LIVRE II. - CHAPITRE II
35. On regarde un corps cristallisé comme formé de molécules pondérables disposées régulièrement, et à égale distance les unes des autres, sur des droites parallèles. Cauchj attribuait la même disposition régulière aux molécules d'éther ; en un mot, il regardait Téther engagé dans le cristal comme un milieu lui-même cristallisé. Mais cette hypothèse ne nous semble pas d'accord avec les phénomènes; car l'expérience apprend qu'un cristal cubique se comporte absolument comme un morceau de verre, dans lequel i'éther évidemment n'a pas une disposition régulière ; tandis que si I'éther était cristallisé, la vitesse de propagation de la lumière ne serait pas la même dans toutes les directions, et en outre la lumière serait polarisée. Supposons, en effet, les molécules d'éther disposées par files parallèles à trois droites rectangulaires que nous prendrons pour axes des coordonnées ; les neuf sommes qui entrent dans les expressions symboliques G et H, et que nous avons considérées au n° 31, se réduisent à trois. Si Ton pose
Imx^f(r) = 1 mrf(r) = lmz^f(r) = g,
^ lm\* ^^—^ = jzlmy* ^^— ^ = ^t 2 /nz* - — - = A',
on a
Çi = g{u^ -it- v^ '\- w^).
H = - [v^w^ H- tv'a' -H wVM H- -7- (w* -r i'* -H w') 2 4
et les équations du mouvement vibratoire deviennent
— 7.hu(u\ + vf\ -4-ivÇ) = 0,
[D; — (gr-+-A)(M'-4-v'-+-(v') — 3(A' — A)t;']yî
— 7.hv(ui^-\-vf\ + wt,) = o,
— 2 /i (v( M ^ -4- f Yî H- <vÇ ) = o.
MILIEUX HOMOÉDRIQUES. 4ij
Les équations par lesquelles on détermine les ondes pJanes se réduisent à
[w' — (g--f-A) — 3(A' — A)tf=]A — 2Aa(aA^-6B-i-cC) = o, fco'— (g--+-A)~3(A' — A)6»]B — 2A6(aA-f-6B-f-cC)=o,
[w- — (g^4-A) — 3(A^ — Aj«?^]G — 2Ac(aA-4-6B-|-<?C) = o.
Le milieu, tel que nous Tavons défîni, admet sept axes optiques, c'est-à-dire sept directions dans lesquelles il n'y a pas polarisation de la lumière, savoir : les trois arêtes et les quatre diagonales du cube. Par exemple, quand on fait a=i i, -6 = = 0, on obtient la vibration transversale indéterminée
A =: o, Or)' =: g" -h h. De même, quand on fait a^ =: 6' = c^ = -, on
obtient la vibration transversale indéterminée ûA^6B-h?G= o,
«' = g- 4- h\ Mais, dans toutes les autres directions, la lumière
est polarisée*
Pour que la vitesse de propagation soit la même dans toutes
les directions, il faut que A' = A, et par conséquent, d'après
f(r) ce qui a été dit au n*» 31, que la somme Imx* '^ - ^ conserve la
même valeur, quelle que soit la direction des axes, c'est-h-dire que le milieu soit isotrope.
36. D'après cela, nous n'admettrons pas que les molécules d'éther présentent la disposition parfaitement régulière des molécules pondérables qui forment le cristal. Nous regarderons le milieu éthéré qui pénètre un cristal comme un milieu analogue à Téther libre, mais modifié par la présence des molécules pondérables, et voici l'idée que nous nous faisons de cette modification. Si l'on divise la longueur d'une droite d'une certaine étendue par le nombre très-grand des molécules d'éther situées sur cette droite,^ on a la distance moyenne des molécules d'éther dans cette direction. Il est clair que, dans l'éther libre, la distance moyenne est la même dans toutes les directions. Il est naturel de penser que la présence des molécules pondérables modifie cette distance moyenne des molécules d'éther, inégalement suivant la direction. Si donc on conçoit un milieu isotrope ayant une densité égale à celle du
5c, LIVRE II. - CHAPITRE II.
milieu considéré, et que Ton dilate ou que Ton contracte ce milieu dans certaines directions correspondant aux lignes du cristal, on pourra assimiler le milieu éthéréqui remplit le cristal au milieu isotrope ainsi modifié. A la vérité, la densité de réther n'est pas la même en tous les points d'une cellule, au centre ou sur les bords, mais elle se reproduit la même aux points homologues des diverses cellules ; nous négligerons pour le moment ces inégalités périodiques dans la distribution de réther, et nous substituerons à la disposition périodique vraie l'état moyen dont nous avons parlé. Nous pouvons supposer, comme nous l'avons dit, que cet état moyen provient de la déformation d'un milieu isotrope de même densité, dilaté ou contracté dans certaines directions déterminées par les lignes du cristal.
