partie imaginaire rfe P
Nous avons donc,
X'est 4x* — 9.r'-i-10r — 6.
68 ylAMITÉS IMA(;iNAIIIFS
Nous aurons encore en sultstiluant /^
-]-\Oncosv=-\- \(}acus'M):'2= +19,59214
— 9aVo62a=— 9a'roA-78,4= —17,25336
-f 4aVo53a=-f4aVo.y 1 1 7,6=— 4aVo582,4=— 1 5,0931 5. Partie rccllc de V'=— 18,75137.
-}-10a5ma= 10a5m39,2= + 13,86174
— 9a»A^i«2a=— 9rt',y/«78,4= — 48,88462
-|-4a'6'</i3a=4-4a'i7n1t7,6=+4a'sm82,4=-|-53,19627. Partie imaginaire de P'=-f- 18,17339,
Nous avons donc
Pour trouver la valeur (approchée] de i , il ftiut diviser P, par P' et changer le signe. Pour faire cette division il faut que P et F soient modulés , je veux dire que la longueur ou module de la ligne et l'angle d'inclinaison soient séparés.
Pour avoir le module nous savons qu'il fout quarrer les deux parties , les ajouter et extraire la racine ; et pour avoir l'inchnaison , il faut diviser la partie imaginaire par la partie réelle et passer de la tagente au cosinus. En faisant cela nous trouvons d'abord
P 1,342279(go.y388, 9966 +^/?j388, 9966 1/Z:i) P'"~ 26,1 1 51 [cos\ 51 ,00 1 5 + sin] 51 ,001 5 y~i] '
Divisant les modules et soustrayant les arcs ,
=0,051 39857(co5237, 9951 +5m237,9951 V-i). En ôtant 200 degrés à l'arc pour changer le signe , nous trouvons enfin
i =. — 1/= 0,051 39857{co537,9951 + 5w37,9951 1/:^). Cette valeur opprochée de i , que pour abréger j'ap-
QtANTITÉS IMXCINAIRKS. fi'J
pellcrai ij , en iiuininaiil suii iiuxlnlc h et sitii iiKlinaisoii ,5 doit être ajoutée nit-caiiiciufineiit) à
Les deux grandeurs à ajouter . ou composer sont modulées au lieu de les de'mudulcr, pour ajouter ensend)le les parties réelles et les parties imaginaires, nous les composerons par le parallélogramme des forces. C'est un triangle à résoudre dont nous avons deux côtés a et b et nous pouvons avoir l'angle compris C. Il est le supplément de la ditférence des deux inclinaisons , c'est-àdire que C= 200 — «-{-;'5:= 198,7951. Nous pouvons calculer c par la formule trigojiomètrique connue
C= y^ï^b'—iab cosC.
Ou bien, si nous voulons employer les logarithmes, par la formule
/ ia-b]co(iC\ (I arc laïKi ; — ; I
et nous trouverons c=iz2,4o139, en conservant cinq décimales.
C'est là la longueur ou le module de la valeur appro- ' chée de x. Pour avoir son inclinaison , il faut chercher l'angle B. Par les formules connues on trouve l5=:0,02.i2G2. Il faut retrancher cet angle de a=39,2 ce qui doinn* 39,1747 pour l'inclinaison cherchée, en ne conservant que les secondes. Par conséquent la valeur approchée de x , dans sa longueur et son inclinaison est
j=2,i;3 1 39i>Oi-39, 1 7 i7 + siii.i'J, ! 747 V—i ! •
Nous avons conservé plus d»; décimales (juil n'y en a peut-être de bonnes , puisqu'en général comme l'on
sait cftle |»i('iiii(M'(' opt'ration de la inéthude il»; iNcwluii jifst (>\a('l(' ([u'a un criitièmc près. Cependant il est possible et inèiiie probable (ju'en conservant plus de chiffres déciinauv on est plus près de la vraie valeur «pi'en les abandonnant tout à fait. Et cette plus grande proximité favorise l'approximation dt; l'opération suivante.
