CHAPITRE PREMIER

31. Nous avons étudié les lois générales du mouvement vibratoire dans les milieux homogènes. Nous avons vu (n*» 11) que, dans les milieux homoédriques, les équations différentielles du mouvement vibratoire peuvent être sensiblement réduites à des équations homogènes du second ordre. Si Ton pose

G = - 2 m/(r) (MX H- c y -h (vz)%

H = — 5—? 2 m*^-^ (ux -hi^y -h iv z)',

ces équations sont

/ (D/-G)^ — D«(D„H.?-i-D,H.7îH-D«,H.Ç)=:o,

(2) j(D? — G)yî~D.(D„H.? + D,H.yî-|-D,H.Ç) = o,

((De'— G)Ç — D,(D„H.^-|-D.H.7î-i-D,H.Ç) = o.

Les expressions symboliques G et H développées contiennent des sommes telles que

lm\^f{r), lmy\f(r), Imz'f(r), 2myz/(r),. . . ,

l,nx*£^, Imr^^y Imz'^^y v,^yV^^,...,

^% UVRE 0. — GHÂPTIBE I.

Dans réther libre , les molécules n'ayant aucune disposition particulière, on peut supposer quelles sont distribuées sjmétriqtiement par rapport à chacun des plans des coordonnées; d*après cela, les sommes qui contiennent une puissance impaire de X, y z sont nulles; il ne restera donc que les neuf sommes qui ne renferment que des puissances paires. D'un autre côté, la distribution de l'éther étant la même par rapport aux trois plans des coordonnées, on a

2mx^/(r)= Imyf(r) =lmz'f(r), r "^ r • r

Concevons maintenant que l'on fasse tourner les axes des coordonnées de l'angle 9 autour d'une parallèle à Taxe des z ; on aura

x' = X cos ô -h y sin 0, d'où

x'* = X* cos* H- y* sin* ô -h 6x'y» sin» cos» 9 -h 4x*y cos' 9 sin

4xy'cos0^sin'0;

en négligeant les sommes qui contiennent une puissance impaire, et remarquant que 2my*(p(r) = 2/nx*9(r), il vient

:i:mx'*cp(r) = (cos*0-|-sin*0)2/nx*(p(r)

-f- Gsin'ô cos»ô 2mx»y»9(r)

= (cos'0-f-sin'0)»2mx*cp(r)

-f-2sin»0cos»0[32mx»y'<p(r) — 2mx*(p(r)]

= 2wx'(p(r)4-isin»Ocos»0[32/nx»y'cp(r) — 2/nx*9(r)].

Mais la quantité lm\'*(^(r) doit conserver la même valeur, quelle que soit la direction des axes des coordonnées; on a donc

Il en résulte que les neuf sommes se réduisent à deux. L« même chose a lieu dans tout milieu isotrope^ c*est-à-dlre dans tout milieu tel, que les équations du mouvement vibratoire restent les mêmes, quelle que soit la direction des axes.

Nous poserons donc

Les expressions symboliques G et II se réduisent à

et les équations du mouvement deviennent

![Dî — (^ 4- ^) («' -h t^ -f- w«)] ^ — 2 Aw { w ? -f- C'y) "h «'Ç)=o. [I>? — {g -h h) («^ 4- 1'^ -f- i^')]'n — 2 A(/ (w ^ -f- cy) -f- «'r)=o. [D* — ig-^à) (m» -h «^ -h cv*)] Ç— 2 Aif'fw Ç -f- cvî -f- (r?)=o.

32. Les équations f t6) du n* 12 qui déterminent les ondes planes, se réduisent ici à

![&>' — (g" -H A)] A — 2Art(rtA-f-i^B-f-<?C)=:o, [«» — (g--f.A)]B — 2A6(aA-H^B-f-cC) = o, [(û' — {g'\-k)]C — 2hc{aA'\'bB-hcC) =o.

En multipliant les premiers membres de ces équations respectÎYement par a, b, c, et ajoutant, on en déduit

Cette relation peut être vérifiée de deux manières : !• On posera

(6) ,,4 l-AB-|-^C = o.