37. Prenons trois axes rectangulaires de coordonnées, dont l'un ojt' soit parallèle à un axe de dilatation ou de compression; dilater ou contracter le milieu élhéré parallèlement à l'axe oj/, c'est faire varier la coordonnée oif de chaque molécule d'une quantité proportionnelle à x* , En employant la lettre 3 pour désigner cette modilication, on aura
ô .r' = a'x\ of' = o, Ô2' = o,
a! étant un coefficient constant. Si l'on désigne par a, (3, y les cosinus des angles que fait l'axe ox' avec les axos primitifs des coordonnées, on en déduit
ox-^aix' = a'oix' =a! ol{olx -f- p^'-h 72)
^3 = ydx' =: a'yx' =^a!y{aLX -+- ^y-^-yz) = a' oLyx -+- cC^yy H- a'y^z.
Chacun des axes de dilatation ou de contraction rectiligne donnera des expressions de même forme ; l'ensemble de ces modifications sera donc représenté par des formules de la forme
/ ixz=a^x -^ b^y 4- fci 2 , ( I ) ' oy = a^ y -h bo z -h- b,x,
f z = aj z -h bi X -^ bt j\
MlUEUX HOMOÈDRIQUES. 5i
Si Ton considère le polynôme du second degré
les formules précédentes deviennent
(3) a^ = D,X, (5j = D^X, dz = J)X
Or, réquation (i), dans laquelle on regarde X comme une constante arbitraire, représente une série d'ellipsoïdes homothétiques et concentriques ; les équations (3) montrent que le déplacement éprouvé par une molécule quelconque m d'éther est normal à l'ellipsoïde qui passe au point m. Le plan tangent à l'ellipsoïde en ma pour équation
XD,X 4- YD^X -f- ZD.X = ?X,
X, Y, Z désignant les coordonnées d*un point quelconque du plan ; la longueur p de la perpendiculaire abaissée de Torigine sur ce plan est
il en résulte que la grandeur du déplacement est exprimée par
la formule — P Concevons que l'on prenne pour axes des coordonnées les
axes de cet ellipsoïde; l'équation de l'ellipsoïde deviendra et les formules (i) se réduiront à la forme simple
(4) àx = ax, à y =■ by-y Ô2 = cz.
Ainsi l'ensemble des dilatations ou condensations éprouvées par réther dans un cristal homoédrique peut être ramené à trois dilatations ou condensations suivant des directions rectangulaires.
38. A cause de la grande élasticité de l'éther, c'est-à-dire de la très-grande énergi-e des forces moléculaires, il suffit
5i LIVRÉ IL - CHAPITRE H.
d'une très-petite variation dans la distance moyenne des molécules d'éther pour produire une grande variation dans la vitesse de propagation ; nous pourrons donc supposer que les trois coefGcients a, b, e sont très-petits, et nous négligerons leurs carrés. La densité ne changeant pas, les trois coefficients vérifient sensiblement la relation a -h 6 -h c = o. Des formules (4) on déduit
et par suite approximativement
^ xdx -hyiy-hzdz ax'H-fcy' -f- cz'
L'expression G = - lmf{r)( u\-\- vy -hivzy éprouve une
Je
variation
3G = 2mf(r){ax-h vy -h ivz)(Mdx-hi'dy 4-ivdz)
-h- 2m î^-^(i/xH-i'y -H iVz)Vdr 2 r ^ ^
= 2m/(r)(i/x-h vy-h(vz){aax-|-6«'y-hc(vz)
-h-2m^^-^(ax-hcy -|-ivz)'(ax*-|-6y'-f-cz')
= A(a -h 6.-+- c)(a' -h i^'-h (v») -+• 2(gr-|- A) (a/i»-f- ft<'*+ c<i'') = 2 (gf -H A) (au' -f- bv^ 4- ctv^).
L'expression H = -^ 2 w ^^-^ (m x -h t'y -h wzy éprouve de même une variation
dH = ^ 2 m '^ ^ (//x -|-(>y-htvz)*(aMX-!-^i'y-hCivz) or
H — 7 2m (mx-H ^fs -\-wzy{ay} -h 6y*-hcz').