Pour opérer une seconde approximation , la valeur approchée que nous venons de trouver pour x , devra être substituée ou remise en calcul comme p l'avait été. Il n'y aura pour cela qu'à l'appeler elle-même p , son module a, etc., c'est-à-dire, à conserver dans ce nouveau calcul les mêmes lettres aux grandeurs correspondantes à celles du premier , et en partant de pz=:a[cosoi-\- sinc^V—i] = 2,451 39(co539,1 747 +5m39,1 747 ]/=:!), et suivant la même marche que dans la première substitution nous trouverons pour la valeur approchée de x ; après cette seconde substitution,
x= 2,449492(co539,1 8265 + 5m39,1 8265 V-i] .
Pour opérer une troisième approximation , on ferait la substitution de cette valeur de x en l'appelant p , son module a , son inclinaison «, ainsi de suite.
Cette valeur doit en général approcher à moins d'un dix-milième d'erreur , attendu qu'il y a eu deux substitutions. Mais elle approche encore d'avantage car elle diffère de la \Taie valeur de moins de quatre millionièmes , pour la longueur ; et pour l'inclinaison elle ne diffère pas aux dixièmes de seconde ou cent-milièmes de degré. On sent que l'approximation doit être plus rapide
QUANTITÉS niAOINAlRES. 71
que pour les grandeurs réelles , car la dircrsili' îles inclinaisons des litpu's ua forces niinbinccs. csl farurable à leur destruction.
Pour juger focilemeul de l'appruxiniatittu du ri'sullal j'ai pris une équation du ([uatrième degré composée de deux du second qui sont :
c'est une des racines de la première que nous avons clierchée , savoir :
=:y6(^cosarctang—^-\-sin arc t(inf/'~V^J •
95. Nous remarquerons en passant que dans une équation du second degré dont les racines sont imaginaires la lotujueur de la racine est toujours donnée par la racine (/narrée du terme constant et la tangente de son inclinaison par la racine (quarre'ej de l'excès du terme constant sur le quarré de la moitié du coefficient , divisé par la moitié du coefficient pris en si(/nc contraire : algébriquement
Icosarctanfj —-^j^sinarrtam/.ï—y-l yjZ] \
l'équation étant x*-{-p .r-j-r/^O.
On voit facilement (par l'une ou l'autre de res expressions) que sip varie ^ l'extrémité de la racine décrit une circonférence. Si (/varie, l'extrémité de la racine dccrit une perpendiculaire à l'axe , le coupant à — ^ *''- ^ '"''" gine
70 QUANTITÉS niAGlNAIllKS.
Si 7 s'abaisse au-dessous de — , la partie \erlicalo (If la racine eliaiii;t' d'axe et rextréuiité se nioul alors sur ia\e horisontal. De sorte (pie pour une variation complelto réelle de q , ou pendant (jue (/ décrit l'axe des x , une des racines do l'éciuation décrit /c.ç côtes d'un anfjle droit (une équerre), ayant son sommet à l'extrémité de — ^. Et les deux racines ensemble décrivent deux angles
opposées au sonmiet , (]ui forment deuxpcrpendiculaire.'i
P se cotipant au point — -.
On verra fiicilement aussi quiî si p décrit tout l'axe des X, l'extrémité d'une racine aura la marche suivante. Pendant que yMju plutôt - va de zéro à Yq, l'extrémité d'une racine part de l'axe des y, d'une hauteur égale à Vq", décrit un quart de circonférence à gauche et arrive à l'axe des x , à une distance= — Yq. Pendant que 5 à partir de là, décrit l'axe des a;, jusqu'à l'infini positif, l'extrémité de la racine que nous considérons , décrit le rayon gauche du cercle , et arrive au centre quand ^
arrive à l'infini. Quand- va de zéro à — |/g, ou décrit le rayon gauche , l'extrémité de la racine part encore du même point de l'axe des y que la première fois décrit le quadrant supérieur à droite et arrive à 1/^ en mêm^e temps que- à — "^/g. Pendant que - va à l'infini négatif, ou décrit l'axe à gauche , hors du cercle , la racine le décrit à droite , aussi à partir du cercle. On peut donc dire que pendant que - va de l'infini positif à l'infini négatif , une des racines part du centre du cercle, décrit h rayon gauche , la demi-circonférence supérieure , et l'axe à droite hors du cercle.
