CHAPITRE IL

S. Lorsque le milieu est homogène, les équations des mouvements vibratoires infiniment petits sont des équations linéaires à coefficients constants. On satisfait à ces équations (4) au moyen d'intégrales simples de la forme

Ç = Ce"'-^'?'-*-""-*',

dans lesquelles m, c, w sont des constantes arbitraires, A, B, C, 5 d'autres constantes assujetties à vérifier les équations

où Li, Pi,..., désignent ce que deviennent L, P,..., quand on y remplace D,, D^, D, par m, c, tv, savoir :

L, = 2 m r/( r ) -h x»^^-^l ( e«^+'^-^'^ — i ), P, = 2m yz-^-^— ^ ( e"+T+»^« — I ).

Des équations (7) on déduit les relations

( [P,(5^L.)-hQ.R.]A = [Q,(*' — M.)H-R.P.]B ^ (=[R.(5^ — N.)-hP.Q.]C,

et réquation du troisième degré

i (5'— L.)(*^ — M,)(5^-N.) — Pî(*' — L.) I — Q;(*' — M.)~Rî(5' — N.) — 2P.Q.R, = o.

A chacune des racines de cette équation correspond un sys-

B C lème de valeurs des rapports t' -r*' l'une des constantes restant arbitraire.

6. Les valeurs de Ç, yj, Ç, représentées par les formules (6), se composent, en général, d'une partie réelle et d'une partie imaginaire; les équations différentielles étant linéaires et ayant leurs coefficients réels, il est clair que les parties réelles et les parties imaginaires vérifient séparément ces équations ; à ces parties réelles des intégrales simples correspondent des mouvements que nous appellerons mouvements simples.

Si Ton pose

w = Uh-ui, i/==V4-v/, «; = Wh-w/, 5=:S-Hs/, A = ae«', B = he^^, C = ce>",

et si Ton fait, pour abréger,

kp = uj;4- vj^-l-wz, Kp, = UxH-Vj-t-Wz, les parties réelles des intégrales deviennent

5==ae^^»'~^'cos(kp — s/-|-a), (lo) \ yî = be^^»""^*cos(kp — s/ + (3),

Ç = c 6^^'-^* cos(kp — sf 4- y ).

Le mouvement vibratoire représenté par les formules précédentes s'effectue par ondes planes parallèles au plan fixe

u^ -f- vj^H- W2 = o ;

car toutes les molécules situées à la même distance p de ce plan sont au même instant à la même phase de leur oscillation. Si l'on appelle I la longueur de tonde et T la durée de Voscil" lation, on a