On a donc à considérer de nouvelles sommes de la forme
D./>) Y^M YsfM'
2mx'v'z=' j 2mx*y' » 2mx*-^ >
MILIEUX IIOMOÉDRIQUES. 53
sommes qui se rapportent au milieu isotrope avant la iiioditication. Si Ton fait tourner les axes des coordonnées de Tangle 6 autour d'une parallèle à l'axe des z, à l'aide de la formule
x' = xcos0-l-ysin9,
on verra, comme précédemment (n® 31), que
2mx*z'9(r) = 32mx*y'z*9(r).
On a d'ailleurs
x'« = x«cos*0 -h 6x*y cos*0 sin -h i5x*y' cos* 9 sin' Q -l-2ox'y'cos'0sin*9 -H i5x*y*cos'0sin*0 -h 6 xy* cos 9 sin* 9 -f- y® sin« 0,
2mx'''9(r) = (cos«0-|-sin«9)2mx«9(r)
-♦-i5sin'0cos'02/nx*y'9(r)
= 2 m x^cp ( rH-3 sin^ô cos^ô [5 2m X* y»<p ( r)— 2m x«<p ( r)] ,
et par suite
2mx*(p(r) = 52mx*y'<p(r).
On posera donc
DÙrl i)ÙLl Dliil
-2mx'y*z' = — ^ 2mx*y* = — ^-r 2mx«
et l'on aura
dH= y (a-^b-+'C)(u^ -f- i^' -h (v^)'-'
-h(A -+- /)(aM* 4- 6v« 4- 6*iv')(ii^ 4- i'= -h (i'') =i (A -+• /)(aM* -h éi'' ■+• Civ')(w' 4- f * 4- («'■).
On a ainsi, dans le milieu modifié.
Cl = giii"" 4- i'' 4- <v^) 4- 2(g' 4- A ) (««' 4- bv' 4- f(v'),
H = 7' (//= 4- i^' 4- <v' Y 4- (A 4- /) (aW 4- fcv' 4- r(v')(w' 4- f ' 4- «'').
54 LIVRE n. - CHAPITRE H.
On en déduit les expressions (n® 4)
-h 2 (gr-h 2 A-h /)(aii^4- Ac'^-h C(v') -h 2 [A -h4 ( A H- /)a]a', P = 2 [ A -f- 2(A -+- /) (fr 4- c)] c(v = 2 [A — 2 (A -h /) a] i'iv,
qui entrent dans les équations de mouvement vibratoire, mises sous la forme
/ (D? — L)^— Rr, — QÇ = o, (5) (D?— M)yî — PC — R?=:o,
( (D,' — N)Ç — Q^ — Prî^o.
39. Cherchons maintenant les ondes planes. Appelons a, p^ y les cosinus des angles que fait la normale au plan de Tonde avec les axes, et supposons que le coefficient d'extinction soit nul.
On obtient les quantités L^, P,, . . ., (n*» 12), en remplaçant tt, c, w par a, (3, y dans les expressions symboliques L, P,.... Si Ton pose, pour abréger, '
A, = 2 [A — 2( A -h /) «], Aj=2[A — 2(A -i-l)h]y A3= 2[A — 2(A-f- /)e],
wf = gr-H A -h 2 ( A -h /) a -h 2 (g"-h 2 A -f- /) (flra^ -h ^(3' H- 67' ), &); = gr-l-A-|-2(A-f-/)6-f-2(g"H-2A-4-/)(«a^-f-A(3'4-cy'), 6)5=g' + A-f-2(A-f-/)c4-2(g"-h2A-!- /)(aa*-|-A(3'+cy»),
on a
0, = A,ya, U,= A,«p,
Mj Tî — = 6)j,
-*ï — ik "**«
MILIEUX HOMOÉDRIQUES. 55
cl les équations (i8) 61(19) du n° 13 se réduisent à
, , , /«A SB yC\
/l? /il AI I
L*équation (21) devient
\ 'Il "a "3 /
A, B, C désignant les cosinus des angles que fait la vibration avec les axes. L'ellipsoïde, dont les axes donnent les directions des trois vibrations rectilignes qui correspondent à une même onde plane, est représenté par Téquation
(9) o)',x' -h rs)ly' -i- 0)lz' -h ftJlJh (^ -h ^ -h ^y= I.