QIANTITÉS IMAGINAIRES. '.]
L'autre racine drerit un lien st/mr'iritjKc a cfliii-lii. On voit qufî leur rt-unioii forme ['tirr oiiicr nrcr niir circonférence. Il y aurait bcauroiii» de considt'raliiiiis a taiitî là-dessus, mais rrvt'iious a iiolrf objet.
Pnmiirc approxiinalioii c( liriiil(s.
0(). On prescrit jxiur It^s racines r»'elles , afin d'avoir une première approximation (93) à un dixième, près, (piaiid deux nombres substitués ont fait changer le signe du polynôme , de substituer un nund)re intermédiaire entre les deux nombres substitués , qui devra donner un résultat intermédiaire entre les deux premiers résultats , et par conséquent resserrer zéro de plus près avec un des premiers résultats. Le nombre intermédiaire peut être pris à égale distance des deux premiers nombres substitués ; mais il est mieux de le prendrt.' de manière qu'// divise l'intervalle des nombres substitués, comme zéro divise l'intervalle des deux résultais correspondants (lu polynôme. Lors même que les deux premiers résultats ne comprendraient pas zéro , s'ils étaient dans le voisinage , ils pourraient encore servir pour déterminer à peu près le troisième nombri; à substituer en établissant la proportion convenablement. Après une troisième substitution on en fait une quatrième, une (•in(iuième, etc. s'il le faut.
La marche à suivre pour les racines imaginaires est analogue à cela. Mais comme nous opérons sur un pi. m et non sur une ligne, c'est trois substitutions ([u'il faut d'abord au lieu de deux. Supposons que trois grandeurs (ju lignes (en gém-ral incliné-es ) dont les extrémiti's forment >iu' le plan ini triangle A IW, , substituées
lu
74 QUANTITÉS IMAdlNAIHF.S.
[MHir ./ (lomii'iil Irois résultats correspoiidauls lormaiil un triangle A'WC qui renferme le point zéro , on l'oriijinc. La vaknir {\o xi\\\\ doit amciior l'oxlréniité du polyiiônio à roriiiiiu', doit avoir soiicxtri'iuitô dans It^ triangle ABC. Pour en approcher, d'un des sommets A', par exemple , du triangle k'WC, tirons une droite à l'origine , voyons comment cette droite divise à peu près l'angle A'. Si elle le divise aux trois cinquièmes , tirons aussi dans le triangle ABC , du sommet A , une droite divisant cet angle aux trois cinquièmes. Elle devra passer près du point cherche'. Pour avoir sa longueur faisons pour un autre angle B', ce que nous avons fait pour A', et l'intersection des droites nous donnera le point cherché. Ou bien faisons que la longueur de la droite qui divise A , soit à la droite qui divise A' et arrive à l'origine , comme la somme des côtés AB-j-AC : A'B'+B'C.
Nous trouverons donc de cette manière un nouveau point que j'appelle D. La valeur qui s'y termine substituée à la place de x, donnera un résultat qui se terminera en un point D'. Ce point avec deux des trois A',B^C', formera un triangle renfermant l'origine de plus près que le premier trian(/le. On pourra partir de nouveau de celui-ci pour insérer, ainsi de suite.
