur la base de la première bande , ce lojïarithme serait plus vet: Mais si on jjrenaitle chemin tait sur les autres bases , le logarithme serait acc(imi»a};ni'' d'une partie (pii ferait la lariieur d'une bande, de <len\. etc.. suivant la distance à l'origine . de la base cpie l'on considère. Cette partie serait imaginaire ou à angle droit avec l'autre partie du logarithme. Elle serait analogue aux parties imaginaires connues, 2^ , 4«', etc., (jui viennent s'adjoindre aux logarithmes usités (109).

En bonne règle le logarithme est alors, dans un cas comme dans l'autre . la résultante des deux parties . quoique ordinairement on n'en considère (pi'uni'.

Nous concluons donc qu'on pourrait arec une pareille />;a5c avoir des logarithmes. Mais ils ne seraient pas réels; ils seraient inclinés ou imaf/inaires. Nous avons dit qu'ils seraient réguliers parce (jue l'on pourrait regardei- connue logarithme numi''ri(iue , seulement h; module de cet exposant.

Si Ton met au\ logarithmes la condition d être réels , il est vrai qu'on ne i)eut avoir des Inijanllunes réels des nombres positifs, 'ju'arer une hase jiosil ire.

i2i. Les grandeurs /t/'V/rt/./re.s, les grandeurs imnijinaires ont-elles des logarithmes? En ont-elles avec toutes les bases? La réponse à cette question serait la répétition

de ce (|ui |(n'cèfl(^ , sur la marche de re\p(»sanf et de la

î>4 tJIAMITf-S l>l\(ilN Vlltl-S.

roiiclioii. Oui tdiitc ^iMndt'iii' a un loi^arilliinc , cl t'ii a un avec iiiic base (|ii('k'(»n(|U(; , t'ii (jnu'vaUsani l'idc'e de /()(/(inilinir; cl iiir'înc n'en a (iit'nn , si l'on se rappcîlle ce (|iic nons avons (iil snr l'nnilt' (les résultats. Un nombre semble avoir (l(ii\ , trois, (]nalre logaritlmies , ainsi que lions l'avons dit ; mais ce n'est pas le même nombre , il y a eommc l'on sait i)lusieurs nombres dans un , qui (liH'èrenI pai- un tour, deux, trois etc., et ce sont ces dill'(''rents nondircs (pii ont les dillV-rtMils logaritlnnes dont on parle et dont nous avons parlé nous-mènuï (109).

Racines des équations cxponenlielles.

123. Nous avons démontré (19) que toute équation algébrique a une racine. Nous pouvons également faire voir que loulc éqiiation exponentielle en a une. Nous pouvons même généraliser cette équation exponentielle en la prenant de la forme

aJ^ + h/' -f ex'' +.^ -^f -I- etc. = 0.

c'est-à-dire, que nous pouvons y supposer des termes algébriques et des termes exponentiels en même temps.

X en variant d'une manière absolue , je veux dire en grandeur et en direction , peut , d'après ce que nous avons vu , faire prendre à la })artie algébrique , toute valeur que l'on voudra. Chaque ternie exponentiel , peut aussi prendre par la variation de x la valeur ([ue l'on voudra. Il s'agit de savoir si la résultante (de tous les termes exponentiels) , peut la prendre. Si les termes variaient d'une

manière indépendante, s'ils étaient par exemple a -\-^^ , la chose serait évidente: avec deux composantes qui

y» ANTlTtS m VHINAlItKS. 9.")

peiiv«^nt dovoiiii' ce ([uc l'un vriil , on jicul nhimlr In re'siiUanto i/ ne l'on rrul. .Mais iiniis avons

c'est-ii-(Iiro , que la vai'ialinii de (nus les t-'i-iiics csl eiitraiiu't'par la nièiiit' Ittlrr.

Je l'emaniuc que l'on peut l'aire varier clnKiii»' leniic d'une manière continue et pour la lonj,'ueur et pour l'inclinaison , en faisant varier ,/• d'une manière continue et dans sa partie réelle et dans sa jiarlie imaj^^inaire , cl ci's variations peuvent avoir lieu sépan'-ment. Je fais dt)nc varier ./• de manière à ce (|ue la longueur de clia(|ue terme croisse d'une manière continue. La n'-sultante des trois termes variera d<.' longueur d'iuie manière continue ; et son exlréniit('' décrira un(; ligne contimie de zéro à l'infini. Nous n'avons pas bescjin d'examiner si elle est droite ou courbe. Je fais maintenant varier x de manière à faire tourner les composantes , mais infiniment peu. La ligne décrite par Ve.\trémité de la résultante se déplacera infiniment peu ; ainsi de suite. Donc l'extrémité de la rt'sultante ira sur tous les points du })lan par la vari.ition de x.

Le raisonnement que nous venons de faire sur les termes qui varient par leur exposant peut se faire sur les termes qui varient par la base , mais il a été fait précédemment. Déplus le même raisonnement convient encore pour la résultant!» ([ui lie la partie exponentielle et la partie algébrique ou à base variable . Donc l'extré-mit»' de la résultante finale peut aller où l'on vent : on |»eu[ donc la mettre en opposition avec le terme constant, s'il V en a un , on bien l'amener à l'origine si le terme cous-

*)G vivMini's iM \(;i\\iui:s.

laiil t'sl Z(''ro. \)o\\i' une jidreillc njaaliun <i anv niritir t't ccUt' racine e<,[ île forme iin(ii/inaire.

Va\ parlant drs ra{'iii(»s nous u'cxcoplons i)as Yiii/ini imaginaire (iii autre, ([iii pinit liien (MrcM'acinc.

I2i. Il est facile de Yoirsuns<iue nous ayons besoin de li; développer , que s'il y a dos coelïlcients réels ou imaginaires, ils ne changent rien à cette conclusion. Car ces coefïicienls modifient les composantes dans leur direction ou dans leur longueur, )nais ne détruisent pas la continuité. Les bases «, jS, •/ peuvent aussi être imar/inai-

res. Les e.rposants m , n, p... aussi. L'iinaginarité ne détruit rien de nos raisoiniements , et ne doit rien détruire , puisque l'imaginarité est pour ainsi dire un étal naturel des grandeurs considérées géométriquement.

Comme l'imaginarité des constantes influe sur le départ des composantes , pour le rendre symétrique ou non symétrique, elle peut influer sur la conjugaison des racines , ainsi que nous l'avons déjà vu. Et il y aurait ici des détails ù donner que l'on sentira et dont nous nous dispensons. On voit par exemple que si tous les éléments constants sont réels , les racines doivent être en général conjuguées, parce qu'en tournant d'en bas, oii obtiendra ce qu'on a obtenu en tournant d'en haut. Je dis en général car il y aurait des remarques à faire.

125. Nous ne parlons pas du cas où la base et l'exposant varient en même temps. Cela nous conduirait dans des considérations que nous développerons plus tard.

FIN DU l'IÎKMIEIl MÉMOIRE.

Faure, Arabroise

Essai sur la théorie et l'interprétation des quantités dites imaginairer