Si le triangle des résultats ne renferme pas l'origine . sans en être pourtant très éloigné , on peut tout de même s'en servir. La droite qui divisait l'angle A' pour aller de A' à l'origine, ne sera pas dans l'angle, elle fera extérieurement avec un côté de l'angle A', un angle qui sera, par exemple , le quart de cet angle , on fera faire à la droite qui partira du point A, un angle extérieurement qui soit le quart de l'angle A.
qi:a>tités i.>i\(;i>Aiias 7;j
97. Mais pour oi»ér«'r ces siii)slitiili(iiis cl no pas so perdre dans des essais inutiles en cherchant où les racines ne sont pas , comme aussi pour ne pas laisser des racines ; il faudrait, comme pour les racines réelles , déterminer des limites hors desquelles Une faille pas cheieher. Pour les racines réelles c'est sur l'axe fies .rcju'ont lieu les limites ; ici ce doit être sur le j)lan. .Nds limites doivent enfermer une partie de ce plan hors il r laquelle il n'y ait plus de racines.
On peut même remarquer que, si nous arrivons là , nous serons un peu plus avancés que pour les racines réelles , parce que nous connaissons toujours , par le degré de l'équation , le nombre de racines (|ue nous devons trouver dans nos limites.
Je suppose que l'équation soit à coefficients réels. Il existe une valeur de r qui rend le premier terme d'un polynôme plus grand que la somme de tous les autres, il est la hmite supérieure des racines réelles ; c'est comme l'on sait , le plus grand coefficient augmenté de l'unité. Je dis qu une circonférence décrite avec cette limite , enferme toutes les racines {réelles et imaginaires). En effet, faisons tourner cette limite en lui conservant sa longueur ,• tous les termes de l'équation tournent plus ou moins vite , en conservant leurs longueurs respectives ou modules. Les termes secondaires (les termes à l'exception du premier) , ne pourraient pas détruire le premier, lors même qu'ils seraient dans le cas le [ilus favorable , c'està-dire, tous en opposition avec lui ou tous négatifs. Mais dans le mouvement leur résultante perd de sa longueur , parce (|ue les composantes se séparent. Donc elle ne peut faire é(iuilibre au premier terme
70 (^xwrirf-s imacinaiiiks.
S'il y a (les cocriicit'iils iinaj^iiiaii'cs dans rt'-(|iiali()ii , il faut oiitoiidro qu'ils sont modules . cl les cDiiclusiuiis cidessus deniourent.
Nous pouvons donc par là , avoir la limite supérieure [ou c.rtc'rieurc] des racines. Nous pouvons cj^alement avoir la limite inférieure ( ou intérieure). Elle est l'unité divisée par hi limite extérieure. En dccrivant deux "circontercnces , l'une avec la limite extérieure et l'autre avec la limite intérieure , on a une espèce de zone , dans laquelle se trourerotn les extrémités de toutes les racines de l'équation.
98. On détermine pour les racines réelles, une longueur moindre que la plus petite différence entre les racines, ou la limite inférieiwe des différences des racines. On peut faire la même chose pour les racines imaginaires : on peut former l'équation aux différences (ou au quarré des différences), en n'ayant égard qu'aux modules, si l'équation a des coefficients imaginaires ; prendre la limite inférieure des racines de cette équation , et l'on aura une longueur moindre que la distance des extrémités de deux racines quelconques. Donc dans la zone renfermant les extrémités des racines , on sera dispensé de faire des substitutions plus rapprochées que ne l'indique la limite des différences.
Exponentielles et logarithmes.
99. Deux grandeurs réelles ou imaginaires peuvent être unies, par addition (ou soustraction) , par multiplication (ou division). Nous avons considéré les fonctions que forment ces deux sortes d'unions et nous avons trouvé l'état de la fonction en grandeur t't en direction sur le
(ji v>Tnf:s iM \(;i\\iKi:s 77
plan de varialiuii. Deux {j;raii<l«'urs peuvent encon' être unies par le signe des puissances , c'est-ii-dire , (pi»î l'une est base (ou racine) et l'autre exposant. Nous avons encore trouvé l'étal de cette espèce de fonction mais non dans tous les cas. La hase peut être seule imaginaire *et l'exposant réel , ou bien la base réelle et l'exposant imaginaire , ou bien l'un et l'autre peuvent être imaginaires, ce qui fait trois cas. C'est le premier cas que nous avons considéré. Il reste à considérer les deux autres.
Dans l'addition et la multiplication cette difl'érence de cas ne se présentait pas , parce que l'on peut intenertir l'ordre des éléments (ou grandeurs unies ) , ce qui ne [uMit pas se faire dans les puissances. La base et rex[)osant ne peuvent pas changer de place entre eux.
i 00. Considérons le cas où la base est réelle et Verposanl imaginaire (ou réel mais comme cas i)articuUer;. Soit a^' ]\Lais pour plus de commodité ne prenons même pas tout de suite a pour base , mais e : soit donc e .
Dans le cas où x tourne, ou devient imaginaire, nous ne voyons pas sur cette forme, ce que devient la fonction. Nous le verrions mieux , si la fonction pouvait se mettre sous la forme de polynôme, parce que nous avons considéré les polynômes. Or on sait que
Si a; devient imaginaire, savoir ./yllïou perpendiculaire, une partie seulement des termes de la série devient perpendiculaire ; ce sont les termes de degré impair. Il faudrait alors pour connaître l'état de la fonction en grandeur et en position , trouver la résuit mie de ces termes.
7S QlIAMITÉS niAtilNAlllES
Mais (III sait (jnc l'cnscinlile (1rs tormes liorisoiilaiix a |i(iiii' soinino le cosinus de ('(ui)jl(' dont \ est l'arc , et les tcniii's verticaux (c sinus du uiènie mv^\c ; c'ost-ù-
(fuT' (jUC
=. c()Sj-\-sini' V—î ■ c't'st-ii-tlire, (jue la résultante est l'unilé ayant pour inclinaison l'angle mesuré par x.
Ainsi un exposant perpendiculaire ou imaginaire (avec la base e ] en ne variant que de longueur, fiiit varier la fonction non de longueur mais d'inclinaison. Pendant
la variation de x la fonction e^^~^ est donc une unité tournante (comme l'aiguille d'une montre], qui, partant de l'axe à droite ou positif, se jette périodiquement dans l'axe, à gauclie, à droite; à gauche, à droite; etc., àmcsure que la longueur x devient 1*, 2*, 3*, 4«', etc.
101 . Cette expression composée d'une base réelle e ou horisontale , et d'un exposant vertical fait le même effet qu'une base imaginaire ou inclinée, égale à l'unité affectée d'un exposant réel (38).
1 02. Supposons que l'exposant de e soit une imaginaire complète , ou une droite inclinée , c'est-à-dire , que
nous ayons e»"T^V— i^. et voyons ce que devient la fonction quand l'exposant prend toutes les valeurs possibles.
Cette expression revient à e X c *^~^ . Un de ces facteurs est l'unité tournante , l'autre peut être considéré comme le module. La partie imaginaire de l'exposant
QIANTITÉS IMAC.INAIRES. 79
donne donc la direction de la fonrlimi et la partir rc'-fllc . la longueur.
La partie imaginaire variant depuis zéro jiiscpirs a la longueur d'une circonférence , l'uniti' /)/// }iii Unir. \a\ partie n'-elle ou ('\j)osaHt du module, vaiiaiit depuis l'infini négatif juscju'à l'inlini positif, la grandeur du module va de zéro à l'inlini positif. Ces deux variations combinées font parcourir à l'extrémité de l'exponentielle tout le plan des xy. L'extrémité de l'exposant , dans le même temps parcourt la surface d'une bande horisontale ayant une base infinie « droite et à gauche , et pour hauteur la longueur d'une circonférence ou H-r:
Cet exposant est une xraie droite inclinrc , puis([uil a une partie réelle et une partie imaginaire ou verticale. Je dis verticale , cl Von j)ourrait croire qu'elle est un arc , puisqu'elle mesure ou détermine l'inclinaison de l'unité. Mais non : elle est bien égale de longueur à cet arc , mais elle n'est pas cet arc. Elle est verticale puisqu'elle est imaginaire. Et , combinée ou composée avec la partie réelle ou horisontale de l'exposant , elle constitue bien une droite inclinée pour l'exposant.
Si l'on imagine que l'exposant engendre une seconde bande horisontale au-dessus de la ])r(>mière , l'extrémité de la fonction engendre encore tout le plan des .cg. Pour une troisième bande , il en serait de même. Chaque 6a«rfe donne, pour ainsi dire, une couche de points sur le plan des x g.
103. On peut remarquer que quaiul rextré-milt' de l'i'xpcjsant engendre la partie droite de la bande, l'extré'mité (le l'exponentielle engendre l'extérieur du cercle dont le
S(> iji \N 1 1 1 1 >» m u;iN \iiiis
nii/nii rv/ I, l'I i|ii;iii(l ICxli'i'iiiili' de 1 rxposaiil cii^ciKlrc \a /iiirlir (/niichc (le lu /xiiiilr , ICvliciiiiti' de rc\|i(iii('ii- Jicllf iMii;ciiili'c l'inli'riciir de ce ivrric . Parce (iiir dans Ir in'ciiiicr cas rcx|i<»saiil du iiHidnlc ctaiil /msilif, le niodiilc c>| ///»\ i/niiul '/iif l'iiiiilc' . cl dans le second cel e\|t(>saill étant linjalif , le niodide es! pins pelil i|ne riinile.
lui. (Ml [MMil reniar(|iiei' enc(ire (|ne si l'exIii'Miitc' de re\|tosaill Jrc/v/ une draifc liorisonldlc , l'exlri'iuih- de re\|P(iMeiitielle dcrnl iiiic ilrtillc don! l'inclinaison est inanpii'c par la liantein' de l'Iidrisontale. \A si re\tr(''niit<'' de 1 exposant décrit imc f rrl icalr l'exlri-initi' de la t'onctioii décrit une civciin [(■rciirc (pii fera ini tour , dv\i\ tours, etc., suivant <|ne la verticale traverse une buiule , (ieuK bandes, etc. La cireonrérence est crlrriciirc ou intérieure i\u cercle à l'ayoïi I, suivant (pie la verticale décrite est il droite ou ;i i;auclie de l'axe des //.
10.'). Supposons (jue la base un soil plus e , mais une grandeur (pielcoïKjue y>o.s<7/r6' «. Il tant iuiajjjiiier (|ue a est liii-nièine dt'ji'i une exponentielUî obtemn; avec; la base e. De sorte (pie si l'on met un exposant ;i c/, c'est comme si on le mettait ii e en ayant (U'jii un. Ainsi l'exl^osant impos(î ii /; peut t''tre eenst" imposé ii e, si l'on imaiiine (pi'il est nuilh/ilir' /lar eehii iju'il /'dul à e pour njdler a: c"esl-;i-dire ,1e lofjd rilhiin' !iit''i)erienj de a.
Pour avoir les variations de la fonction (/" i •' *'^~', il suffit donc (le eonsi(l(''rei' celles de la fonction (-""TJK— i, et «le multipliei' l'inelinaison obtenue avec e par la , et d'élever le module oblemi à une puissance marquée par h.
QUANTITÉS IM \(;iNMlîi:S. Kl
106. Nous pouvons donc (lire pour une base quelconque (positive) (102) ([ue l'exlrénuté de la fonction décrit le plan , lorsciue l'extrémité de l'exposant décrit une bande dont la hauteur est i^- dirise par l'e.vposant qu'il faut à e pour njaler 1(1 hase prapos-i'c , ou par le logarithme de cette base. On voit facilement les modilieations à faire aux articles (103) et (lOi).
1(17. On priit (Hif que la vaiiatiuii (rime base (toujours positive), sous un exjiosant ima{,'inaire incomplet modifie la rotation, la foit aller plus vite que l'exposant, quand la base s'élève au-dessus de c, et plus lentement que l'exposant (piand la base s'abaisse au-dessous de c. C'est quand la base est c, que rexjjosant nicsurc\A rotation ou l'inclinaison. Si l'exposant est complet la /o/^^^cwr de la fonction est aussi modifiée.
Logarittimcs des grandeurs négatives et imaginaires, multiplicité des résultats.
108. On appelle , comme l'on sait, logarithme d'une grandeur l'exposant qu'il taut mettre à une base ou racine, à e, par exemple , pour avoir la grandeiu' proposée. D'après cela , toute grandeur , négative ou imaginaire a-t-elle un lofjaritlune ? Oui. Rn effet l'exln-mité de l'exposant parcourant une seule bande [\02], l'^-xponentielle parcourt tout le plan. Il n'y a donc pas de grandeur proposée que l'exponentielle ne puisse devenir. [jRt (juand l'exponentielle sera la grandeur proposée; , le logarithme sera l'exposant «|ui lui correspond , et qui[) se trouve même sans sortir dime seule bande I ne grandeur a donc toujours un logarithme, mèm(^ elle ru n plusieurs,
car elle en a un dans chaque bande.
82 (Jl^>'"'^^ IMAClNAlUtS.
lO'.t. l'ii r;i|)i>i'laiil oc (|iii pn-crdc , il est l'acilc de voir <]!!(' les j^riiiulciMS positives seules ont des lof/arilhmes rr'cis , encore n'en ont-elles (lu'iin , tandis (lu'ellos en ont nn(> inlinilt' û'inuK/iiidlrcs. J^es yrandenrs non positives, e'est-ii-diie, nt-i^alives on imaginaires n'ont 7?<e des lofjariflnnrs iinnijinaires. iùi ellel (lO'i), l'exlréniil*' de l'exposant ou du logarithme di-evivant uni; horisontale , l'extrémité de l'exponentielle ou de la grandeur dont on considère le logarithme, décrit un rayon indéfini dont l'inclinaison est manpiée jiar la hauteur de l' horisontale, qui est la partie imaginaire de l'exposant. L'exjjosant fera trouver l'extrémité de la fonction dans l'axe positif premièrement (piand la sienne y sera, c'est-à-dire, quand cet exposant n'aura i)as de partie imaginaire ; ensuite quand l'extrémité de cet exposant sera sur une horisontale à 2^, à 4*, à ôf, etc. de hauteur , parce que la fonction sera dans l'axe positif , ou pour n'avoir pas bougé , ou pour avoir fait un tour, deux tours , trois tours , etc. Ces hauteurs 2*, 4* etc., qui sont imaginaires et qui s'ajoutent successivement au logarithme réel , nous donnent donc avec le logarithme réel , une suite indéfinie de logarithmes imaginaires , pour une fonction réelle ou dans l'axe positif.
Si l'extrémité de la fonction est ailleurs que sur l'axe positif, l'extrémité de l'exposant ne peut plus être non plus sur cet axe. Si l'extrémité de la fonction est par exemple sur l'axe négatif , celle de l'exposant sera sur une horisontale à la hauteur d'une demi-circonférence ou de *. Si elle est sur une droite ayant une inclinaison d'un quinzième de la circonférence , l'extréinité du logarithme sera sur une horisontale à un quinzième de 2* de
yiANTlTÉS lMA(il>AIRKS. 83
liauleur etc. Donc // n'y a île logarithmes réels rjue pour les grandeurs qui sont sur l'arc des x positifs , cl encore qui y sont sans avoir tourné.
110. On voit [)ar là également que les gi'iindeurs non positives ont non seulement un loj,'arithme ima;,'inaire , mais qu'elles en ont une.' intinité. Elles en ont un dans chaque bande, (jue l'on obtient en ajoutant, cdmimic |mui' les grandeurs positives , 2if\/—i une fois, deu\ lois etc.. au premier logarithme trouvé.
111. 11 faut ici répondre à un raisonnement spécieux qui pourrait se présentera l'esprit. J'appelle R la grandeur positive que j'obtiens en élevant e à la puissance - .
Le logarithme de -j- R est donc^^. Mais -peut aussi servir de logarithme à — R , car — R peut également être
considéré comme le résultat fie e?. Donc — R . qui est un nombre négatif, a un logarithme réel. .\on\
Le logarithme est l'exposant qu'il fout mettre à e pour obtenir la grandeur proposée. On entend que e est un nombre/?oç//i/, unique, et sans équivoque , ni ambiguïté. Mais pour avoir e sans équivoque , nous sommes obligés par la nature des choses d'entrer dans des distinctions. Il ne suffit pas de dire de e , qu'il est dans l'axe positif. .Nous sommes comme celui qui ne pensant qu'il la géométrie plane , croirait avoir défini une droite en la donnant sur un plan par une équation ou une projection. Mais il est possible que notre géomètre soit conduit , pour ainsi dire , par la science elle-même , à la géométrie il trois dimensions. Et alors il est obligé d'établir des distinctions là oii 11 ne Im' semblait [)as qu'il y en eût à
faire. Toulos les droilcs situros dans un inriiir |il;iii vcrtifal ne faisait'! il (xuir lui (|ii'iiiit' dcuitc sur le |)laii li(»ri- S(»ii(al : il faut niaiiiliMiaiil <|u"il dislingue ces droitt's . si la nalurc des (•(nnbinaisons j;rM>ni(''li'i(|U('s (|u'il a faitos ronduiscnl à la considt'i'alion des trois diiiioiisioiis ; sans (jU(»i il serait dans la plus grande confusion , on prenant comme grandeur uniipie , à cause de l'unité de son c^islence sur le plan liorisonfal , un r«''sultat (jui peut signifier une infinité de lignes pour les trois dimensions. De même une droite positive n'est pas inuf/ue,\)ouv être dans une position uni(]ue, savoir dans l'axe positif. Klle peut y être pour n'avoir pas bougé , ou bien pour av(»ir fait un tour , deux tours etc. La nature des calculs (juc nous faisons exige cette distinction puisqu'elle conduit à considérer la rotation. Il peut donc y avoir pour une ligne, unité de position sans qu'il y ait unité de venue dans cette position. Nous devons donc distinguer deux sortes de positif, l'un qui est l'état d'une droite venue dans l'axe d'une manière quelconque , et ne déterminant pas une liijno unique , et un autre positif, que nous appellerons absolu , convenant à une droite qui est dans l'axe sans avoir tourné , et qui détermine l'unité ou indentilé de cette droite [surunplan].
Quand nous prenons e pour base d'un système de logarithme . nous entendons que e est un nombre positif et unique , c'est-à-dire, positif absolu. Ce n'est pas la série indéfinie e ayant fait zéro tours, e ayant fait un tour, e ayant fait deux tours, etc., que nous entendons prendre pour base , mais seulement le premier te rme de cette suite. Hé bien, l'exposant fractionnaire- ne donne un
<Jl VNTITÉS niACil.NAinKS. S")
ivsullat iR'jjfatif — K , (lu'aulant qu'il ost cinis»- affecter i;
ayant tait un luur , i ou un nuuiLirc impair de tours);
parceque dans l'extraction de la racino quarn'-o on prend
la UKiitié de l'inclinaison, et c'est la nioilit' d'une ou d'un
Uitudue impair de circonférences , «pii nous mi-ne au
négatif. Mais avec la base ab.sulumeut positive ei nni<(ue
e, il n'y a plus de résultat négatif pour l'exposant- . ni
pour aucun autre exposant fractionnaire «luelconciue.
Donc - nr sert pas d'i'riiiisiin/ on ili- loi^^aritlnne pour
le nombre négatif — R.
